一種基于雙混沌映射的數字圖像分塊加密方案

伊皮提哈爾·塔依爾，阿布都熱合曼·卡的爾

（1.新疆財經大學統計與數據科學學院，烏魯木齊 830012；2.新疆財經大學信息與管理學院，烏魯木齊 830012）

0 引言

近年來，隨著網絡技術的飛速發展，網絡交互過程中的信息安全問題備受關注，因此出現了大量了信息保密方案，又因為混沌系統具有初值強敏感性、強隨機性等奇特的特性，因此基于混沌理論的保密通信方案開始涌現。例如，薛亞娣等人[1]利用Logistic混沌系統與Henon混沌系統設計了一種基于組合混沌系統的圖像加密算法，周一聰等人[2-4]設計了基于新一維混沌系統的圖像加密方案，Hua等人[5]設計了一維混沌映射的通用框架，使三種常用的一維映射夠兩兩結合，形成具有更好混沌行為的新映射。李頔等人[6]根據LM-PRNG直接生成隨機數數據分布的特性，設計了一種基于直方圖優化法的改進Logistic偽隨機數發生器（ILMPRNG），Shen等人[7-9]提出基于超混沌系統的加密算法，Xing等人[10]提出了一種基于AES密鑰生成調度和混沌映射的灰度圖像加密方案，Liu等人[11]提出了一種基于多種常用混沌映射的圖像塊加密算法，Reddy等人[12]提出了一種利用混沌映射將患者信息嵌入醫學x射線圖像的方法，保護了患者信息的機密性，并增加了對醫學圖像的保護，Liang等人[13]提出了一種基于Chebyshev混沌神經網絡的視頻水印算法。

本文在上述研究的基礎上，提出了一種新的基于雙混沌映射的圖像分塊加密方案，其方法是使用兩種混沌映射構造偽隨機序列發生器，生成二維隨機密鑰流，通過圖像分塊的方式，采用“擴散-混淆”兩輪加密方式進行加密，得到最終的密文圖像。實驗結果表明了該算法可以抵抗差分攻擊、窮舉攻擊等各攻擊類型，提高了圖像信息的安全性。

1 映射描述

1. 1 Chebyshev映射

Chebyshev映射是簡單且有效的映射，Chebyshev映射的非線性差分方程如式（1）所示：

其中，w是Chebyshev映射的度，它相應的不變密度如式（2）所示：

Chebyshev映射具備優良的非線性動力學特性，當w∈[2,6]時，該映射的Lyapunov指數為正數，說明該映射是混沌的。Chebyshev映射的分岔圖與Lyapunov指數譜如圖1所示，當w∈[2,6]時，映射處于混沌狀態。

圖1 Chebyshev映射的分岔圖與Lyapunov指數譜

1. 2 Henon映射

Henon迭代映射如式（3）所示：

其中，a∈[1.1,1.4],b=0.3時，該映射進入混沌狀態[2]，Henon映射存在單值確定的逆，其逆映射如式（4）所示：

該映射的分岔圖與混沌吸引子圖如圖2所示。

圖2 Henon映射分岔圖與混沌吸引子圖

由此可見Henon映射分岔圖呈現倍周期分岔，表明Henon映射存在混沌狀態。為滿足圖像加密的條件，將Henon映射進行取模改造，改造后的Henon映射如式（5）所示。

2 算法描述

2. 1 加密算法

本算法主要分為兩步，首先利用切比雪夫映射構造偽隨機序列發器，生成密鑰流，利用密鑰流對明文圖像P進行像素位置打亂的置亂加密操作得到密文圖像C1，其次，對圖像進行預處理，將圖像分為上部與下部兩個分塊，然后利用厄農混沌映射對圖像塊分別進行擴散處理，得到最終密文圖像C。

基于雙混沌映射的數字圖像分塊加密方案的算法流程圖如3所示，具體步驟如下：

Step 1輸入原始圖像P，該圖像的大小為M×N，本文中M和N均為256，該明文圖像為灰度圖像。

Step 2利用Chebyshev映射構造偽隨機序列發生器 ，參 數 設 置 為u1=4，x0=0.100001，u2=2，y0=0.300001，通過M×N次的迭代得到二維隨機矩陣，生成密鑰流 Kc，Kc如式（6）所示：

Step 3將二維偽隨機序列矩陣作為密鑰流，通過明文圖像像素與Kc(m,n)的映射關系進行置亂，將明文圖像像素作為元素單位，對行內每一個元素按照Kc的排列方式進行排列，從而實現對原有圖像像素位置的打亂，實現加密第一步，得到密文圖像C1。

Step 4對密文圖像C1進行圖像預處理，將圖像分為上、下部兩個子塊，得到兩個圖像塊，分為別C1u和C1d，圖像大小如式（7）所示。

Step 5利用改造后的Henon映射作為擴散加密函數，其中參數設置為 a=5，b=0.8，d=3，x0=1，y0=3，構造序列發生器，產生兩個長度為M×N/2的混沌序列，記為X(i),Y(j)。

Step 6利用 X（i），和 Y（j）對圖像上部與下部兩塊分別進行加密，為了增強比特分布的隨機特性，第二輪加密使用異或擴散運算，如式（8）所示，得到密文圖像C的上部Cu及下部Cd。

