彈體侵徹混凝土靶體的尺寸效應分析*

彭 永，盧芳云，方 秦，吳 昊，李翔宇

（1. 國防科技大學文理學院，湖南 長沙 410073；2. 陸軍工程大學國防工程學院，江蘇 南京 210007；3. 同濟大學土木工程學院結構工程與防災研究所，上海 200092）

鉆地彈終點毀傷效應研究一直是武器研發和工程防護領域共同關注的熱點問題，其中動能彈體打擊混凝土靶體的侵徹深度是主要研究對象之一，是表征靶體毀傷破壞程度最重要的參數。近幾十年來，學者們圍繞彈體侵徹開展了大量的研究工作，取得了一系列理論、數值及實驗成果[1-11]。然而上述成果大多基于縮比侵徹實驗展開，能否直接推廣至真實場景尚待商榷。其中的關鍵問題在于侵徹相似律是否成立，如果成立，則侵徹深度不存在尺寸效應，上述成果才可直接推廣至原型。

已有關于彈體侵徹混凝土靶體相似律的研究中，多數持相似律成立的觀點。徐建波[12]針對不含粗骨料的砂漿靶體（單軸抗壓強度fc=16.5 MPa），采用比例系數為2 的幾何相似尖卵形彈體（長徑比為10，彈徑d=10，20 mm、彈體質量M=58/460 g）對侵徹相似律是否成立進行了實驗探討，結果顯示兩組實驗的無量綱侵徹深度（侵深除以彈徑）基本重合，證明該彈徑范圍內彈體侵徹砂漿靶體的相似律是成立的。而對于含粗骨料的混凝土靶體，Frew 等[8]進行了類似的實驗研究，其中幾何相似尖卵形彈體的比例系數為1.5，靶體抗壓強度fc=58.4 MPa，兩組侵徹實驗的無量綱侵徹深度數據大致重合（d=30.5 mm 彈的數據稍高）。許三羅等[13]基于量綱分析再結合徐建波[12]實驗認為侵徹滿足相似律。盧江仁等[14]基于相似分析和數值模擬認為彈體侵徹混凝土的深度滿足相似律。高光發等[15]通過數值模擬探討了應變率對侵徹相似律的影響，結果表明尺寸為1∶9 的兩組相似模型實驗的無量綱侵徹深度相差只有2.9%，仍可認為滿足相似律。

然而，上述研究結論缺乏縮比幅度更大的實驗數據支撐，討論范圍窄。Forrestal 等[16]在采用相對較大直徑彈體（d=76.2 mm）開展的侵徹實驗中發現侵徹似乎存在尺寸效應，因為該團隊前期基于彈徑12.9 mm≤d≤30.5 mm 侵徹實驗提出的侵深半理論公式[7]并不適用于這些大彈實驗，公式預測值明顯低于實驗值。同時，半理論公式[7]也不適用于Gomez 等[17]開展的小直徑（d=6.35 mm）彈體侵徹混凝土實驗，計算結果明顯高于實驗值（詳見第2 節）。由此可見，彈體侵徹混凝土存在尺寸效應，這意味著大多數侵徹研究成果并不能直接應用于實際工程。

本文中從相似模型、縮比侵徹實驗數據出發，分析了侵徹相似律成立的條件，探討了引起彈體侵徹混凝土靶中尺寸效應的原因。為研究侵徹尺寸效應，開發了粗骨料形狀、位置隨機的混凝土二維細觀有限元建模程序，并開展了不同尺寸彈體侵徹非均質混凝土材料的數值實驗。

1 彈體侵徹混凝土靶體的相似模型

彈體垂直侵徹混凝土靶體的侵徹深度P可表述為彈、靶材料性質以及幾何參數的函數：

式中：M、d、L以及ψ 分別為彈體質量、直徑、長度以及頭部曲率半徑與彈徑之比（CRH）；ρp、σp、Ep、vp以及V0分別為彈體的密度、強度、彈性模量、泊松比以及侵徹初速度；ρt、σt、Et、vt分別為混凝土靶體的密度、強度、彈性模量、泊松比；H、W分別為混凝土靶體的厚度、邊長（方形靶面）或直徑（圓形靶面）。

