樹木生長方程的融合分析研究

孫杰，孫小珺，尹若波,張德全,王克華,于凌飛，張靖

(1.龍口市國有林場,山東 煙臺 265701;2.山東省龍口市森林病蟲害防治站,山東 煙臺 265701;3.山東省林業外資與工程項目管理站,山東 濟南 250014；4.山東省林業監測規劃院,山東 濟南 250014)

為了全面提升森林質量，迅速扭轉種質資源趨于退化的不良態勢，從2010年開始，數學經驗方程在林業研究方面得到了廣泛應用，胡海燕[1]、王親波[2]等對樹木成熟齡進行了系統研究；鞏延蘋[3]對樹木生長量與降水量的關系進行了研究；張德全[4]對氣候干濕周期進行了研究；矯興杰[5]、張靖[6]、董興囤[7]、楊科家[8]分別在碳儲量、生長節律、光照影響與生長因素影響剔除等方面進行了研究。筆者經過長期研究發現，光照、降水、氣溫是影響樹木生長的主要生態因子，但是其影響程度需要在時間尺度上進行表達。筆者認為時間因素也應是影響樹木生長的因子，只不過這一因子具有周期性、恒定性、均衡性、不可改變等特點，別的因子表現均為通過時間因子尺度上的表達，筆者經過研究發現，樹木的生長方程y=exp(a+bx)(其中y為樹木的各種生長量指標，如樹徑、樹高、材積等，為因變量；x為影響因變量變化的各項影響因子值，即時間、光照、氣溫、降水等；a，b為待求系數。由于本函數為成長函數，樹木一般不會出現負增長，故b一般為正值，下同)和阻力方程y=exp(a-b/x)(方程中的符號含義同上一經驗方程)，通過一定系數的換算，加以融合，只要樣本數一致，起始年齡一致，不論齡階(兩個年齡相近樣本間隔的時間長度)的大小，其試驗精度是一致的，筆者以一棵300年生的側柏解析木進行研究。

1 資料來源

解析木材料為2013年12月采自山東省棗莊市山亭區山亭林場，是所有試驗解析木中樹齡最大的一棵。

2 研究方法

筆者曾用經驗方程對樹木生長過程作過多次研究，用經驗方程y=exp(a+bx)(其中y為樹木的各種生長量指標，如樹徑、樹高、材積等，為因變量，x為影響因變量變化的各項影響因子值，即時間、光照、氣溫、降水等，a，b為待求系數，由于本函數為成長函數，樹木一般不會出現負增長，故b一般為正值)研究樹木生長快慢，及各項因子及其交互作用的影響程度，用經驗方程y=exp(a-b/x)(方程中的符號含義同上一經驗方程)來研究因變量的平均變化速度和即時變化速度，即x=b時，因變量平均變化速度最快，當x=b/2時即時變化速度最快(通過對方程的一階求導和二階求導可得)，用以追求效益最大化。筆者經過多年大量研究發現，如果將這兩個方程加以融合，不分樹種、立地條件的差異，只要是起始年齡相同、時間因素對應的樣本間隔一致或者是具有相同的倍數，再加上適當的系數調整，其實驗精度能夠達到完全一致。

先用經驗方程y1=exp(a1+b1t)和y2=exp(a2-b2/t)(為了區別其間，在函數和待求系數加了下標)建立樹木生長量與樹木生長年齡的回歸關系，求得待求系數a1、b1、a2、b2，在這里y1、y2為以時間t為自變量、樹木實際生長量(實測值)為因變量而到的經驗方程擬合值。

如果令y3=exp(a3+b3t)和y4=exp(a4-b4/t)，y3、y4為對y1、y2而言， 將上述的樹木生長量(實測值)替換為y1^m×y2^n，其中m、n為小于的純小數，滿足m+n=1的條件，并且使得方程y3、y4的方程擬合精度完全相等，m、n用電子表格計算采用逐步接近的辦法解決求算問題，筆者將求算精度定為10億分之一，即1E-9。經過大量驗算得出以下結論：不分樹種、立地條件的差異，不分樹木生長指標性質的不同(如樹徑、樹高、材積等)只要是起始年齡相同、時間因素對應的樣本間隔一致或者是具有相同的倍數，再加上適當的系數調整，y3、y4的方程擬合精度完全相等，筆者把一精度定義為平衡精度。

