三元一次不等式表征的工程問題的線性圖解法

黃滿良，趙 濤，黃華寧，齊月魁，王虹宇

(1.大港油田石油工程研究院 天津300280；2.大港油田井下作業公司 天津300280)

油管柱的入井深度與油井井身結構及井中液面位置有關，對于中深井和深井常采用組合油管柱以滿足強度要求。而油管柱的強度能否滿足與油管本身的材質、尺寸規格、密度等物理特性及其屈服強度、抗擠能力等機械特性，油管承受的內、外壓差，井中流體密度、井中流體對油管柱的浮力、井身結構以及各級油管的長度等因素有關。本文利用線性圖解法可以在油管柱承壓能力范圍內進行單一管柱和雙級油管組合管柱的強度校核及最大入井深度的求解。利用該方法進行管柱強度校核及求解管柱最大入井深度具有直觀、快捷的特點，提供了用平面圖解決三維問題的方法。

1 不同規格組合加厚油管柱及組合平式油管柱最大下入深度圖解法

下面通過對組合管柱的受力分析，進行公式推導，進而依據公式找到一種采用平面圖求解管柱最大下入深度和進行強度校核的方法。

如圖1所示，上部為直徑較大的油管，其長度為lu，內徑為 du，線密度為 ρu；下部為直徑較小的油管，其長度為 ld、內徑為 dd，線密度為 ρd；油管的內外壓差△P＞0，由于液體浮力使管柱強度偏于安全，文中忽略浮力對油管強度的影響。

圖1 組合管柱示意圖Fig.1 Schematic diagram of combined tubing string

1.1 作用在下部油管的最大載荷

作用在下部油管上的最大載荷發生在其最上部即 2種油管的連接處。最大載荷由下部油管自身重量 Gd、油管內外壓差△P作用在下部油管上的拉力Fd△P和油管內液體作用在下部油管上的拉力Fdl3部分載荷組成。

作用在下部油管上的最大載荷Fdmax：

式中：Gd為下部油管自身重量，N；ρd為下部油管的線密度，kg/m；ld為下部油管的長度，m；g為重力加速度，m/s2；Fd△P為油管內外壓差△P作用在下部油管上的拉力，N；dd為下部油管內徑，m；△P為油管內外壓差，Pa；△P＝Pi-Po；Pi為油管內壓力，Pa；Po為油管外壓力，Pa；Fdl為油管內液體作用在下部油管上的拉力，N；lu為上部油管的長度，m；ρl為井中液體的密度，kg/m3。

1.2 作用在上部油管的最大載荷

作用在上部油管上的最大載荷發生在井口油管掛處，最大載荷由上部油管自身重力Gu、下部油管自身重力 Gd、油管內外壓差△p作用在上部油管上的拉力Fu△P和油管內液體作用在上部油管上的拉力Ful4部分載荷組成。

作用在上部油管上的最大載荷Fumax：

式中：Gu為上部油管自身重力，N；ρu為上部油管的線密度，kg/m；lu為上部油管的長度，m；Fu△P為油管內外壓差△P作用在上部油管上的拉力，N；du為上部油管內徑，m；Ful為油管內液體作用在上部油管上的拉力，N；Fulu為上部油管內液體作用在上部油管上的拉力，N；Fuld為下部油管內液體作用在上部油管上的拉力，N；ld為下部油管的長度，m。

1.3 組合油管柱強度校核

根據采油技術手冊，油管強度校核應滿足下式：

式中：m為安全系數(取1.3)；Fmax為油管所受最大載荷，N；Fs為油管的抗滑扣載荷，N；D 為油管外徑，m；d為油管內徑，m；t為油管螺紡牙深，m；σs為油管材料的最小屈服強度，N/m2。

