運載火箭返回著陸在線軌跡規劃技術發展

宋征宇，王 聰

(1.中國運載火箭技術研究院，北京 100076;2.北京航天自動控制研究所, 北京 100854)

0 引言

在人類航天和空間探索事業發展過程中，航天發射和運輸系統的高風險、高成本和高復雜性一直是難以逾越的瓶頸，回收火箭并多次使用是能夠降低發射成本的重要途徑之一，也是未來地外天體定點軟著陸以及垂直起降大范圍機動的關鍵技術之一。然而，火箭返回垂直著陸充滿挑戰。由于火箭返回過程中飛行空域跨度大、飛行環境變化顯著、過程約束復雜，經歷了由稀薄大氣層邊緣經稠密大氣到地面著陸的過程，面臨一系列不確定性。傳統的基于離線規劃、在線跟蹤的方式無論從可靠性、適應性、最優性等角度，均已無法滿足大范圍、多階段、高動態和多約束的應用環境與要求。在線軌跡規劃技術能夠根據火箭當前狀態在線生成滿足約束條件的飛行軌跡，使其在返回著陸過程中具備自適應調整和在線實時優化能力，能夠有效應對各種干擾和突發情況，是實現可重復使用火箭垂直著陸的關鍵技術。國內外的研究普遍表明，僅從著陸段的制導與控制技術看(不考慮前序飛行段的導航等因素)，在月球、火星和地球上實現定點軟著陸(pinpoint landing)的技術難度逐步遞增。因此，實現運載火箭垂直著陸的意義，早已超過僅僅火箭重復使用這一個需求。

本文主要總結國外針對垂直著陸以及再入返回著陸在線軌跡規劃技術所開展的理論、算法研究及工程進展。

1 在線軌跡規劃技術的發展

1.1 最優控制

運載火箭回收的概念及回收方式早在20世紀90年代就已被提出[1-2]，但直到2015年年底人類才第一次成功回收運載火箭。考慮到著陸過程存在的大量不確定性，研究人員和任務設計者一直在追求在線生成可行或者最優軌跡的能力[3]，前提是滿足飛行過程的邊界條件、路徑約束以及標稱運動方程。基于在線軌跡優化方法解決制導問題也是航天控制領域的研究熱點[4]。針對著陸過程的大部分傳統閉環制導方法主要將問題轉換為僅具有終端約束的最優反饋控制問題(沒有路徑約束)，利用龐特里亞金極大值原理或變分法進行求解[5-6]，這類制導律稱為最優制導律[7]。由于存在強不確定性，最優制導律加入了基于滑?？刂评碚摰姆蔷€性項，可以在不準確測量和未建模動態的情況下提高其魯棒性[8]。由于可以增強魯棒性，這個研究方向在過去幾年中得到了發展并應用于不同的場景[9-10]。

1.2 多項式制導

當飛行任務必須滿足更嚴格的約束要求時，通常需要求解具有終端和路徑約束的軌跡規劃問題，例如高著陸精度或人員安全性(載人任務)。這類方法始于Apollo計劃，并被繼續使用于火星著陸器，也可以在地球上被用于垂直起降[7]。上述問題通常是非線性的且求解困難，直到過去10年仍只能離線求解。為了簡化問題，Apollo登月艙的加速度設計為關于時間的二次多項式[11]。這樣生成的軌跡并不是最優的，因為沒有對性能指標進行優化；但是二次多項式的系數可以通過預定下降時間的終端邊界條件進行解析求解。這種方法在NASA的火星科學實驗室(Mars Science Laboratory, MSL)探測器中進行了修改，增加了對動力下降段持續時間的線性搜索，來最小化燃料消耗[12-13]。除了這些擴展之外，還可以通過增加開環制導律的多項式階數使系數計算欠定，提供系數選擇的優化空間。但是，這些制導方式的落點偏差均在千米級以上，遠沒有實現定點著陸。

