并聯機構輕量化設計

汪滿新 諶秋生 劉 方 祖 莉 安守和

(1.南京理工大學機械工程學院， 南京 210094； 2.宜昌測試技術研究所， 宜昌 443003)

0 引言

并聯機構因具有剛度大、結構穩定、承載能力強、精度高、運動慣性小、實時控制性好等特點而得到廣泛應用[1]，特別是1T2R 3自由度并聯機構，如Z3主軸頭中3-PRS并聯機構[2]，Tricept、Exechon、以及TriVariant等混聯機器人中的3自由度并聯模塊[3-5]，已在飛機大部件加工與自動鉆鉚、機身與機翼對接面現場加工、汽車發動機缸體銷孔過盈裝配，以及大型鋼構相貫線切割等方面得到應用。

靜剛度可表征機構在外載荷作用下抵抗變形的能力，是并聯機構最重要的性能之一，因而常常被作為評價機構性能以及機構結構參數優化設計的指標。早期剛度性能優化所用剛度指標大都參考運動學性能指標的研究思路提出，即使用剛度矩陣的代數特征值[6-11]。HUANG等[6]提出以機構末端剛度的全域均值為性能指標，考察了該指標隨機構截面參數變化的規律。XU等[7]與WU等[8]以剛度矩陣最小特征值為評價依據，分別對一類以3自由度并聯機構為主體的拋光機及一類3自由度非對稱球面并聯機器人結構參數開展優化。值得指出，以上述代數特征值為性能指標所代表的物理意義與使用場景不甚清晰，且大部分僅僅局限于以某個指標為依據考察剛度在工作空間內的分布規律，而未實施基于剛度的優化設計。

剛度矩陣同時包含線剛度與角剛度，存在量綱不一致的問題。為此，學者們主要采取了2種方法：①利用特征長度對剛度矩陣作歸一化處理，在剛度矩陣前乘或后乘某一矩陣，該矩陣也稱為權重矩陣[12-13]。如SUN等[13]對3自由度冗余驅動機構剛度分析時，提出以剛度矩陣的特征值對剛度矩陣作歸一化處理。剛度矩陣作歸一化處理后其數學特征值往往和特征長度關聯密切，但特征長度的選擇目前暫無統一標準。PORTMAN等[14]提出共線剛度作為優化設計的剛度性能指標，通過對剛度矩陣同時前乘和后乘無窮小位移旋量得到共線剛度，包括線剛度和角剛度。②利用無阻尼振動方程中質量與剛度的關系，以得到具有齊次量綱的矩陣[15]，此方法會將得到的矩陣單位轉變成固有頻率的單位，故優化設計無法保證機構的剛度性能。

上述剛度評價指標大部分為了使機構具有良好的剛度性能，雖可使機構具備高剛度，但是質量與體積或變大，影響機構動態特性，故在剛度設計時應兼顧機構的動態性能。固有頻率作為動態特性的重要評價指標之一，常常被用于機構的優化設計[16-18]。ZHAO等[16]以有限元分析與子結構綜合技術構建8-PSS并聯機構的彈性動力學模型，并通過靈敏度分析了影響低階固有頻率的要素，進而為該機構的動態性能改進奠定了理論基礎。ZHANG等[18]以3-RPS并聯機構為對象，通過旋量理論和能量法構建其剛體動力學模型，并據此考察了機構一階固有頻率隨尺度參數的變化情況。為得到低階固有頻率，以上研究工作必須先通過復雜的流程構建機構的動力學模型。

輕量化設計是指在滿足機構所需剛度約束前提下，減輕機構零部件的質量，或在保持質量不變的前提下，提升機構的剛度。因此輕量化設計為在兼顧剛度的前提下提升機構動態特性的有效途徑。該思路已被用于機床零部件的優化設計中，如ZULAIKA等[19]提出一種可兼顧加工效率的銑床輕量化設計方法。

1 系統簡介與剛度模型

圖三維模型Fig.1 3D model of parallel mechanism1.機架 2.轉動副從動臂 4.球幅S 5.動平臺 6.主動臂 7.轉動副R

圖并聯機構結構簡圖Fig.2 Schematic of parallel manipulator

圖3 支鏈體裝配體連體坐標系Fig.3 Body fixed frames of limb body assembly

參照文獻[20]，在不考慮重力且假設靜平臺和動平臺為剛體的前提下，點O′的剛度模型為

(1)

式中J——全雅可比矩陣[21]

ka,i、kc,i——點Ai沿z3,i(驅動)和x3,i(約束)方向的界面剛度

(2)

對于子裝配體1，其剛度可表示為

(3)

式中θ1——主動臂BiPi與從動臂PiAi間的夾角

對于子裝配體2，其剛度可表示為

(4)

由于S副尺度參數比較小，變化幅度不大，故為簡化計算，將其視為常數。

(5)

