基于改進的高階累積量的運動單站高分辨率直接定位方法

吳癸周，張 敏，郭福成，劉章孟

(電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，國防科技大學，湖南 長沙 410073)

0 引言

使用單個運動陣列實現多個窄帶輻射源信號的無源定位技術在雷達、通信等諸多領域具有重要的意義。在對輻射源進行無源定位時，往往采用先估計參數，再利用估計的參數進行定位的兩步定位法，例如到達角(Angle-of-Arrival, AOA)定位法[1-4]、到達時間(Time-of-Arrival, TOA)[5-8]定位法等。從估計理論的角度看，兩步定位法獨立地進行參數估計和定位，即使兩個步驟都是最優的，但是將兩個獨立最優的步驟聯合起來，估計的結果也有可能偏離最優結果；并且兩步定位法還面臨參數關聯輻射源的問題。

直接定位法(Direct Position Determination, DPD)[9]是一種直接通過陣列天線接收到的原始信號，經過信號處理步驟，得出僅與輻射源位置相關的代價函數，據此實現無源定位的新技術。已有的研究表明[9-16]，DPD具有低信噪比下定位精度更高且可以避免參數關聯輻射源的問題等優勢。

目前實現DPD的主要方法可以分為2類，一類主要是由Weiss等人提出的基于最大似然準則的直接定位方法[9-11]，該類方法利用最大似然準則推導直接定位的代價函數，通過高維搜索或多次的低維搜索實現多目標的定位；另一類則主要是由OISPUU等人提出的基于子空間的直接定位方法[12-16]，該方法利用類似MUSIC的方法推導直接定位的代價函數，通過低維搜索實現多目標的定位。近年來，Tzafri以及Tirer等人提出了一種基于MVDR的高分辨直接定位方法[17-18]，該方法利用MVDR準則推導直接定位在頻域下價函數，通過低維搜索實現多目標的定位，具有分辨率高的優勢。在上述方法中，ML需要高維搜索或多次低維搜索，計算量大、復雜度高；基于MVDR直接定位方法與MUSIC類方法分辨率相當。但上述所有基于二階特性的方法都難以處理輻射源數目大于陣元數目的情況，無法適應復雜的電磁環境。

本文考慮單個運動陣列觀測站，被動接受多個窄帶輻射源信號，實現直接定位的場景，對此提出了一種基于高階累積量的高分辨率直接定位方法，同時為了提高分辨率，還使用了基于特征空間的方法對高階累積量進行了改進。

1 數學模型

考慮這樣一個場景。某個均勻圓形陣列，由M個陣元組成，裝備于一個運動觀測站上，該觀測站在累積時間T內在空中飛行，在時刻t(t∈[0,T])時，觀測站位置為xo(t)。假設地面上有Q個位于陣列遠域的未知位置窄帶輻射源同時發射信號，xq為第q個輻射源的位置,如圖1所示。

圖1 本文所研究的直接定位場景

在此情況下，陣列接收到的信號為：

(1)

式中，s(t,q)為t時刻第q個輻射源的復包絡，w(t)為高斯復噪聲，a(t,xq)∈CM×1為t時刻第q個輻射源的陣列流形。

將時間T分為N份，每份采樣數為K，當N足夠大時，可假設在短時間T/N內，陣列流形不變，則式(1)可離散化為：

(2)

式中，wn,k∈CM×1為噪聲復包絡，k=1，…，K為采樣點數。陣列流形可以表示為：

(3)

式中，dm(m=1，…，M)為基于某一陣元，陣列各個陣元的指向矢量，kn(xq)為與輻射源位置有關的參數，其計算公式為：

(4)

式中，λ為輻射源波長，xo,n為第n組數據對應時刻觀測站的位置。

式(2)可以進一步簡化為：

zn,k=Ansn,k+wn,k

(5)

式中，

(6)

因此，單個運動陣列觀測站對多個輻射源定位的數學模型為：

Zn=AnSn+wn

(7)

式中，

(8)

從式(7)可知，單個運動陣列觀測站對多個輻射源的直接定位問題即為通過式(7)求解xq的問題。

2 定位方法

利用式(7)直接估計多個輻射源的位置，實際上是一個非線性尋優的問題，可以通過類MUSIC等方法給出代價函數，然后進行可行域內的搜索實現定位。但是由于考慮輻射源數目大于或等于陣元數目的情況，而類MUSIC等利用二階特性的方法將無法使用，因此考慮可以拓展陣列的高階統計量[19]方法。其中四階累積量具有自動抑制加性高斯白噪聲及任意高斯色噪聲的能力[20]，因此本節以四階累積量為例給出了相應的代價函數。同時，由于輻射源數目多，對定位分辨率也提出了較高的要求，采用基于特征空間的方法[21]實現高分辨率的四階累積量直接定位方法。