1.3 計算制導

隨著硬件平臺計算能力的不斷提升，為了進一步提升航空航天器制導的自主性，近幾年計算制導這個新的研究方向越來越得到關注[14-15]。相比傳統的航天器制導方法，計算制導強調用優化迭代計算來逐步取代傳統的解析制導律，依靠魯棒高效的優化計算方法和先進的硬件計算平臺，來處理航天領域中針對復雜非線性動態系統的優化計算難題，突破傳統制導方法的瓶頸[14]。處理復雜非線性動態系統能力的增強，可以進一步提升航天器制導性能，使航天器更加智能自主，對復雜多樣的任務具有更好的適應性。Bollino等[16-17]基于直接法中的偽譜方法和采樣反饋技術提出了滾動時域在線軌跡優化制導框架，并應用于航天器再入制導。Seebinder等[18]引入靈敏度理論進行在線軌跡生成，基于非線性規劃參數靈敏度分析和離線優化的軌跡來在線生成近似最優軌跡，并應用于火星大氣進入在線軌跡生成問題。Sagliano等[19]將多變量偽譜插值方法與子空間選擇算法相結合，基于離線最優軌跡數據庫在線生成近似最優參考軌跡，應用于再入飛行器在線參考軌跡生成問題。

1.4 凸優化

在計算制導研究中，基于凸優化的在線軌跡優化方法成為了研究熱點并得到快速發展。凸優化的特征[20]如表1所示。

表1 凸優化特征

采用凸優化方法進行優化計算，需要首先將問題進行凸化轉換，然后采用對偶內點法進行求解。對偶內點法的求解框架如圖1所示。

圖1 對偶內點法求解框架

但是，并非所有問題均可進行無損凸化轉換，因此常用的做法是序列凸優化。例如先將問題進行線性化和凸化處理，在求得當前凸優化子問題最優解后，根據解的結果重新修正優化命題，重復上述過程進行再一次求解；當前后兩次求解的結果其偏差小于一定范圍時，認為計算收斂停止迭代。在基于配點法的一般數值問題求解中，也會經常用到建立多個子問題進行迭代求解的方法，有時稱作約束松弛方法，即通過建立簡化的問題，提升求解速度；然后逐步完善至原問題，求解難度逐步加大；但前后兩個問題比較相似，因此可以用前述一個問題的解作為后續問題的合理初值猜想，從而加快后續問題的求解效率。相對于這種策略，對偶內點法由于對初值不敏感而無法效仿，這也是常說對偶內點法無法“熱啟動”的原因。

Sagliano[31]將偽譜離散方法和凸優化相結合用于動力下降和著陸過程在線軌跡優化。如果無法將軌跡優化問題一次性轉化為凸優化問題，通過序列凸優化算法將求解原問題轉化為求解一系列凸優化問題來得到原問題的解[32-34]。Szmuk等[35]、Mao等[36-37]在一定前提下給出了序列凸優化算法的收斂性證明。Pinson等[38]研究了一種以燃料最省為目標，用于不規則星體著陸的凸優化方法。Wang等[39]通過定義新的狀態量和控制量實現對再入運動方程狀態量和控制量的解耦，利用序列線性化將原優化問題表述為一系列有限維凸問題，并研究了基于序列半正定規劃的軌跡優化算法[40]。

相比于火星著陸，運載火箭地球著陸不可忽略氣動力[41]，因而動力下降段的飛行優化問題非線性更強，可靠高效求解更為困難，因此研究成果還較為有限。Szmuk等[35]研究了含氣動阻力的燃料最優著陸優化問題，利用連續凸化將原非凸問題轉換為迭代求解凸優化子問題[42]。Liu[42]將推力與攻角(控制氣動升阻力)同時作為控制量，將對應的燃料最優著陸問題轉化為凸優化問題進行迭代求解，并從理論上證明了所采用松弛技術的有效性。Wang等[43]將該研究工作拓展到飛行時間自由的問題，并研究了在模型預測框架下通過凸優化得到制導指令的方法。為了提高著陸飛行軌跡的精度，Wang等[44-45]將偽譜法與凸優化相結合，提出偽譜離散-改進序列凸優化算法求解含過程約束的著陸優化問題，并基于模型預測控制與凸優化設計了著陸制導算法。張志國等[46]同樣采用了凸優化，并通過在線求解凸優化問題實時得到著陸段制導指令。Ma等[47-48]采用非線性規劃與偽譜法求解火箭返回全程優化問題，并提出內外增長初始化策略提高算法的收斂性?？梢钥闯觯陨涎芯烤捎昧嘶谛蛄型箖灮蚍蔷€性規劃的方法，但還無法從理論上保證算法的收斂性，目前僅能通過各類技巧提高算法的收斂效果，包括利用數值優化中的線性搜索方法(計算步長)或信賴域方法(動態調整信賴域半徑)[49]，以及更利于序列凸優化收斂的凸化方法[50]。此外，算法的不可靠(無法保證收斂)通常也使其難以滿足實時性要求。

