水擺實驗的改進研究

王立斌

(復旦大學附屬中學，上海 200433)

1 研究背景

物體在跟位移大小成正比,并且總是指向平衡位置的回復力作用下的振動,是簡諧振動,簡諧振動中,回復力F與振動位移x滿足數學關系式F=-kx．一切符合了這個條件的振動都是簡諧振動．簡諧振動是最簡單、最基本的機械振動．[1]

簡諧運動的位移-時間圖像通常稱為振動圖像,也叫振動曲線．理論和實驗都證明,簡諧運動的振動圖像是正弦或余弦曲線．[2]

圖像是形象地表征簡諧振動運動特點的基本方法,能夠幫助學生理解物理規律表現形式的多樣性,加深對簡諧振動規律的認識．

獲得振動圖像的方法,人已經進行了大量的研究[3-4],基本的原理都是通過計算機或者物理的方法留下作簡諧振動的物體(例如彈簧振子或者單擺)在各個時刻的振動位移．在課堂上,教師常用的演示儀器是“砂擺”,但“砂擺”需要配有支架和連接有電機的底板, 所用的沙子需是干燥篩選后的細沙, 否則它會造成堵塞流口或流出不暢的現象而影響圖像的質量．有教師對“砂擺”實驗進行了改進,設計了 “水擺”[5-6],但要么實驗準備較為復雜,備課效率低,要么實驗效果欠佳,得到的振動圖像較為牽強,而且沒有對改進后裝置的科學性、使用誤差進行系統分析,即水擺是否還能近似為單擺?

為了達到更好的教學效果,提高備課效率,增加學生的自主體驗,筆者在準備振動圖像這部分教學內容的過程中,對“水擺”實驗進行了改進和研究,使該實驗具有較高的準確性,易操作性、可靠性、易維護性和趣味性,作圖效果、教學效果良好,而且證明了“水擺”的科學性．

2 用水擺演示簡諧振動圖像主要內容

實驗材料:普通礦泉水瓶,細線,鐵架臺,短尺(或短木棒),夾子,小火車(配直導軌),可再生紙(新聞紙),托盤．

實驗步驟及注意事項:

(1) 制作水擺．

任意找一個圓柱形礦泉水瓶,用輕質細線系緊,懸吊即可,如圖1所示．

水擺制作完畢后,懸掛延長的那根細繩,應與瓶子的中軸線共線．如圖2所示．

圖1 水擺

圖2 懸繩應與瓶子的中軸線共線

(2) 打孔．

圖3 由內向外戳孔

用普通鋼針在瓶蓋中心,由內向外戳孔,如圖3所示．

圖4 兩種孔徑的水滴效果.左邊為小孔，右邊為大孔.

由于水的表面張力作用,水滴容易附著在瓶蓋表面,減弱甚至阻斷水的流出．由內向外戳孔時,瓶蓋破損處的斷面可減小水滴附著面積,削弱表面張力的影響．另外,打孔用的鋼針直徑偏大些為宜．筆者對比了直徑1.2mm的鋼針(絨線針)和直徑0.55mm的鋼針(手縫針)戳孔后的水滴效果,如圖4所示．

瓶身打孔．

如果只有瓶蓋一個孔,在擰緊瓶蓋倒置瓶子后,由于大氣壓強的作用,瓶里的水無法持續流出．所以需要一個進氣孔．考慮到實驗前水瓶靜置時,瓶里的水不能流出,應在距離瓶底1/2至2/3瓶身高度處打孔,并用記號筆在瓶身上劃線以提示裝水線,如圖5所示．

由于液體表面張力的影響,水壓過低時,液體不易流出．如圖4所示實驗,瓶蓋高度約為1.2cm,在有孔瓶蓋內裝滿水,小孔瓶蓋中的水,在1.2cm高的水壓作用下,甚至不流出來,大孔瓶蓋中的水,在1.2cm高的水壓作用下,也只是緩慢滴落．所以,為了維持水瓶中水的持續流出,需要一定的壓強差．這樣,在瓶身打孔的位置也不宜過高,在距離瓶底1/2至2/3瓶身高度處打孔為宜,以保證水瓶倒置后,兩孔間有一定的壓強差．(穩定時壓強差Δp=ρgh,h為兩孔間的高度差．)

水流效果如圖6所示時即可使用．

圖5 瓶身打孔及裝水線

圖6 水流效果

需要指出的是,在同樣能夠保證水流持續流出的情況下,開孔越小,水流越細越好．

(3) 組裝儀器．

圖7 組裝儀器

將水擺細線繞在短尺上,短尺搭在鐵架臺后,調整細線長度,使水擺底端距離桌面約2cm,高度剛好能放進一個托盤時即可用夾子把細線夾緊在短尺上．

將可再生紙(下簡稱白紙)和火車導軌沿垂直于擺動方向放置,用透明膠帶連接小火車和白紙即可,儀器組裝如圖7所示,然后即可將短尺連同水擺取下,在瓶中加入普通自來水至裝水線(開孔處)待用．