據此得出組合油管柱強度校核公式：

式中：Fus為上部油管的滑扣載荷，N；Fds為下部油管的滑扣載荷，N。

1.4 圖板繪制

1.4.1 給定條件下的強度校核公式

上部油管的抗滑扣載荷Fus：

式中：Du為上部油管外徑，m；t1u為上部油管螺紋牙深，m。查表可知不加厚油管 t1u＝0.00142m，故：

下部油管的抗滑扣載荷Fds：

式中：Dd為下部油管外徑，m；t1d為下部油管螺紋牙深，m。查表可知不加厚油管t1d＝0.00142m，故：

查表得ρu＝13.48kg/m，ρd＝9.41kg/m。將已知數據代入式(5)、(6)，整理得：

從式(9)、(10)可以看出，lu、ld、△P 3 個變量之一是另2個變量的線性函數。

式(9)與式(10)所代表的不等式相交于直線：

1.4.2 組合管柱承壓計算

根據采油技術手冊：

式中：ΔPmax為油管所能承受的壓差ΔP的最大值，MPa；N為壁厚系數，取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負偏差)；δ為油管壁厚，m；D為油管外徑，m。

很明顯，組合油管柱所能承受的最大壓差應為二者之中的較小值，即70.1MPa。

1.4.3 圖板繪制及使用說明

根據式(9)、(10)及組合油管柱所能承受的最大壓差，繪制 3個變量 lu、ld及△P之間的關系圖(圖2)。該關系圖的使用說明如下：

①可以求出任一壓差下，△P、lu、ld之間的匹配關系。

②可以看出，△P為定值時，lu+ld最大值在直線lu-0.4520ld-14.628＝0上。

③可以看出，△P為定值時，單一管柱的最大入井深度分別在縱軸(不加厚管柱)和橫軸(油管柱)上，因而用此圖可以進行單一管柱的強度校核。

④對于兩級油管組合管柱，在△P為定值時，lu或 ld知其一的情況下，可得另一油管的最大入井深度，進而求得此條件下管柱的最大入井深度。

⑤可以求出任意的 lu和 ld組合管柱所能承受的最大壓差△Pmax。

⑥可以在△P、lu、ld均已知的條件下進行強度校核。

圖2 滿足油管柱強度的ΔP、lu、ld匹配圖Fig.2 Matching diagram of ΔP，lu，and ldsatisfying strength of tubing string

1.4.4 應用舉例

某井油管柱△P＝15MPa，ld＝2000m 時，需要確定lu的最大值。如圖△P＝10和△P＝20之間用差分法畫△P＝15的曲線(與△P＝10和△P＝20)平行；作直線ld＝2000與△P＝15的曲線相交，從交點處作水平線與縱軸相交，其交點即為此條件下不加厚油管的最大下入深度 lumax＝1380m，故此時組合油管柱的最大下入深度為lumax+ld＝1380+2000＝3380m。

2 同規格、同壁厚加厚與平式組合油管柱最大下入深度圖解法

同規格、同壁厚組合的油管柱如圖3所示，上部為加厚油管，長度為 lu，下部為不加厚油管，長度為ld，兩級油管的內徑均為d，油管內部壓力為Pin，外部壓力為 Pout，油管內外壓差ΔP＝Pin-Pout＞0，由于井中流體對管柱的浮力及井斜使管柱強度偏于安全，文中忽略它們對油管柱下入深度的影響。

圖3 兩級組合管柱示意圖Fig.3 Schematic diagram of double-stage combined tubing string

2.1 作用在上部油管的最大載荷及作用在下部油管的最大載荷

前文已推導出作用在上部油管的最大載荷Fumax和Fdmax分別為(1)、(2)兩式，由于討論的5種工況是基于 du=dd=d的條件，故(1)、(2)兩式可簡化為(12)、(13)兩式。

式中：ρu為加厚油管的線密度，kg/m；ρd為不加厚油管的線密度，kg/m；lu為加厚油管的長度，m；ld為不加厚油管的長度，m；g為重力加速度，m/s2；ΔP為油管內外的壓力差，MPa；d為油管柱的內徑，m；ρl為井中流體密度，kg/m3。

