基于壓縮感知的信號重構與DOA估計

漆昌云

摘 要：波達方向估計技術通過對回波信息的處理能夠確定信源的方位等相關信息。現階段的波達方向估計主要通過陣列的空間譜估計來實現，傳統的空間譜算法需要借助大量快拍數據才能獲得相對較高的分辨率。在壓縮感知理論的基礎上，從波達方向估計信號的空間特性出發，引入了一種協方差向量稀疏表示的波達方向估計算法。仿真結果表明，所提算法與傳統算法相比波達方向估計的分辨率有所提高，在采樣數據相對較少的情況下也能精確恢復原信號。

關鍵詞：壓縮感知;波達方向估計;重構算法;分辨率;壓縮感知;協方差向量

中圖分類號：TP39文獻標識碼：A文章編號：2095-1302（2019）11-00-03

0 引 言

通過陣列傳感器接收的信號來實現空間信源的定位是信號處理領域的一大熱點，它在軍用和民用領域都有著極為重要的應用，所以對波達方向（DOA）估計的研究有著不可替代的意義。

早期的DOA估計方法是指波束形成類算法[1]，但是該算法的估計精度受到瑞利限的制約[2]，之后多重信號分類算法（MUSIC）的提出突破了孔徑對波達方向的瑞利限制[3]，為波達方向估計提供了一個新思路，但在實際應用中對信號的快拍數和信噪比要求比較高。近年來，越來越多的現代信號處理方法被應用到DOA估計中，如利用小波變換提升信噪比[4]、借助遺傳算法優化算法性能[5]等。除此之外，壓縮理論的提出也有效降低了DOA的角度估計誤差[6]。本文采用基于壓縮傳感的協方差向量稀疏表示算法實現了對DOA的估計，并通過仿真實驗與MUSIC算法進行對比。

1 壓縮感知理論基礎

壓縮感知理論主要思想是首先通過一個觀測矩陣對稀疏信號進行壓縮采樣，之后借助一定的重構算法從少量采樣值中恢復原始信號[7]。要完成上述過程需要滿足原始信號具有稀疏性以及觀測矩陣具有有限等距性兩大前提條件[8]。

1.1 信號的稀疏表達

如果存在長度為N的一維離散信號，則該信號的lp范數為：

信號X∈RN，它在基矩陣Ψ下的表示系數矢量為：

根據公式（1），如果s滿足式（3）：

式中的p和K如果同時滿足0≤p≤2和K≥0，就意味著x可以在Ψ下進行稀疏表達。由于觀測矩陣是對稀疏信號進行采樣，所以，對原始信號進行稀疏表達是極為重要的第一步。稀疏分解算法是稀疏表達中的一項重要內容，目前信號稀疏分解算法中最基本的有匹配追蹤算法和基追蹤算法[9]。

1.2 觀測矩陣的設計

獲得原始信號的稀疏表示后，就要對其進行采樣。設計一個觀測矩陣，在該矩陣下的投影信號y不但可以包含原始信號的絕大部分信息且長度遠短于原始信號。

壓縮感知理論表明，重構算法一定時，壓縮感知矩陣性能越好，信號重構誤差越小。當基矩陣Ψ已知時，A就由投影矩陣Φ決定。應用最多的投影測量矩陣包括高斯矩陣和貝努利矩陣，二者均可滿足有限等距性（Restricted Isometry Propetry，RIP），且具有測量次數少、重建性能高等優點。

1.3 信號重構算法

在壓縮傳感中，重構算法是整個過程的核心，即通過獲得的測量向量y和壓縮感知矩陣A來恢復原始信號x。目前使用最多的是貪婪算法和凸優化算法。

當公式（1）中p=0時，可得l0范數，它代表了原始信號x中非零項的個數，因此當信號具有稀疏性時，矢量方程y=As的求解就可以轉化為最小l0范數的求解：

凸優化算法是將求解l0范數問題變成求解l1優化問題，文獻[10]指出當傳感矩陣A滿足RIP時，用l1范數替代l0范數會產生近似解：

就兩種算法相比，貪婪算法方法簡單，但是重構質量不高;凸優化算法求解精度高，但是計算復雜度也相對較高。

2 基于壓縮感知的DOA估計

根據來波方向在空域上具有的稀疏特性[11]，我們可以將壓縮感知理論應用到DOA估計中。本文主要在DOA估計中引入協方差向量稀疏表示算法，該算法首先將陣列協方差矩陣進行稀疏表示，然后利用凸優化算法對稀疏信號重構實現DOA估計。