其中

K1、K2——僅考慮子裝配體1和子裝配體2彈性時末端剛度矩陣

2 輕量化設計

2.1 設計變量

2.1.1子裝配體1

圖4 主動臂L1關鍵結構參數Fig.4 Critical structural parameters of active link

圖5 轉動副結構示意圖1.制動器 2.機架 3.主動臂 4.減速機法蘭 5.電機 6.減速機1 7.減速機2 8.旋轉軸

2.1.2子裝配體2

子裝配體2包括球副S、從動臂L2及轉動副R。現分別對他們的結構進行剖析如下：

(1)如圖6所示，球副S一端由虎克鉸連接于動平臺，一端由自轉銷軸旋轉連接于從動臂L2。當虎克鉸的尺寸確定后，自轉銷軸的直徑也隨之確定，故球副的設計關鍵在于虎克鉸的選型，由文獻[20]可知，球副在驅動與約束方向的剛性貢獻率均小于其他構件，故將在考慮構件間的尺度關聯關系和整機尺寸之后，盡可能增大球副尺寸以提高其剛性。

圖6 球副S示意圖Fig.6 Diagrams of S joint1.從動臂 2.自轉銷軸 3.虎克鉸 4.動平臺

(2)如圖7所示，從動臂軸向長度較大，故影響其剛度和質量的主要因素為從動臂自身的結構參數，包括從動臂長度l2、寬度lb、高度lh以及筋板厚度lt4、lt5與lt6。其中，l2為機構尺度參數，可由運動學設計提前確定。當球副尺寸確定后，從動臂寬度lb也隨之確定。此外，為保證從動臂在驅動方向的剛度分布均勻，令lt4=lt6。綜上可知，從動臂的獨立設計變量為lt4、lt5、lh。

圖7 從動臂L2關鍵結構參數Fig.7 Critical structural parameters of driven link

(3)轉動副R包含旋轉軸及軸承，一般軸承的剛性小于相同直徑軸的剛性，故轉動副R的剛性主要由其內軸承決定。由文獻[20]可知，轉動副R的剛性遠大于其他運動部件，故設計時在考慮標準件的安裝和關聯部件的尺度關聯關系的前提下，盡量減小設計尺寸以減小質量。

2.2 目標函數與設計流程

圖并聯機構輕量化設計流程圖Fig.8 Process of lightweight design for parallel mechanism

據此，可得輕量化設計目標為

(6)

式中mk——支鏈的第k個子裝配體的質量

f——機構低階固有頻率

2.3 剛度約束

2.3.1機構末端靜剛度約束

(7)

考慮機構常用的工作范圍，令60%工作空間(θ=0～18°，ψ=0°～360°)內上述各向線剛度和角剛度滿足

(8)

式中 [ku]、[kv]、[kw]——各線剛度在60%工作空間內的下限值

[kru]、[krv]、[krw]——各角剛度在60%工作空間內的下限值

2.3.2剛度匹配準則

由力學原理可知，對于串聯彈簧系統，其剛度由系統內剛度最薄弱的子系統決定。故在總質量一定的前提下，合理分配各子系統的質量和剛度，有利于在保持質量不增加的前提下大幅提升整機的剛度。為此，需制定各子系統間的剛度匹配準則。

式中ku,L1、kv,L1、kw,L1——子裝配體1彈性時機構末端點沿x′、y′、z′軸的線剛度

kru,L1、krv,L1、krw,L1——子裝配體1彈性時機構末端點繞x′、y′、z′軸的角剛度

ku,L2、kv,L2、kw,L2——子裝配體2彈性時機構末端點沿x′、y′、z′軸的線剛度

kru,L2、krv,L2、krw,L2——子裝配體2彈性時機構末點繞x′、y′、z′軸的角剛度

ηu,L、ηv,L、ηw,L——子裝配體1與子裝配體2之間的線剛度匹配系數

ηru,L、ηrv,L、ηrw,L——子裝配體1與子裝配體2之間的角剛度匹配系數

其中，[]表示對應參數的下限值。ηL,min和ηL,max為系數上、下限。

因此，為使機構靜剛度能滿足式(9)所給出的約束條件，可確定支鏈體子裝配體1與子裝配體2的靜剛度約束為

(10)

(11)

式(10)、(11)分別給出了由剛度匹配系數確立子裝配體1與子裝配體2需滿足的靜剛度約束。剛度匹配系數的不同將導致各子裝配體的剛度約束不同，從而將得出不同的設計結果，并影響機構的固有頻率，因此本文將采用以使機構低階固有頻率最高為依據確定剛度匹配系數。

2.3 幾何干涉分析

如圖9所示，為保證3條支鏈的轉動副R之間不發生干涉，當機構的3條主動臂均位于水平面時，轉動副R的寬度hR應滿足

(12)

式中lR——轉動副R的半徑

δ——防止干涉而預留的余量

其中，lR即其內所含軸承的外徑，取決于軸承的選型；注意到R副對于從動臂而言相當于懸臂梁的固定端，故其寬度應盡可能大，為此，可取其上限值，該約束主要應用于轉動副的設計。