2.2 組合油管柱強度公式

根據采油技術手冊，每級油管強度應滿足(3)式，上部油管即加厚油管的抗滑扣載荷：

式中：D為油管本體外徑，m；σs為上部油管材料的最小屈服強度，N/m2。

下部油管即不加厚油管的抗滑扣載荷Fds為：

式中：t1為下部油管螺紋牙深，m；σds為下部油管材料的最小屈服強度，N/m2。

故組合油管柱強度校核公式為：

2.3 組合油管柱所能承受的最大壓差ΔPmax

根據采油技術手冊：

式中：n為壁厚系數，取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負偏差)；δ為油管壁厚，mm；D 為油管本體外徑，mm；sσ為油管材料的最小屈服強度，N/m2。

本文考慮的 5種工況為同規格、同壁厚、同材質，即：

σus=σds=σs，且均為N80材質的情況，故σs＝552MPa。

5種工況對應的各種參數，通過查閱采油技術手冊，列于表1。

表1 5種工況對應參數表Tab.1 Corresponding parameters of five working conditions

根據(18)式及以上數據，可以計算出A—E各種工況條件下，組合管柱承受壓差的能力，見表2。

表2 對應于5種工況條件的最大壓差Tab.2 Maximum pressure difference corresponding to five working conditions

2.4 長度匹配關系圖的繪制

為使本文所繪圖譜更具實用性，井中流體密度取1000kg/m3。這是因為在油管柱承受較大壓差的條件下，井中流體密度一般小于此值，當井中流體密度低于此值時，使文中所取油管內流體重量比實際偏大些，因此使用所繪圖譜求解油管柱的最大下入深度及強度校核，偏于安全。根據(16)、(17)兩式及已知數據可以推導出不同工況下滿足強度要求的關于lu、ld和ΔP的不等式組。

A工況：

式(19)、(20)所代表的不等式相交于直線：

B工況：

式(21)、(22)所代表的不等式相交于直線：

C工況：

式(23)、(24)所代表的不等式相交于直線：

D工況：

式(25)、(26)所代表的不等式相交于直線：

E工況：

式(27)、(28)所代表的不等式相交于直線：

利用式(19)—(28)，結合油管柱抗壓差能力，即可繪制出 A—E工況不同壓差下上部油管長度lu與下部油管長度ld的匹配關系圖，見圖4—圖8。

2.5 利用長度匹配關系圖能解決的工程問題

①可以求出本文給定條件下及抗壓差范圍內任一壓差值下lu與ld的匹配關系。

②在ΔP為定值時，lu或ld兩者知其一的情況下，可查出另一油管的最大下入深度，進而求出此條件下組合管柱的最大下入深度。

圖4 A工況不同壓差下lu與ld匹配關系圖Fig.4 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition A

圖5 B工況不同壓差下lu與ld匹配關系圖Fig.5 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition B

圖6 C工況不同壓差下lu與ld匹配關系圖Fig.6 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition C

圖7 D工況不同壓差下lu與ld匹配關系圖Fig.7 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition D

圖8 E工況不同壓差下lu與ld匹配關系圖Fig.8 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition E

③可以求出任意的lu與ld組合管柱所能承受的最大壓差。

④可以在ΔP、lu與ld均已知的條件下，進行組合管柱的強度校核。

2.6 長度匹配關系圖應用舉例

如圖5所示：

①在ΔP＝10和ΔP＝20之間用差分法畫出ΔP ＝15的曲線；

②作直線ld＝2000與ΔP＝15的曲線相交；

③從交點做水平線與縱軸相交，交點坐標為(0，1669)。

故lumax＝1669m。此時組合管柱的最大下入深度為：

3 膨脹管最大下入深度與液面位置關系的圖解法

膨脹管補貼施工中，施工管柱示意圖如圖 9所示，施工深度為 L；施工管柱與原井套管環空的頁面位置為 H；施工使用的油管為加厚油管(外徑73mm，內徑62mm)，鋼級為N80；施工壓力為P。

圖9 補貼施工管柱示意圖Fig.9 Schematic diagram of patching construction tubing string

3.1 作用在N80加厚油管上的最大載荷

作用在加厚油管上的最大載荷發生在油管的頂端，最大載荷由油管自身重力 G、施工壓力作用在油管下端的拉力 FP和油管內的液體作用在油管上的拉力FL以及油套環空的液體作用在油管柱上的浮力Ff這4部分載荷組成。