總而言之，提高著陸軌跡優化的可靠性與計算效率仍是目前學術界的研究難點，具有重要的學術價值和潛在的應用價值。目前,國內外在該領域的研究仍處于探索階段，現有方法還難以工程應用。深入研究保證收斂、具備在箭載計算機上實時計算、性能魯棒的精確著陸制導方法，對助力我國早日掌握火箭回收技術，提高我國在商業航天國際發射市場中的競爭力具有非常重要的意義。

2 美國開展的實踐研究

美國的定點著陸經歷了月球、火星以及地球3種環境，其定點著陸的難度逐漸加大。

2.1 Apollo任務

對于月球著陸，經典的Apollo制導算法在動力下降段根據狀態邊界約束和固定飛行時間，尋找加速度剖面的閉合形式解。盡管Apollo任務取得了令其自身專家均感到驚訝的成果，其制導方法仍存在以下不足：1)制導生成的軌跡不能保證滿足飛行器推力約束，因此在制導指令中引入散布修正項；2)除終端約束外，對飛行器狀態沒有約束，生成的軌跡可能會進入地下或與障礙物碰撞；3)軌跡在時間或燃油消耗方面也不是最佳的。

自Apollo計劃結束以來，為了提高性能，對著陸段制導方法進行了擴展[12]。修改后的Apollo制導算法將飛行時間作為自由變量，通過對飛行時間的線性搜索，查找符合飛行器約束、著陸時間最短或燃料消耗最小的飛行軌跡。這種方法可以在不顯著增加實現復雜性的情況下大大提高性能，但并不是全局最優的軌跡。

2.2 火星探測任務

對于火星著陸任務,NASA火星科學實驗室MSL在2012年著陸時使用了基于Apollo的改進式多項式制導方法進行動力下降。該算法的目標是在動力下降段實現拋傘點到目標點高精度的高度和航程控制，并且多項式制導能夠在飛行器勻速垂直下降之前消除水平速度，使垂直速度達到預定值。

盡管MSL的制導算法進行了改進，但其對再入初始條件的適應能力仍然有限，因此考核制導算法的性能僅針對開傘點，即將針對開傘點的控制精度和機動性能作為考核指標[51]，如果開傘點距離標稱位置差距較大，制導算法并不具備在線規劃和定點控制的能力，因此，火星著陸的落點偏差都在千米級以上。

2.3 未來火星定點著陸探測

NASA認為，Apollo任務及其改進算法無法滿足定點著陸的要求，主要是由于機動范圍受限。著陸的最后兩個階段是減速段(比如采用降落傘減速)、動力下降段(powered descent, PD)，由于減速段很難準確控制與PD段的交接班條件，因此PD段的初始狀態無法提前確定，這時需要采用自主制導(autonomous guidance)來實現軌跡調整和控制，示意圖如圖2所示[52]。

圖2 自主制導示意圖

迄今為止，著陸任務通常針對行星表面平坦的區域，以提高安全著陸的概率。但未來對火星探測的需求不僅局限于此，更有價值的科學興趣點往往位于地勢險峻甚至溝壑和谷底，那里可能曾經是河流沖刷的遺跡。對這些地區的探測，靠火星車從平坦處翻山越嶺來考察是不現實的，因此定點著陸成了任務成功的前提條件。目前，包括NASA自主精確著陸危險規避技術(Autonomous Landing Hazard Avoidance Technology, ALHAT)[53]、美國國家航空航天局自動著陸系統(Autonomous Autolanding System, AAS)[54]、NASA JPL著陸器視覺系統(Lander Vision System, LVS)[55]在內的多種自主精確導航和危險檢測技術正處于開發和測試階段，這些系統的發展和精確著陸制導將使自主定點著陸精度控制在100m范圍內，從而具備探測科學家們更感興趣的危險區域的能力。