圖9 干涉位形示意圖Fig.9 Diagram of interference of mechanism

2.4 制造工藝約束

主動臂設計變量lt1、lt2及從動臂設計變量lt4、lt5均為壁厚尺寸，故考慮到制造工藝需滿足一定要求，設置各壁厚的約束為

δmin≤lt1、lt2、lt4、lt5≤δmax

(13)

式中δmin——壁厚的最小許用值

δmax——防止壁厚過大而設置的上限值

2.5 優化設計問題構造

若支鏈體部件間的剛度匹配系數可以確定，則子裝配體1與子裝配體2之間的剛度約束即可確定。在此基礎上，可根據子裝配體1及子裝配體2的剛度約束分別優化得出主動臂及從動臂的結構參數。然而，對于實際的工程應用，子裝配體1與子裝配體2的剛度并不能保證同時達到最小，因此，為保證支鏈體的總質量最小，在以子裝配體1的剛度約束優化得到子裝配體1的優化結構參數之后，以整機末端剛度為約束優化子裝配體2的結構參數。故可分別構造子裝配體1和子裝配體2結構參數優化函數為

(14)

其中

xL1=(lt1，lt2，lm)

(15)

其中

xL2=(lt4,lt5,lh)

3 算例

表并聯機構尺度參數與60%工作空間Tab.1 Dimensions and 60% workspace of parallel mechanism

表副各項剛度Tab.2 Stiffness coefficients of joint

表3 球副中標準件選型及其剛度與質量Tab.3 Standard component, stiffness coefficients and masses of S joint

表4 R副軸承選型方案及其剛度與質量Tab.4 Standard component, stiffness coefficients and masses of R joint

在此，假設機構末端點各項剛度下限值分別為[ku]=[kv]=2 N/μm，[kw]=11 N/μm，[kru]=[krv]=2.6×104N·m/rad，[krw]=2.9×104N·m/rad。

若子裝配體間的剛度匹配系數ηL可以確定，則子裝配體1與子裝配體2之間的剛度約束亦可確定，各子裝配體輕量化設計即可完成。由式(10)、(11)可知，剛度匹配系數有6個。為簡化計算，可令ηL=ηu,L=ηv,L=ηw,L=ηru,L=ηrv,L=ηrw,L。關于剛度匹配系數ηL的優選，現通過給定3種備選方案論述優選流程。

令ηL=1、ηL=0.85、ηL=0.7。則可根據式(10)和式(11)確定上述3種方案下子裝配體1與子裝配體2的各項剛度的下限值如表5所示。

圖10 主動臂L1質量與剛度響應面模型Fig.10 RSM of mass and stiffness of active link

圖11 從動臂L2質量與剛度響應面模型Fig.11 RSM of mass and stiffness of driven link

ηL[kO′u,L1]/(N·μm-1)[kO′w,L1]/(N·μm-1)[kO′ru,L1]/(N·m·rad-1)[kO′rw,L1]/(N·m·rad-1)[kO′u,L2]/(N·μm-1)[kO′w,L2]/(N·μm-1)[kO′ru,L2]/(N·m·rad-1)[kO′rw,L2]/(N·m·rad-1)14.022.005.20×1045.800×1044.00022.005.200×1045.800×1040.853.720.354.81×1045.365×1044.35323.945.659×1046.312×1040.703.418.704.42×1044.930×1044.85726.716.314×1047.043×104

同理，使用上述相同的步驟，當ηL=0.85、0.7時對應主動臂及從動臂的結構參數如表6所示。

圖12為機構末端點位于平面且在60%工作空間內的前4階固有頻率分布情況，由圖可見，機構的前4階固有頻率由大至小排序依次為：f4、f3、f2、f1因此，不同方案下固有頻率不同表明剛度匹配系數是影響機構動態特性的重要因素。圖13為優化后僅考慮支鏈體裝配體彈性時機構的末端點剛度的分布規律。顯見，機構的全域剛度滿足約束條件。

表6 3種方案下主動臂、從動臂的結構參數及其質量Tab.6 Structural parameters of active link, driven link and mass of limb-body in three cases

圖并聯機構60%工作空間內固有頻率分布規律 (z=100 mm)Fig.12 Distributions of natural frequencies in 60% of workspace (z=100 mm)

圖13 支鏈彈性末端剛度在60%工作空間內的分布規律 (z=100 mm)Fig.13 Distributions of stiffness in 60% of workspace (z=100 mm)

4 結論

(1)提出了一種基于靜剛度約束的3-RRS并聯機構輕量化設計方法。該方法基于剛度匹配設計準則將末端靜剛度約束分配給兩個子裝配體，在此基礎上，考慮工藝制造及幾何干涉等約束，以各子裝配體的質量最小和整機低階固有頻率最高為目標完成各子裝配體的輕量化設計，進而實現了整機的輕量化設計。

(2)所提出的輕量化設計方法可在滿足靜剛度約束條件下，使整機質量最小，且具有優良的動態特性。

(3)子裝配體間剛度匹配系數的不同，對應的固有頻率也不同，表明剛度匹配系數是影響機構固有頻率的重要因素，為得到輕質高剛的機構，應選取合理的剛度匹配系數。