油管自重力為：

式中：G為油管自重，N；ρG為油管的線密度，kg/m；L為油管長度即膨脹管下入深度，m；g為重力加速度，m/s2。

施工壓力作用在油管下端的拉力為：

式中：FP為補貼施工壓力 P作用在有關柱下端的拉力，N；d為油管內徑，mm；P為施工壓力，Pa。

油管內液體作用在油管上的拉力Fl為：

式中：FL為油管內液體作用在其底部底堵位置的拉力，N；ρli為油管內液體密度，kg/m3。

油套環空的液面位置對油管柱受力的影響有：

①當H≥L時，井中流體對膨脹管輸送管柱無浮力作用，即 Ff＝0。

②當H＜L時：

式中：Ff油套環空的液體作用在管柱上的浮力，N；D為加厚油管管體外徑，mm；ρlo為油套環空液體的密度，kg/m3；H油套環空液面位置，m。

所以作用在油管上的最大載荷Fmax：

當H≥L時：

當H＜L時，

3.2 施工管柱強度校核

根據采油技術手冊油管強度應滿足：

式中，m 為安全系數(取 1.3)；FS為油管柱抗滑扣載荷，N；σS為油管材料的最小屈服強度，N/m2。

據此得出滿足膨脹管補貼施工管柱強度的校核公式：

當H≥L時，

當H＜L時，

當H≥L時，

當H＜L時，

3.3 強度校核圖板

3.3.1 圖板繪制

式(12)、(13)所代表的不等式相交于直線 H＝L，在給定不同 P值的情況下，所代表的不等式可以用直線簇的形式繪制在一張圖上，在該圖的左上區為H≥L即環空液面在補貼位置以下的區域，右下區為H＜L，即環空液面在補貼位置以上的區域。

3.3.2 圖板使用情況

①可以找出在任何 H、L組合下，施工管柱所能承受的最大內壓。

②可以校核任何H、L、P組合下的施工管柱強度是否安全。

③因為在膨脹管補貼前業界均要求施工管柱達到 45MPa，據此可以找出在不同 H 條件下，膨脹管補貼對應最大深度。

3.3.3 圖板應用舉例

某井在進行膨脹管補貼前施工管柱進行了45MPa內壓試壓，合格。該井液面在 2000m，補貼施工壓力不大于 45MPa，需要確定該井可進行膨脹管補貼的最大深度。參考圖10，從縱軸 2000的位置作橫軸的平行線與直線 P＝45MPa相交(A 點)，從該點作橫軸的垂線，該垂線與橫軸的交點對應 L＝3360m即為本井可施工膨脹管補貼的最大深度。

某井液面位置在 2000m，該補貼施工的位置在1520m，需要確定進行膨脹管補貼時管柱是否強度安全。參考圖10，H＝2000，L＝1520的 2條直線的交點(B點)位于H＞L區域，在P＝45MPa直線與縱軸所包含的區域內，故該井進行膨脹管補貼管柱強度安全。

圖10 膨脹管下入深度與膨脹壓力及液面位置匹配圖Fig.10 Matching diagram of penetration depth of expansion pipe，expansion pressure and liquid level position

4 結 論

①本文找到了一種用平面方法解決三維問題的方式，即用平面圖板求解△P、lu、ld之間的匹配關系，具有快捷、直觀的特點，具有較強的實用性。

②由于本文的公式推導過程忽略了井中流體浮力對管柱入井深度的影響，據此求出的最大入井深度比理論最大入井深度小，因而是偏于安全的。

③對于井中流體密度小于 1000kg/m3的工況，由于液柱重量的下降，應用本文求解是偏于安全的。

④圖10中H≥L區域與H≤L區域的工況忽略浮力影響的結果相同，因而在 H≤L時，亦可采用H≥L對應的區域進行各項應用，并且由于忽略了浮力的作用，其結果應是偏于安全的。

⑤文中計算忽略了井斜的影響，由于井斜使管柱重量降低，按此系列圖表查得的結果是偏于安全的。

⑥文中的公式推導是基于新油管的情況，生產實踐中管柱的下入深度必須考慮油管的新舊程度。