為此，JPL從2004年起就提出了一種燃料最優大范圍轉移(Guidance for Fuel-Optimal Large Diverts, G-FOLD)[52]的制導算法，歷經9年的研發。該算法在節省燃料的同時，充分利用飛行器的機動能力，最大化著陸精度，并結合推力大小和方向約束，以最大速度和地表避障為狀態約束，生成可行的飛行軌跡。

G-FOLD利用無損凸化方法引入附加松弛變量對優化問題進行增廣，采用一組等效的控制約束凸化著陸優化問題，生成滿足狀態量和控制量約束的燃料最省飛行軌跡。并且設計了基于內點法算法的定制化二階錐優化求解器SOCP(Second Order Cone Programming)，提升軌跡優化的效率和可靠性。2012年，JPL主導的自主上升與下降動力飛行試驗項目(Autonomous Ascent and Descent Powered-Flight Testbed, ADAPT)[56]在Xombie飛行器上成功對G-FOLD算法進行了測試，能以每100ms在線計算一次的周期，將著陸精度控制在米級,算法框圖如圖3所示。

圖3 G-FOLD在線軌跡規劃框圖

G-FOLD中包含4個主要模塊，即飛行時間優化器(剩余飛行時間按照最小燃料消耗的目標進行線性搜索得到)、軌跡優化器(轉換為二階錐優化問題)、狀態預測器(考慮對規劃的時延進行補償)和軌跡狀態表生成器(離散精度為20ms)；以及前處理和后處理模塊，其中前處理是將優化命題轉換為G-OPT的標準形式，后處理是將計算結果中的一些松弛變量轉換為原來的物理變量。

該技術讓NASA看到了火星定點著陸的希望。2015年，在NASA最新版技術發展路線圖(2015 NASA Technology Roadmaps)的第9個領域“再入、下降和著陸系統”中重點提到了大范圍移動制導方法[57]，其中對G-FOLD算法評價為“NASA目前所知的唯一滿足約束、燃料最優且自主的算法”，實現了在線制導。在該路線圖中，NASA還總結了與其有關的技術子項，包括凸優化問題的求解、在飛行計算機上實現大范圍移動的制導方法、大范圍移動制導方法測試平臺3部分,如表2所示。

表2 在線軌跡規劃關鍵技術

為了驗證該算法，NASA資助了多個小型飛行器的研制，并提供在這些飛行器上進行飛行驗證的機會(通過NASA Flight Opportunities項目進行申請)。這些不同類型的驗證飛行器如圖4所示。

圖4 美國各類垂直起降驗證飛行器

2.4 Falcon9火箭

SpaceX公司的技術人員與前期開展凸優化研究的美國學者和研究團隊有著千絲萬縷的聯系。在其制導/導航與控制技術GNC首席工程師Blackmore看來[41]，在地球上帶有大氣的再入定點著陸比火星更困難。主要原因是地球的大氣密度大約是火星的100倍以上，氣動力已經不能當作一項較小的干擾而被忽略。

圖5[41]所示的地球著落飛行過程中，最后紅色包絡的階段系采用了動力轉移制導(powered divert guidance, PDG)，目的是消除前序飛行段積累的誤差。從圖5中可以看出，在有動力工作的階段，如上升段、反推段，能夠減小控制偏差；在大氣層外滑行段，偏差基本維持不變；而在氣動減速段，受大氣擾動影響偏差增大，這些增大的偏差完全依靠最后的PDG制導來消除。對比圖5和圖2可以看出，在線軌跡規劃的主要使命，就是在末端動力反推起點初始狀態不能提前確定(取決于氣動減速和傘降減速的控制精度)的情況下，將飛行器著陸在提前確定的終點上。