以ρp、d、σt作為獨立量綱基本量，對式（1）無量綱化可得

根據Π 定律，對于兩組侵徹實驗，如果式（2）中所有無量綱自變量保持一致，則侵徹實驗結果一致。對于原型及縮比侵徹實驗，彈、靶材料不變，彈體外形完全相似，式（2）可簡化為

當模型與原型實驗中彈體侵徹初速度V0保持不變，靶體尺寸與彈徑變化成比例，則原型實驗的無量綱侵徹深度與模型實驗的無量綱侵徹深度相等，即

式中：下標prototype、model 分別代表原型（或大尺寸實驗）和模型（或小尺寸實驗）。表1 列出了侵徹原型與縮比模型幾何比例為λ 時，原型與模型實驗中各物理量的比值。

表 1 相似模型中原型相對于模型的各物理量Table 1 Parameters in the prototype model relative to the reduced model

近幾十年來提出的理論公式、半理論半經驗公式幾乎都暗含侵徹深度滿足相似律的假定，即幾何形狀相似但尺寸不同的彈體其無量綱侵徹深度相同，如圖1 所示。圖1（a）給出了幾何相似的四種不同尺寸彈體的示意圖，其中左側最小彈體與Hanchak 等[18]所用彈體完全相同，該彈質量M=0.5 kg、直徑d=25.4 mm、頭部曲率半徑與彈徑之比為3。其余彈體與左側彈體外形完全相似，放大比例分別為5∶1、10∶1 及15∶1。圖1（b）給出了采用Forrestal 等[7]、Frew 等[8]半理論公式計算出的幾何相似彈體侵徹單軸抗壓強度fc=35 MPa 半無限厚混凝土靶體的無量綱侵徹深度，從圖中可以看出幾何尺寸比為15∶1 的兩種彈體的無量綱侵徹深度完全重合。

上述相似理論是用縮比侵徹實驗來預測原型侵徹實驗的理論基礎。但如果上述分析或者實際實驗中漏掉了可影響結果的重要參數，則侵徹相似律可能并不成立，從而出現侵徹尺寸效應。

圖 1 侵徹相似律成立前提下幾何相似彈體的無量綱侵徹深度Fig. 1 Dimensionless penetration depth of geometrically similar projectiles, given the scaling law as true

2 侵徹實驗中的尺寸效應

20 世紀末，美國桑迪亞實驗室Forrestal 等[7]、Frew 等[8]、Forrestal 等[19]和先后開展了一系列侵徹縮比實驗，并基于空腔膨脹模型給出的阻力函數形式建立了半理論-半經驗的侵徹深度計算模型：

式中：N2為彈體頭型系數[7]，fc為混凝土單軸抗壓強度，V1為彈體在開坑區-隧道區界面處的瞬時速度[7]；無量綱阻應力系數S由侵徹實驗數據反推得到，即通過反解式（5）得到S表達式，再將侵徹實驗數據代入表達式得到不同強度混凝土的S值，最后擬合S與混凝土單軸抗壓強度fc關系[8]得到：

表2 給出了擬合式（6）所用到的全部侵徹實驗相關信息。

表 2 確定S 值的侵徹實驗相關信息[7-8, 19]Table 2 Experimental parameters for tests for determining S [7-8, 19]

如果相似律滿足，由表1 可知S值與彈體尺寸無關。對此，Frew 等[8]進行了相關實驗探討，并認為侵徹相似律是成立的。實驗中兩組彈體幾何形狀完全相似，d=30.5，20.3 mm，fc=58.4 MPa。兩組實驗中P/d基本重合，如圖2 所示。由兩組侵徹實驗數據反推的針對fc=58.4 MPa 混凝土的S值分別為8.7（小彈）和7.9（大彈），文獻[8] 中認為兩者差別不大，擬合式（6）時取其平均值8.3。基于這一系列研究，Forrestal 等[7]、Frew 等[8]提出的相似律總是成立的侵徹式（5）得到了廣泛認可和引用。