Step 7拼裝Cu與Cd，得到最終的密文圖像C，如式（9）所示。

圖3加密算法流程圖

2. 2 解密算法

解密算法為加密算法的逆過程，再此不再詳細說明，基于雙混沌映射的圖像分塊解密方案的算法流程圖如圖4所示，具體步驟如下：

Step 1對密文圖像C進行分塊處理，分為上部和下部兩個子塊，分別為Cu和Cd。

Step 2將Henon映射對作為解密函數，利用混沌序列對上部和下部兩個子塊進行異或擴散操作解密，得到上部和下部兩塊解密圖像，即C1u，C1d，隨后，拼裝C1u和 C1d，得到密文圖像 C1。

Step 3利用Chebyshev映射生成二維隨機序列矩陣作為解密函數，對加密圖像C1進行像素位置置亂的混淆解密操作，得到明文圖像P。

圖4解密算法流程圖

3 仿真實驗

3. 1 實驗環境

采用電腦配置為Intel Core i5 CPU 2.40GHz，Windows 7，利用MATLAB 2017b實現加密算法程序設計。

3. 2 加密結果

選擇大小為512×512的明文灰度圖像P，如圖5（a）所示。通過本文提出組合映射算法進行加密，得到第一輪Chebyshev混淆加密圖像C1，效果如圖5（b）所示，第二輪Henon映射擴散加密效果圖C如圖5（c）所示。比對 5（a）、5（b）、5（c）圖可明顯看出，密文圖像與明文圖像大相徑庭，一輪加密和二輪加密的加密圖像也有重大區別，無法從圖像中得到明文圖像中的重要信息，表明該算法可以對圖像進行有效的加密，并且可以獲得理想的加密效果。

圖5加密效果

4 性能與安全性分析

4. 1 密鑰空間

以本算法實驗環境為例，雙精度實數精度可達到10-15，本文的密鑰為Chebyshev映射與Henon映射的初值選取與參數選擇。又因為本算法中采用二維序列作為密鑰流，因此包括：

計算可知，本算法密鑰空間為10120>>2100，因此密鑰空間足夠大，可有效抵抗窮舉攻擊。

4. 2 直方圖分析

我們知道，一個好的加密算法是具有強烈的抗統計分析能力的，我們可以通過直方圖分析得知算法是否具有抗統計分析能力。由圖6可以看出，密文圖像與明文圖像的直方圖截然不同，密文圖像直方圖分布十分均勻，可看出密文圖像的灰度值在[0,255]上的取值概率十分均等，可以得出該算法能夠有效抵抗統計分析，因此安全性很高。

圖6直方圖

4. 3 敏感性分析

（1）密鑰敏感性

密鑰敏感性是指當密鑰發生微小變化時，加密同一明文圖像得到的兩個密文圖像的差別情況[2]。圖7為密鑰改變10-15后，加密同一明文圖像得到的完全不同地密文圖像，由此可以看出，該算法的密鑰敏感性較強。

圖7密鑰敏感性測試

（2）明文敏感性

明文敏感性的測試方法是通過加密算法對明文圖像P加密得到加密圖像C，隨后改動明文圖像任意像素的一個比特，得到圖像P’，通過加密算法得到加密圖像C’，通過對比C與C’計算UACI與NPCR值。

表1為本文算法明文敏感性分析得出的UACI與NPCR值，由表1可以看出，UACI接近理想值與NPCR均接近理想值，因此該算法的明文敏感性較強。

表1明文敏感性分析結果

4. 4 加密速度

由數據驗證結果可得，該算法的加密時間為1.737138秒。由此可以看出，該文算法具有加密速度較快的優點。

4. 5 相關系數

一般來說，圖像的相鄰像素之間存在高度的相關性，因此一些不法分子利用圖像信息的這一特點竊取圖像中的重要信息，從而達到攻擊目的。然而加密算法可以有效地消除圖像的相鄰像素之間的相關性，達到抗攻擊的效果。相關系數的計算公式如式（12）所示。

表2為不同算法的相關性系數對比，將本文算法的相關性系數與文獻[1]的相關性系數及Logistic混沌系統下的相關系數進行比較。由表可見，明文圖像的相關性系數超過0.85，可以看出明文圖像的相鄰像素間的相關性很強，通過加密算法處理之后，相關系數明顯減少，并且，相對文獻[2]和Logistic混沌系統下的相關系數，該算法像素間相關性更弱，從而可以得出本算法具有更好的不可確定性與隨機性，因此可以獲得更好的加密效果。

表2不同算法的相關系數比較

4. 6 信息熵

信息熵反映的是圖像的不確定性，信息熵越大，不確定性就越大，可視的信息內容就越少，因此就可以判斷加密算法的安全性是否較強。信息熵的計算公式如式（13）所示：

表3信息熵

由表3可以看出，明文圖像的信息熵與理論有明顯差別，并且，密文圖像的信息熵接近于理想值，因此該算法的信息熵較大，不確定性較大，加密效果很好。

5 結語

本文提出了一種基于雙混沌映射設計數字圖像分塊加密方案，該算法利用Chebyshev映射構造偽隨機序列發生器生成二維序列密鑰流，對明文圖像進行混淆加密。其次，將密文圖像分為上下部兩個子塊，通過Henon映射分別對兩個子塊進行擴散加密，子塊拼裝得到最終密文圖像。數據模擬驗證，該算法可抵御各類攻擊，安全性能較高。具有密鑰敏感性強，簡單、易實現，加密速度快等優點。