數(shù)學(xué)歸納法

小學(xué)五年級(jí)時(shí)，我大概是班里最聰明的學(xué)生。有一天，老師出了一道很難的應(yīng)用題，班里沒(méi)有人能做出來(lái)。放學(xué)后，我不肯回家，一個(gè)人待在教室里苦思冥想，終于成功解題。我穿過(guò)操場(chǎng)，到老師的辦公室宣布，我做出來(lái)了。太陽(yáng)正下山，校園被鍍上一層金黃色的光澤，那真是智慧閃光的時(shí)刻，到現(xiàn)在我都記得。過(guò)了一年，我學(xué)會(huì)了設(shè)未知數(shù)，小學(xué)應(yīng)用題一下變得簡(jiǎn)單了。小學(xué)的應(yīng)用題，像是要捕捉一條不斷游動(dòng)的魚，想辦法靠近它，卻不知道路徑在哪里，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，那個(gè)x就清晰地?cái)[在面前。那是一種豁然開朗的快感。

到了高中，學(xué)校里的聰明人太多了。有位師兄，自己在家鉆研電鍍技術(shù)，被保送清華大學(xué)化學(xué)系，還給全校師生做報(bào)告。有的同學(xué)，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，拿獎(jiǎng)如探囊取物。我曾自以為聰明，卻被同學(xué)們的智力碾壓，于是把興趣都放在了徐志摩身上，數(shù)學(xué)成績(jī)成了倒數(shù)。有一次上數(shù)學(xué)課，老師在黑板上出了一道題，叫我上去解答。那道題不難，我做出來(lái)了。老師說(shuō)：“你們看，連苗煒都能把這道題做出來(lái)?！比嗤瑢W(xué)哄堂大笑，我也跟著笑，并不覺(jué)得受到了多大的羞辱。

我的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)愀?，但也能在學(xué)習(xí)中得到樂(lè)趣。讓我印象最深的是數(shù)學(xué)歸納法，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，一個(gè)命題在n? 1的時(shí)候成立，假設(shè)它在n? k的時(shí)候成立，再看它在n? k+1時(shí)能否成立。這是一種絕妙的推導(dǎo)方法，我說(shuō)不出來(lái)數(shù)學(xué)歸納法為什么是正確的，但特別喜歡它嚴(yán)絲合縫的邏輯。所謂理性，就是在某幾個(gè)公理之下，推導(dǎo)出一個(gè)又一個(gè)定理，每一個(gè)定理都是可以推導(dǎo)的，這就是世上最講道理的事情。我在數(shù)學(xué)歸納法中看到了理性的光芒，總盼著考卷上能有一道題是用數(shù)學(xué)歸納法證明的。如果有，我就非常高興;如果沒(méi)有，我就非常沮喪。我實(shí)在太喜歡數(shù)學(xué)歸納法了。

像我這樣沒(méi)有數(shù)學(xué)天分的學(xué)生，居然在大學(xué)里念了一年數(shù)學(xué)系，我學(xué)了微積分和立體解析幾何，會(huì)用求導(dǎo)數(shù)的方法解決一些高中的數(shù)學(xué)題，那真是高屋建瓴啊。學(xué)一點(diǎn)兒高等數(shù)學(xué)，再看中學(xué)數(shù)學(xué)課本，就會(huì)用一種俯瞰的視角。有一個(gè)德國(guó)的數(shù)學(xué)教授，100年前寫過(guò)一本書叫《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》，是讓中學(xué)教師以更高的觀點(diǎn)來(lái)看待中學(xué)的數(shù)學(xué)課，觀點(diǎn)越高，事實(shí)就顯得越簡(jiǎn)單，實(shí)數(shù)領(lǐng)域難理解的問(wèn)題，等你明白了復(fù)數(shù)是咋回事，回頭再看就覺(jué)得太簡(jiǎn)單了。高等數(shù)學(xué)引入了理解起來(lái)有一點(diǎn)兒困難的思想，卻使真正復(fù)雜的難題得以簡(jiǎn)化，解決起來(lái)更容易。這是關(guān)于數(shù)學(xué)的一個(gè)悖論，但在別的地方也能碰到這種情景。

我知道，世上有一些極為聰明的人，在求學(xué)時(shí)期，就能以極高的智力俯瞰他的同學(xué)、他的師長(zhǎng)乃至世間事，比如凱恩斯，比如維特根斯坦。后來(lái)他們的研究，大概也可以說(shuō)是高觀點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)和高觀點(diǎn)的哲學(xué)。有一年我去劍橋大學(xué)采訪，專門去拜訪了維特根斯坦的墓地。說(shuō)實(shí)話，我看不懂他的書，但知道世上有這樣絕頂聰明的人，就會(huì)心生敬畏。我不奢望你成為那樣的聰明人，但希望你以后在某些地方能用高觀點(diǎn)來(lái)看待事物，這樣，紛繁的事物會(huì)變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)。還有就是，知道世上諸多領(lǐng)域有許多高明的人，能讓我們更謙虛、更愛(ài)學(xué)習(xí)。

我現(xiàn)在還會(huì)設(shè)未知數(shù)，但未必能做出什么應(yīng)用題;我還記得數(shù)學(xué)歸納法，但未必能用它證明最簡(jiǎn)單的命題;微積分更是一點(diǎn)兒也不記得了。但是，未知數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、微積分曾經(jīng)帶給我的快樂(lè)，還像是不停閃爍的光芒。我希望你的智力生活中充滿這樣的光芒。這其實(shí)非常非常不容易，你要識(shí)數(shù)，會(huì)數(shù)1、2、3，然后知道1根香蕉加2根香蕉等于3根香蕉，在小學(xué)一年級(jí)會(huì)學(xué)算術(shù)，把香蕉忘掉，只管1+2? 3。要用半年的時(shí)間學(xué)會(huì)加減乘除，看到兩位數(shù)、三位數(shù)不再感到害怕。學(xué)上好幾年，忽然要用a和b來(lái)代替具體的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，課程叫作代數(shù)了，你就會(huì)抽象地看待事物了。你把四則運(yùn)算都弄明白了，忽然有一天，要學(xué)負(fù)數(shù)了——以前都是3減去1，為什么1還能減去3呢？?jī)?yōu)秀的數(shù)學(xué)老師會(huì)告訴你結(jié)合律、單調(diào)律之外，還有一個(gè)重要的法則叫“運(yùn)算恒可進(jìn)行”，1能減去3，-1還能求平方根呢。學(xué)了10年的算術(shù)和數(shù)學(xué)，才知道什么叫虛數(shù)，才知道一個(gè)函數(shù)會(huì)是一條線，一個(gè)方程式是一個(gè)馬鞍面。這個(gè)過(guò)程非常漫長(zhǎng)，得到的樂(lè)趣卻是極大的，大到能在你內(nèi)心充盈幾十年，就像現(xiàn)在的我，還念念不忘數(shù)學(xué)歸納法。

我希望你得到這樣的樂(lè)趣，我此生的遺憾就是這樣的樂(lè)趣得到的太少了，丟棄得太早了。