圖5 SpaceX對垂直起降過程剖面的描述

Blackmore透露[41]，他們使用CVXGEN (Mattingley and Boyd 2012)生成定制化的飛行代碼，從而在考慮氣動力的條件下，能夠實現對精確著陸段軌跡規劃問題的在線快速求解。實現這一目標需要非常快速的在線凸優化，在零點幾秒內得到最優飛行軌跡。

為實現火箭垂直回收，SpaceX開展了多次回收試驗，制定了多元、漸進式發展的重復使用技術驗證計劃，其研究過程如圖6所示。該計劃包括以下3種試驗：低空(低于3.5km)、低速測試，高空(3.5km～91km)、中速測試，高空(91km以上)、高速(Ma=6)的彈道式再入、受控減速和受控降落試驗。其中前2種主要通過蚱蜢驗證機、F9R-Dev和新型F9R-Dev2驗證機進行驗證，而第3種則結合Falcon-9火箭發射任務進行。經過持續的地面試驗以及飛行試驗，于2015年12月22日在陸地第一次成功回收了Falcon 9一級火箭，又于2016年4月8日在海上第一次成功回收了Falcon 9一級火箭，標志著SpaceX突破了垂直著陸技術。2018年2月6日，Falcon Heavy火箭升空，并成功同時回收了兩枚助推器。

目前,國際上將火箭垂直著陸的過程分為兩種形式：1)返回原場(return to site)，火箭以著陸后減少運輸成本為目的，返回發射場附近；2)順程著陸(down range landing)，火箭以盡可能減少回收損失的運載能力為目的，在飛行方向上，設置移動著陸平臺。Falcon Heavy的發射任務示意圖如圖7所示[58]，其中兩臺助推器分離時刻較早采用返回原場方式回收，芯級分離時刻能量較大采用順程著陸的方式進行回收。

圖6 SpaceX垂直著陸技術研究過程

圖7 Falcon Heavy發射任務示意圖

3 其他國家相關工作

3.1 法國航天局(Centre National D’Etudes Spatiales, CNES)

CNES認為制導/導航與控制技術GNC是垂直著陸過程最具挑戰的技術之一，并研發了分別基于渦噴發動機和擠壓式火箭發動機的FROG(a Rocket for GNC demonstration)驗證平臺，用于驗證垂直著陸過程中的制導控制算法,見圖8(a)。然而從文獻上看[59]，在FROG中并沒有采用在線規劃算法，而是離線根據直接法規劃最優軌跡，并存貯在嵌入式計算機中；通過設計PID控制率和LQG最優控制率對俯仰、偏航和滾動三通道進行控制，實現對著陸軌跡的跟蹤。

3.2 德國航空航天中心(Deutsches Zentrum fur Luft- und Raumfahrt, DLR)

DLR研制了EAGLE (Environment for Autonomous GNC and Landing Experiments)垂直起降驗證平臺[60]，并利用凸優化算法實時計算動力著陸段燃料最省的飛行軌跡,見圖8(b)。根據最大可用加速度分別估計水平和豎直飛向的剩余飛行時間，取兩者最大值作為預計剩余飛行時間；并通過松弛終端約束的方式避免這個估計值有可能導致找不到最優解的情況。算法采用梯形法和偽譜法對凸優化問題進行離散化，采用ECOS求解器快速計算。該求解器是蘇黎世理工大學成立的Embotech公司研發的基于對偶內點法的凸優化問題嵌入式求解器，該公司還研發了基于數值算法的實時決策軟件FORCES[61]，從數值優化理論上支撐歐洲各國和歐空局開展包括垂直著陸在內的在線軌跡規劃研究工作。

(a)FROG

(b)EAGLE

(c)RV-X

3.3 CALLISTO

CNES和DLR聯合開發了驗證飛行器CALLISTO(Cooperative Action Leading to Launcher Innovation in Stage Toss-back Operation)[62]，并且日本國家航天局JAXA在2017年也加入到了CALLISTO的研發中，該飛行器計劃2022年具備驗證條件，并開展10次左右的飛行試驗，驗證包括制導控制技術在內的垂直起降關鍵技術，降低未來發射風險。從圖9看，3國航天機構各有側重，但GNC技術由原本法國航天局開發變成法、德、日3國共同研發。