假設目標空間有K個遠場信號入射到M元傳感器陣列上，且K

式中：表示M×K維導向矢量矩陣;n表示高斯白噪聲。接收信號的協方差矩陣可以表示為：

式中：Rx表示信源的協方差矩陣;σ2為噪聲的方差。

由線性代數知識可知，R的每列可以用M維空間的完備基來進行線性表示[12]，即：

式中sm為系數向量，本質上是含有K個實際目標，其余元素為0的稀疏信號。，后面用A表示。當N足夠大時，中就有K個向量接近或者等于，所以向量sm中有K個非零值與對應，即sm與DOA估計的信號具有相同的稀疏結構。因此可以把式（8）寫為：

式中，理想情況下與sm稀疏結構一致，所以其非零元素與S一一對應。通過l2范數對S進行整合，我們可以定義一個新的向量，中的每個元素滿足，此時中的第n個元素和S中第n行向量的l2范數相等。可見，與S具有相同的稀疏結構。所以是陣列協方差矩陣的一個稀疏表示，當σ2Im接近0時，可以通過重構進一步實現DOA估計。

3 仿真分析

實驗1：在高斯白噪聲條件下，假定接收陣列為8陣元均勻線陣，相鄰陣元之間的間距為1/2波長，采樣快拍數為256，信噪比為-10 dB，3個遠場信源的到達角分別為-5°，10°，30°，兩種算法的實驗結果如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2中可以明確看出，基于壓縮感知的DOA估計比MUSIC算法的DOA估計分辨率高。

實驗2：采用2個信源，到達角度為θ1=10°，θ2=25°。其余實驗條件與實驗1相同，實驗結果如圖3所示。

實驗3：入射角θ1=15°，θ2=15°+Δθ，其中Δθ∈[-5°，+5°]，信噪比為10 dB，實驗次數200次，其余實驗條件與實驗1相同，實驗結果如圖4所示。

由圖3可知，DOA估計的均方根誤差均隨著信噪比的提高逐漸減小;當信噪比大于10 dB時，角度估計的成功率可達100%。相同的信噪比下，基于壓縮感知算法的DOA估計比傳統的DOA估計誤差小，準確度高。

由圖4看出，兩種算法的均方根誤差均隨著角度間隔的增大而減小;在信號角度間距較小時，基于壓縮感知算法的DOA估計比MUSIC算法的DOA估計性能好，角度分辨率明顯改善。

4 結 語

本文首先介紹了DOA估計的研究歷史，然后簡要說明了壓縮感知的基本理論并闡述了一種基于協方差向量稀疏表示的DOA估計算法。最后通過仿真實驗，將基于壓縮感知的協方差向量稀疏表示波達方向估計算法與多重信號分類算法相比較，證明本文算法在角度分辨率、估計精度等方面具有更好的性能。

參 考 文 獻

[1] KRIM H，VIBERG M.Two decades of array signal processing research：the parametric approach [J]. IEEE signal processing magazine，1996，13（4）：67-94.

[2]史林.基于壓縮感知的DOA估計算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2017.

[3]趙鵬宇.基于字典優化的壓縮感知DOA估計[D].西安：西安電子科技大學，2018.

[4]王兆瑞，張杰.一種基于小波變換的波達方向估計方法[J].測繪學報，2011，40（s1）：111-114.

[5]呂鐵軍，王河.利用改進的遺傳算法的DOA估計[J].電波科學學報，2000，15（4）：429-433.

[6]危瑞奇.基于壓縮感知的DOA估計方法研究[D].成都：電子科技大學，2017.

[7]王紅云.基于壓縮傳感的信號重構與DOA估計[D].太原：中北大學，2018.

[8]方杰.壓縮感知觀測矩陣和重構算法的研究[D].廣州：華南理工大學，2015.

[9] MALLAT S，ZHANG Z. Matching pursuits with time frequency dictionaries [J]. IEEE trans. signal process，1993，41（12）.

[10]王宏禹，邱天爽，陳喆.非平穩隨機信號分析與處理[M].2版.北京：國防工業出版社，2008.

[11]胡南.基于稀疏重構的陣列信號波達方向估計算法研究[D].合肥：中國科學技術大學，2013.

[12]燕靜波.基于壓縮感知的DOA估計研究[D].西安：西安電子科技大學，2013.