圖 2 幾何相似彈體的無量綱侵徹深度（P/d）與侵徹初速度的關系[8]Fig. 2 Dimensionless penetration depth of geometrically similar projectiles vs. initial penetrating velocities [8]

但到2003 年，Forrestal 等[16]為研究彈體侵徹減速度，需將加速度測試儀載入彈體內部，因而該彈直徑（d=76.2 mm）比表2 中最大彈徑還大一倍以上。實驗中，混凝土抗壓強度分別為23、39 MPa，粗骨料最大粒徑都為9.5 mm。實驗結果表明，侵徹深度有很明顯的尺寸效應，該團隊侵徹深度式（5）計算的侵徹深度明顯低于實驗數據，如圖3（a）所示；相應的由d=76.2 mm 彈體侵徹實驗反推的S值要明顯低于式（6）計算值。另一組實驗也表明彈體阻應力似乎和彈徑有關：文獻[17] 中報道了直徑d=6.35 mm 彈體侵徹fc=38.15 MPa 混凝土靶體時（粗骨料為最大粒徑9.5 mm 的石灰巖），由式（6）計算的S值為11.39，而由實驗數據反推的S值為15.47，相差35.78%；相應的由式（5）計算的侵徹深度明顯高于實驗值，如圖3（b）所示。現在反過來看Frew 等[8]進行的侵徹實驗，從圖2 中可以看出實際上大彈（d=30.5 mm）侵徹深度確實要比小彈（d=20.3 mm）的實驗值高，只是因為兩幾何相似彈體的尺寸差別太小，導致作者忽略了實驗結果的差別，得出了不合適的結論。

圖 3 Forrestal 半理論侵徹深度公式計算結果Fig. 3 Calculated results based on the semi-analytical formula for penetration depth proposed by Forrestal et al

此外，早期的混凝土侵徹經驗公式也表明侵徹深度存在尺寸效應，這些公式基本都由不同尺寸侵徹實驗數據擬合而來，代表著早期的實驗數據。比如ACE 公式[6,20]中實驗彈徑范圍為37～155 mm，而修正的NDRC 公式[6,21]中包含d=12.7～155 mm 范圍實驗數據[22]。圖4 給出了采用ACE 公式以及修正的NDRC 公式計算的4 組幾何相似彈體（見圖1）侵徹fc=35 MPa 混凝土靶的無量綱侵徹深度。從圖中可以明顯看出，隨著彈體幾何尺寸的變大，彈體侵徹能力有大幅提升（計算曲線并沒有和圖1（b）中一樣重合），例如在圖4（a）中，在侵徹初速度200～1 000 m/s 范圍內，15 倍尺寸彈體（d=381 mm）的侵徹深度比通過1 倍模型彈體侵徹深度按相似律換算的值要高64.98%～77.51%。

從上述實驗及經驗公式看，侵徹相似律似乎并不成立，其原因可能在于相似模型以及實驗中忽略掉了某一重要因素的影響，也有可能侵徹混凝土尺寸效應的原因就如混凝土單軸壓縮實驗強度隨尺寸增大而變小一樣。筆者更傾向于前一種可能，因為上述實驗中有一個重要細節需要特別注意，即圖2～3混凝土靶中粗骨料的粒徑及力學特性在抵抗大、小彈體侵徹時沒有變化，圖4 經驗公式擬合所用實驗中的靶體也很有可能具有相同的粗骨料。如果粗骨料對侵徹深度有影響，則不變的骨料特征會讓相似模型出現紊亂，而已往的分析模型基本都忽略了粗骨料的影響。