3 研究過程

3.1 生長過程原始擬合

筆者以300年生樣木為例，對這一科學研究方法進行論述。先用解析木資料建立樹木生長量與樹木年齡的經驗方程。用D2-0代表地徑項目，用D2-0.5代表0.5 m高處樹徑項目，余者類推，用H2代表樹高項目，用V2代表樹木材積項目。用Y(t)代表以時間(樹木年齡)為自變量，以樹木各種指標的生長量為因變量的函數。分別利用經驗方程y(t)=exp(a+bt) 和y(t)=exp(a-b/t)建立數字回歸方程。用電子表格計算，得到試驗結果如表1、表2所示。所有項目均通過R檢驗、F檢驗和t檢驗，擬合精度均達到99.39%以上，最高的達到99.98%。表中的翻番時間，為該樹木生長量每增長一倍所需時間，用來形象地表達樹木生長速度。從表1看出，樹木7.0 m徑增長速度最快。表2中的tm、tz分別為函數y(t)=exp(a-b/t)的一階和二階導數值，前者是在此時刻樹木生長指標平均增長速度最大，后者是即時增長速度最大，前者是后者的二倍。試驗精度之高，說明筆者選用方法及試驗數據準確，為此筆者不再做類似的適合性檢驗。從表2可以看出，樹高6.5 m以上的側柏壽命可達3 700 a以上，樹高7.0 m以上的側柏壽命可達10 665 a,中國曾有古柏壽命5 000 a以上的傳說和記載，至于1萬年以上只能是筆者研究的期望壽命，隨著對古樹名木保護力度的加大，筆者因為壽命萬年的古柏，將會不再是傳說，而成為現實。

表1 300年生側柏生長過程經驗方程擬合表(1 a齡階、成長方程)

表2 300年生側柏生長過程經驗方程擬合表(1a齡級、阻力方程)

3.2 生長過程經驗方程融合

將表1、表2中的方程擬合值分別乘以一個適當的調節系數m與n(前面已作過論述)，然后將二者的乘積作為因變量的取值，把時間當作自變量，分別以y(t)=exp(a+bt)和y(t)=exp(a-b/t)建立經驗方程進行分析，計算結果如表3與表4所示。表3中的相對貢獻率的計算以D2-0項目為例進行說明，它的相對貢獻率=1/〔1+(166.49-102.94)/102.94〕×100%=61.83%，式中116.49、102.94分別為表3、表1中的樹木該生長量指標，這就是說若要達到這一均衡狀態，得采取措施使樹木生長勢能降低1-61.83%=38.17%，這只是理論上的假設，我們沒有必要去做樣的事情，只是為了大家更好地理解這一問題，筆者采用了相對貢獻率的概念(下同)。由表3可以看出，起始與終止年齡一致，在同一齡階條件下，方程的相關系數和擬合精度均相等，隨著起始年齡的增大，其精度和相關系數逐步增大，起始年齡達到287 a的D2-7.0項目，其擬合精度達到99.999 9%，幾乎接近100%，相關系數也非常接近于1，隨著年起始年齡的升高，調節系數m逐步接近0.5的水平，說明樹齡越高，生長的阻力作用明顯上升，表現樹木生長勢的衰弱.調整系數m以樹高為最低，這是由于所有植物都有趨光性，為了爭得陽光的普照，樹木向高處發展的內在動力是很大的，筆者認為風的作用是影響樹高生長的重要因素，風抑制了樹高生長速度，樹木的內在生理機制就要產生抵制這一抑制作用的動力。表4的研究精度及關于精度的各指標(如相關系數、F值等)，與表3是一致的(理論上是同一值)，但是各種高度的徑生長量方程擬合結果，使得方程b值有所降低，說明隨著平衡狀態的達到，樹木的生長的上升作用有所減弱，阻力作用有所升高，樹木的預期壽命有所降低，但總體變化不大。

表3 300年生側柏生長過程經驗方程融合平衡狀態表(1 a齡階、成長方程)

表4 300年生側柏生長過程經驗方程融合平衡狀態表(1a齡階、阻力方程)