日本在參與CALLISTO 之前，JAXA也獨立研發了RV-X飛行器(見圖8(c))[63-64]，用于驗證著陸段的制導控制技術，并計劃開展百米高度的垂直起降飛行試驗，這也為其后續開展國際合作積累了經驗。

(a)CNES和DLR版本

(b)法德日聯合版本

3.4 THEMIS

法國航天局將未來可重復使用的芯一級火箭命名為THEMIS，采用7臺可重復使用的液氧甲烷發動機Prometheus，計劃于2023—2025年之間開展驗證飛行，從而支撐新一代Ariane NEXT系列火箭的可重復使用。圖10是其效果圖，分別是火箭起飛和芯一級著陸[65]。

圖10 CNES構想的重復使用一級飛行器THEMIS

總結各國垂直著陸技術的研發路線可以看出，各國科研機構均以驗證制導控制技術為目的，專門研發了小型驗證飛行器,并且在線軌跡規劃技術作為著陸過程中的核心技術之一。美國和歐洲各國分別依托斯坦福大學和蘇黎世理工大學實驗室的力量，研發了基于嵌入式平臺的在線軌跡規劃求解器，提升著陸過程的精度和成功率。

4 結論

綜合上述學術研究成果和各國開展的應用可以看出：基于數值優化的制導或在線軌跡規劃方法已成為學術界主流研究方向，并逐漸得到了工程界的認可和應用?？紤]凸優化算法能夠保證收斂性的特點，垂直著陸問題的無損凸化方法研究和數值求解算法研究已成為工程領域和數值優化領域的重要方向，其中基于對偶內點法開發的凸優化求解器已成為在線軌跡規劃算法的首選。結合我們自身開展的前期研究，得出如下結論：

1)基于模型的在線優化方法對模型的精度要求較高，預測模型的偏差將被引入到每個規劃周期生成的最優控制指令中，從而不斷累積至終端狀態。此時，對于終端約束不嚴格、可行域較寬、控制能力有盈余的問題，通過在線滾動優化可以一定程度上消除預測模型偏差的影響。然而對于定點垂直著陸問題，終端約束條件的滿足程度直接影響著陸過程的成功率，因此開展在線辨識算法的研究，實時修正預測模型十分必要。

2)為進一步提升凸優化計算效率，針對計算耗時最多的線性方程組求解問題，稀疏矩陣分解和迭代更新等算法的優化或者硬件化可能是有效手段；同時，適用于熱啟動(可以人為設定合理的初值)的交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)也是新的理論研究方向之一。

3)對于垂直著陸任務，推力可調是實現垂直著陸段的必要條件，其重要性要大于推力深度調節能力。調節深度的大小取決于算法的先進性。如果推力幅值固定，在偏差狀態下僅能通過姿態調節來控制，但不能同時兼顧三通道控制要求，往往為克服縱向偏差將在水平方向引入更大的偏差。當推力幅值具備調節能力后，僅需較小的幅值調整范圍就能夠產生姿態大范圍調節的控制效果，同時配合較小的姿態調整能夠在偏差條件下滿足各方向的控制要求。

4)推力調節的深度將主要影響從氣動減速段至動力反推段的接入條件；調節范圍越窄，對交接班條件的限制越嚴格。交班條件可看作是能夠實現安全著陸的物理可行域，通常可表示為由速度和位置構成的多維空間；超出這個條件，不是優化算法找不到最優解，而是物理上不可行。此外，推力越大，動力反推的起點就越低，反推段的工作時間就越短。因此，可以根據控制算法的能力、發動機推力調節的難度以及氣動減速段的控制精度選擇一個最優的、可行的推力調節范圍。對于當前我國發動機推力大、深度節流和調節性能較弱的情況，需要針對交接班條件開展研究。

5)不同的接入條件對偏差的適應能力差別較大，為保證著陸過程中對正、負向偏差均具有一定的適應能力，要求接入條件對應的標準推力盡可能處于調節范圍的中值附近。

6)末段推重比越大，計算延時對精度的影響就越顯著，因此需要研究計算延時的補償算法。