小火車使用一般市面上可以買到的普通電動玩具小火車即可,筆者使用的小火車速度大小約為18cm/s．

紙張使用的是普通試卷用的可再生紙,顏色偏黃,亦稱“新聞紙”,吸水前后顏色對比明顯．

如果使用顏色較白的雙膠紙,吸水后顏色對比不明顯,那就需要在水中額外添加者藍色墨水或者其他顏料來增加顏色對比了．

(4) 畫圖．

圖8 先在水擺下方放置一個接水托盤

實驗前,先在水擺下方放置一個接水托盤,然后釋放水擺,如圖8所示．當水擺在托盤里面的水跡是一條直線并且與走紙方向垂直時,抽出托盤,打開小火車開關,讓小火車帶動白紙勻速前進即可得到振動圖像,如圖9所示,最后將水擺停擺正放,關閉小火車開關即可．

圖9 水擺的振動圖像

3 “水擺”誤差分析

一個質點,用一個沒有質量的剛性懸絲懸掛,僅受重力作用,在一個豎直平面內擺動,即是一個單擺,也叫數學擺．[7-8]單擺是一個理想物理模型,在教學實踐中,常用“細線小鋼球” 近似為單擺,即,一根輕質細線,一端系緊小鋼球,一端固定,可近似為單擺．

圖10 水擺簡化

水擺實驗中,振動物體為圓柱體,與“細線小鋼球”模型差異較大,是否能近似為單擺呢?筆者對此進行了理論和實驗研究．

3.1 理論分析．[9-10]

首先將水擺誤差問題進行如下簡化．

如圖10,一底面半徑為r,高度為h,質量為m的實心均勻圓柱體,在輕質不可伸長的細線牽引下,做小角度振動．線長為L1．懸點為O．若r、h與L1相比不可忽略不計,求解此擺動物體的周期,并進行誤差分析．

分析解答:應用復擺理論進行求解．

復擺小角度擺動周期為

(1)

(2)

若要求復擺周期T1與理想單擺周期T0誤差在1%以內,即T1=1.01T0,對于一個底面半徑為r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,則由(1)、(2)兩式計算可以得,只要擺線長大于L1=24.5cm=1.63h,即可保證使用單擺周期公式計算時的誤差在1%以內．

若要求復擺周期T1與理想單擺周期T0誤差在1%以內,即T1=1.01T0,對于一個底面半徑為r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,則由(1)、(2)兩式計算可以得,只要擺線長大于L1=10.8cm=1.64h,即可保證使用單擺周期公式計算時的誤差在1%以內．

3.2 實驗研究

(1) 實驗內容:用光電門傳感器測量不同水擺的在不同擺長時的振動周期．

(2) 實驗器材:朗威DIS系統加光電門傳感器,鐵架臺,米尺.

對照組為“細線小鋼球”擺．小鋼球半徑為1.0cm．

實驗組為兩種尺寸的水擺,

水擺1:底面半徑為r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,在底面圓心連接有足夠長的輕質細線．

水擺2:底面半徑為r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,在底面圓心連接有足夠長的輕質細線．

(3) 實驗主要步驟:如圖11所示,組裝好實驗器材．

圖11 用光電門傳感器測量不同水擺的在不同擺長時的振動周期

調節各擺的細線長至擺長L預定值,用光電門傳感器因此測量各擺的周期T．

改變擺長,重復以上步驟．

誤差分析計算．

(4) 實驗數據.

表1

對于水瓶擺,擺長L為懸點至盛水部分中心的距離．對于鋼球擺,擺長L為懸點至球心的距離．

周期為多次測量的平均值．

(5) 實驗結論.

對于本實驗中的水瓶擺,只要擺長大于2倍瓶身高度,水瓶擺的周期與鋼球擺的周期誤差小于1%．

3.3 誤差分析小結

影響單擺周期的因素很多,擺動過程中的空氣阻力、空氣浮力、擺長改變、擺動平面變化等等,都會引起周期誤差．

綜合理論分析和實驗驗證,可以得出以下結論,在誤差允許的范圍內,從周期角度來說,水瓶擺也可以近似為單擺．以一個底面半徑為r=2.75cm, 瓶身高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子為例,只要擺長大于2.6倍瓶身高度(擺線長大于1.6倍瓶身高度),即可保證使用單擺周期公式計算時的誤差在1%以內．

當然,為了幫助學生樹立正確的理想模型的物理觀念,在實際使用中,擺線長相對于振子尺寸還是較長些好,而且要強調水擺只是可近似為單擺．