3.3 生長過程經驗方程融合的平衡對比試驗

將3.1.2節試驗中的m、n值保持不變，將二者的積改為二者的商，按照筆者的研究結果，二者的商就是對一方的排除，因此筆者定義為相斥狀態。重新做同樣的方程擬合試驗，試驗結果見表5與6所示。從表5看出，樣本越多，試驗精度越高，樣本數低于77，試驗精度低于90%，筆者不再列出，樣本數目為77時，試驗精度為84.04%，樣本數為36時，試驗精度為85.69%，樣本數為13時，試驗精度為78.29%。阻力方程和上升方程的研究精度，樣本數越多，越比較接近，越少則偏差越大。同表3、表4相比，試驗精度有所降低，特別是樣本數量較少的降低更為明顯。由于對阻力作用的排除，而使阻力方程的b值為負值，失去了實際意義，表明阻力作用相對被排除。相對貢獻率由平衡狀態的平均值76.33%降為相斥狀態的21.31%，相對下降比率為72.08%，這就是說相斥狀態相對于平衡狀態而言，阻力作用的被排除的同時，上升作用被排除72.08%。由于這一試驗中，阻力方程的b值為負值，已失去實際意義，說明阻力作用已完全被剔除。如果將該實驗的商，替換為商的倒數，即阻力方程的擬合值與上升方程擬合值的商(調整系數不變)，則成長方程與表6相比，a值、b值、相對貢獻率只是符號不同(正負相反)，其余項目數據均保持不變(如精度)等，這樣不僅上升作用被剔除，而且為負增長了，筆者不再列出阻力方程。從表6中可從看出，方程參數b值明顯變小，這就是如果上升作用被剔除，樹木的期望壽命明顯降低，即樹木的生長勢(即生命力)明顯削弱。這就是說這兩者之間是完全相當的，為樹木的上升作用和阻力作用的剔除提供了思路和方法。如果將二者的調整系數對調，將是調整后的實際狀態。從中也可從看出，時間對樹木生長的影響是一種乘數效應或者指數效應，而不是加法效應，筆者長期研究證明這一結論對于光、溫、水等量化影響因子具有同樣的效應。

表5 300年生側柏生長過程經驗方程相斥狀態表(1a齡階、成長方程)

表6 300年生側柏生長過程經驗方程相斥狀態表(1a齡階、阻力方程)

3.4 生長過程經驗方程融合的現實狀態試驗

3.3節最后提到，將上升方程和阻力方程的調整系數對調，就是m和(1-m)對調，就是說調整系數上升方程的m次方相當于阻力方程的(1-m)次方，這就是說實際發揮的效應作用為上升方程的(1-m)次方，阻力方程的m次方，以二者的積為因變量(y),以時間t為自變量進行方程擬合試驗，試驗結果如表7、表8所示。由表7可以看出，同原始狀態相比，試驗精度有所提高，其中5.5 m徑項目提高幅度最大，平均提高0.087%，5.5 m徑項目提高0.129 8%。與原始狀態相比，時間因素相對貢獻率為82.62%，而平衡狀態平均為78.02%，相對于平衡狀態時間因素相對貢獻率提高4.6%，因此相對于平衡狀態和原始狀態而言，表5的試驗結果更能準確地反映時間因素對樹木生長的影響的表達。原始狀態時間因子的影響包括光、溫、水的累積效應對樹木生長的影響，而現實狀態則是至少是部分排除了光、溫、水的累積效應對樹木生長的影響，至于能否完全排除，有待在以后的研究中逐步加以解決。由表3、表7可從看出，3.5 m徑至7.0 m徑項目時間因素相對貢獻率均在100%以上，有的項目超過100%，是試驗偏差所致，理論上應是100%，說明光、溫、水的累加效應在樹木尚未郁閉前，由于它們的作用不能100%地發揮出來，因此它們的累加效應是不能完全吻合的，樹木完全郁閉后(郁閉度0.8以上)，光、溫、水的累加效應完全發揮，與時間的作用完全相一致?？傊?，表7的試驗結果，同表1、表3相比，更能準確無誤地表達時間因子對樹木生長的影響作用。表8同表4相比，各方面指標變化不大，試驗精度有所提高，因此阻力方程的實際狀態與平衡狀態區別不大，可以互相取代。因此成長方程更能準確反映樹木生長實際情況，樹木的成長動力遠遠大于其阻力作用，樹木得以生存和成長。

表7 300年生側柏生長過程經驗方程現實狀態表(1a齡階、成長方程)

表8 300年生側柏生長過程經驗方程融合現實狀態表(1a齡階、阻力方程)

4 討論

試驗表明只要起始年齡一致，各樣本按時間序列對應時間間隔一致，其平衡精度完全一樣，相斥狀態，試驗精度的降低，表明經過一定系數的調整，阻力作用和成長作用達到平衡狀態，說明試驗的科學性和準確性。隨著年齡的增加，時間因素生長貢獻率增加，甚至達到100%。通過樹木生方程的研究可以預測樹木的期望壽命，隨著樹高的增加，樹木長勢提高，樹木期望壽命有所提高。現實狀態與平衡狀態區別不大，二者可以互相取代。隨著年齡的增長，樹木的生長作用減弱，阻力作用增強。由于經費時間有限，不足之上在所難免，誠望有識之士多提寶貴意見，使該研究再上檔次、上水平。