圖 4 經驗公式中幾何相似彈體的無量綱侵徹深度Fig. 4 Dimensionless penetration depth of the geometrically similar projectiles predicted by the empirical formulae

3 侵徹深度相似律成立的條件

實際上，實驗研究[23,24]表明相同速度彈體侵徹混凝土靶體的侵徹阻力確實與粗骨料的材性、尺寸、體積率相關。所以在推導侵徹相似模型時，必須考慮粗骨料的影響，于是相似模型式（3）將變為

式中：Va為骨料體積率，fc,a為骨料強度，a表面上是粗骨料的最大粒徑，實際上表征的是某特定級配粗骨料的最大粒徑，脫離級配單獨提粗骨料最大尺寸是不合適的。

當模型與原型實驗中彈體侵徹初速度V0保持不變，靶體尺寸與彈徑變化成比例，但骨料粒徑不變時，原型實驗的無量綱侵徹深度與模型實驗的無量綱侵徹深度并不相等，這就可以解釋上節幾個實驗中侵徹相似律不成立的原因。如果混凝土靶體中的粗骨料材料、體積率不變，尺寸隨著彈體進行同樣的放大或縮小，即d/a保持不變，那么侵徹深度應該滿足相似律。幸運的是正好有一組由Canfield 等[25]報道的實驗可以驗證這一觀點：作者進行了兩組彈、靶完全成比例的侵徹實驗，實驗中原型彈體直徑d=76.2 mm，質量M=5.9 kg，而1/10 縮比彈體d=7.62 mm，M=0.005 9 kg，兩組彈體的長徑比相同且CRH 都等于1.5。同時，作者將靶中鋼筋以及粗骨料的尺寸也按10∶1 進行了等比例縮放，以確保靶體細節也嚴格相似（兩組實驗中混凝土靶的強度相差0.5 MPa，應可忽略不計）。圖5 給出了文獻[25]中兩組實驗的無量綱侵徹深度與侵徹初速度的關系，從圖中可以看出兩組實驗數據基本重合，可認為滿足相似律。從這一重要的實驗可知：只要模型以及原型實驗中的彈體與混凝土靶（包括粗骨料）嚴格按照相似律進行等比例設計，侵徹深度相似律是成立的。此外，結合式（7）、圖5 以及第2 節分析，可以認為不變的骨料特征（粗骨料尺寸未隨著彈體的尺寸進行同樣的放大或縮小）是引起不同尺寸彈體侵徹實驗以及經驗公式中侵徹深度不滿足相似律（出現尺寸效應）的原因。這也說明侵徹尺寸效應與混凝土強度實驗中的尺寸效應并不是同一回事。當然，需要指出的是，需要更多等比例侵徹實驗來驗證侵徹相似律是否對更大尺寸彈體以及不同強度混凝土靶都成立。

圖 5 模型以及原型侵徹實驗的無量綱侵徹深度[25]Fig. 5 Normalized penetration depth for the two sets of scaled penetration experiments [25]

4 基于細觀有限元模型的數值模擬

雖然當模型、原型實驗中的彈靶嚴格相似時，侵徹相似律成立，但是確定粗骨料未同步縮放時侵徹深度的尺寸效應幅值仍然非常重要。因為，在實際防護結構中，混凝土靶的骨料特征是固定不變的，不可能隨來襲武器尺寸的變化而變化。從這一角度看，近30 年來發展的一系列理論侵徹公式、半理論侵徹公式，例如式（5），由于其總是滿足侵徹相似律而又只得到了小尺寸縮比彈體侵徹實驗數據的驗證，所以直接采用這些公式來進行混凝土防護結構抗原型鉆地彈打擊的設計和建設是偏于危險的。

本節擬采用細觀數值模擬的方法來探討由骨料引起的侵徹尺寸效應。混凝土細觀有限元模型是指將混凝土組分包括砂漿、骨料等分別建模的模型。為提高效率，本節將基于二維有限元模型展開討論。