2.1 基于四階累積量的類MUSIC的DPD

對于零均值平穩隨機過程，四階累積量有多種定義，以下式為例：

(9)

式中，(·)*表示取共軛，zn,m1表示陣列第m1個陣元接收到的第n組數據，而式(9)中的計算目前普遍用下式替代：

(10)

式(9)、(10)中變量的取值范圍為1≤m1,m2,m3,m4≤M，則隨著m1,m2,m3,m4的變化，共有M4個值，這些值可以構成一個M2×M2的矩陣R4,n:

R4,n((m1-1)M+m3,(m2-1)M+m4)=C4x,n(m1,

m2,m3,m4)

(11)

進一步化簡式(11)，有：

(12)

式中，?表示克羅內克積，且有：

(13)

Bn可以視為四階累積量下的陣列流形。由文獻[20]可知，對于上述構造的四階累積量，如果采用均勻圓陣，則拓展后的陣元數為M2-M+1。因此，當輻射源數Q≤M2-M+1時，Bn列滿秩，可以直接將MUSIC方法推廣。

(14)

則推廣的MUSIC的代價函數為：

(15)

2.2 基于四階累積量的特征空間DPD

在文獻[21]中提出了一種基于特征空間的直接定位方法，該方法分辨率要高于MUSIC類直接定位方法，下面給出其在四階累積量上的推廣形式。

(16)

=1/pn,q

(17)

式中，(·)+表示求矩陣的廣義逆，δxq=[0,…,1,0,…,0]T，表示第q個元素為1，其余元素為0的Q×1矢量，pq表示第q個輻射源在第n組時間內輻射的能量。

定義一種新的空間譜函數:

(18)

3 仿真分析

定義如下仿真場景，觀測站在空中由[0 0.5 0.5] km勻速直線飛行至[0 -0.5 0.5] km，總觀測時間為T=12 s，觀測站上裝有M=5陣元均勻圓陣，圓陣半徑設為λ/(2sin(π/2M))，λ為波長，每1 s分為一組，每組采樣1000個點，采樣頻率為1 GHz；地面有5個輻射源同時發射窄帶信號，設定各個輻射源信號互不相關，位置分別為[-0.3 0 0],[0 0 0],[0.3 0 0],[0 0.3 0],[0 -0.3 0] km。則可行解空間及陣列運行軌跡在其上的投影如圖2所示。

圖2 5個輻射源的定位場景

設定信噪比為30 dB，分別利用式(15)、(18)計算四階累積量DPD(DPD-HOC)和改進四階累積量DPD(DPD-HOC-ES)的空間譜函數并與最大似然DPD(DPD-SML)[22]相比較，則得到的空間譜如圖3～5所示。

從圖3～5不難看出，在輻射源數大于或等于陣元數時，DPD-HOC和DPD-HOC-ES兩種方法都可以在輻射源真實位置處形成明顯的譜峰，并且DPD-HOC-ES的譜峰更加集中，其分辨率要優于DPD-HOC，但是DPD-SML方法雖然也可以形成相應譜峰，但是其空間譜模糊，分辨率很低。

圖3 SML譜圖

圖4 DPD-Hoc譜圖

圖5 DPD-Hoc-ES譜

為了進一步研究該算法在定位分辨率上的優勢，設定如下場景，地面有2個輻射源同時發射窄帶信號，設定各個輻射源信號互不相關，位置分別為[-0.1 0 0],[0 0 0]km，其余條件保持不變，則可行解空間及陣列在其上的投影如圖6所示。

圖6 2個輻射源定位場景

設定蒙特卡洛仿真次數為1000次，以emitter2為例統計其隨信噪比變化的定位均方根誤差(RMSE)，結果如圖7所示。

圖7 輻射源2定位性能示意圖

從圖7可以看出，DPD-HOC和DPD-HOC-ES的方法可以準確對emitter2進行定位，并且DPD-HOC-ES的定位精度高于DPD-HOC，說明其分辨率更高。另外，當信噪比大于-5 dB時，DPD-HOC-ES和DPD-HOC的定位精度隨信噪比的增加不再有明顯的變化，說明基于HOC的直接定位方法對高斯噪聲具有較好的抑制作用。而DPD-SML由于分辨率低，無論在高信噪比還是低信噪比下都無法將這兩個臨近目標區分開，因此其定位誤差也一直較大。

4 結束語

本文提出了一種基于四階累積量的直接定位方法，該方法可以對大于或等于陣元數的輻射源進行直接定位，為了進一步提高分辨率，本文借用特征空間的方法對其進行了優化，仿真表明了該方法對大量輻射源(輻射源數目等于陣元數)具有準確的定位能力。但是該方法也具有運算量大的缺陷。因此，克服這一困難的大量輻射源直接定位法是以后的研究重點。