4.1 混凝土二維細觀有限元模型

本節混凝土二維細觀模型的建立基于將代表粗骨料的幾何模型在代表砂漿的規則背景有限元網格上進行投影從而確定骨料網格分布的思想。具體建模流程可簡化為以下5 步：（1）采用正方形網格對混凝土靶體進行網格劃分并將網格屬性定義為砂漿，在保證可計算前提下盡量將網格畫細；（2）生成一個具有隨機尺寸、隨機形狀的骨料二維幾何模型；（3）將骨料幾何模型隨機投放在混凝土試件覆蓋的范圍內，并保證新投放骨料不與已投放骨料有重疊或接觸；（4）將落入步驟3 中投放的骨料幾何范圍內的網格屬性由砂漿變為粗骨料；（5）重復步驟（2）～（4），直到骨料體積率滿足要求。表征粗骨料幾何形狀的隨機多邊形生成步驟如圖6 所示，最后生成的有限元模型如圖7 所示，可以看出本文建立的混凝土二維有限元模型在骨料隨機分布、隨機形狀以及高體積率方面都有不錯的效果。

圖 7 混凝土二維細觀有限元模型Fig. 7 2D mesoscopic finite element model for concrete specimen

4.2 彈、靶的材料模型及參數

彈體采用*MAT_RIGID 材料模型[26]，密度為8 020 kg/m3；砂漿和粗骨料的力學行為則用*MAT_JOHNSON_HOLMQUIST_CONCRETE（HJC）材料模型[27]來描述。表3 列出了砂漿以及粗骨料的HJC 模型參數，參數的選取方法詳見文獻[28]，未列參數沿用文獻[27]中取值。為避免單元過度畸變，引入*MAT ADD EROSION 來判斷材料失效，并將砂漿及粗骨料單元的侵蝕準則都定義為最大主應變0.42。

表 3 砂漿及粗骨料的HJC 材料模型參數Table 3 Parameters of the HJC material model for cement and aggregate

4.3 數值模擬實驗及分析

基于有限元程序LS_DYNA 開展彈體侵徹混凝土靶的數值模擬研究。混凝土細觀數值模型由4.1 節中開發的程序生成，彈體建模及網格劃分在ANSYS 中完成，所建二維軸對稱模型如圖9 所示。

為探討侵徹尺寸效應，開展了3 種幾何相似尖卵形彈體侵徹相同材料靶體的數值實驗。以文獻[18]中彈體為參考彈體，3 種彈體的尖卵形頭部CRH 都為3，長徑比都為5.66，直徑分別為12.7、25.4（參考彈體）、50.8 mm，侵徹初速度都為400 m/s；混凝土模型的網格單元為0.5 mm 的正方形，骨料體積率為42%，骨料粒徑范圍為5～10 mm，靶體尺寸根據彈體尺寸進行等比例縮放，建模時先建出最大尺寸（300 mm×1 000 mm2）靶體，其余尺寸的靶體模型在最大尺寸模型上以相同彈著點為基準按比例切割。

圖8 給出了參考彈體侵徹過程中，細觀混凝土有限元模型（150 mm×500 mm2）中的von Mises 應力分布，可以看出靶內的應力分布不均勻，彈體附近的粗骨料上明顯存在應力集中。圖9 給出了相同彈體侵徹均質混凝土靶體時的von Mises 應力分布，其中均質混凝土的強度為48 MPa，相關材料參數選取參見文獻[28]。與圖8 中非均質模型相比，均質靶體中的應力分布非常規則，這也是后文中為什么均質模型不能模擬出尺寸效應而細觀模型可以的原因。

圖 8 侵徹作用下非均質混凝土靶體內的von Mises 應力分布Fig. 8 Von Mises stress distributions in the inhomogeneous regarded concrete target under projectile penetrations

3 種幾何相似彈體侵徹均質混凝土靶體（fc=48 MPa）的侵徹深度分別為0.100 1、0.198 0、0.393 1 m。以參考彈體的無量綱侵徹深度為基準，則三者的無量綱侵徹深度之比為1.011∶1.0∶0.995，可以認為基本重合。嚴格來說，均質模型模擬的大彈侵徹能力反而比小彈要稍微弱一點，這與第2 節中的侵徹尺寸效應是相反的。

圖 9 侵徹作用下均質混凝土靶體內的von Mises 應力分布Fig. 9 Von Mises stress distributions in the homogeneous regarded concrete target under projectile penetrations

3 種彈體侵徹非均質混凝土靶體的侵徹深度為別為0.134 8、0.283 9、0.598 8 m。圖10 給出了相應模擬結果，圖中縱坐標為相對無量綱侵徹深度P/(λPref)=[P/(λdref)]/（Pref/dref），dref=25.4 mm 為參考彈徑，Pref為該彈的侵徹深度，λ 為與參考彈體（dref=25.4 mm）相比的彈體相似縮放系數。如果侵徹相似律成立，則圖中P/(λPref)始終等于1。從圖中可以看出基于混凝土細觀模型的數值模擬結果成功地反映出了無量綱侵徹深度隨彈體尺寸變大而增大的尺寸效應，這也進一步驗證了第3 節中是不變的骨料特征（粗骨料尺寸未隨著彈體的尺寸進行同樣的放大或縮小）引起侵徹尺寸效應這一觀點。

圖 10 幾何相似彈體侵徹相同材質靶體時的無量綱相對侵徹深度Fig. 10 Relative dimensionless penetration depth of replica-scaled projectiles into targets of identical materials

在半理論半經驗侵徹公式，即式（5）計算結果基礎上，引入圖10 中數值模擬給出的侵徹尺寸效應，得到圖11 中與實驗結果的對比。其中尺寸效應的引入即在式(5)基礎上乘以（d/2.54a）0.09，其中2.54 為數值模擬中參考彈體直徑25.4 mm 與粗骨料最大粒徑10 mm 的比值，當然這其中還暗含式（6）中S所依據的侵徹實驗中d/a約等于2.54 這一條件。從圖11 可以看出，考慮侵徹尺寸效應后的公式預測值與實驗數據基本吻合，但仍然有一定差距，即在預測小尺寸（相對于25.4 mm）彈體時稍高而在預測大尺寸侵徹時稍低。這說明數值計算所得的侵徹尺寸效應幅值小于真實的尺寸效應幅值，這有可能是因為二維對稱模型中粗骨料實際表征的是環形圈，而非真實粗骨料形狀所致。另外，需要指出的是，根據式（7）侵徹尺寸效應的幅值很有可能還與砂漿強度、粗骨料強度以及體積率相關，這還需要進行更多的深入研究，尤其是實驗研究。

圖 11 考慮尺寸效應后半理論公式計算結果與不同尺寸侵徹實驗數據的對比Fig. 11 Comparison between predictions of semi-analytical formula with size effect added and test data of different sizes

5 結 論

為探討剛性彈體侵徹混凝土靶體中的尺寸效應，基于相似模型、實驗數據、經驗公式以及細觀數值模擬技術，開展了一系列的分析討論，主要工作及結論如下：

（1）通常情況下，彈體打擊混凝土靶體的侵徹深度存在尺寸效應，且無量綱侵徹深度隨彈體尺寸變大而增大。但如果模型以及原型實驗中的彈體與混凝土靶體（包括粗骨料）嚴格按照相似律進行等比例設計，剛性彈侵徹深度相似律是成立的。不變的骨料特征是引起侵徹實驗及經驗公式中尺寸效應的主要原因。

（2）為研究由不變的混凝土粗骨料所引起的侵徹尺寸效應，開發了混凝土二維細觀有限元建模程序，開展的數值實驗成功地反映出了無量綱侵徹深度隨彈體尺寸變大而增大的尺寸效應。