對一道電磁感應題目全面嚴謹的分析

張秀梅

(復旦大學附屬中學，上海 200433)

眾所周知,中學里電磁感應的題目綜合性強,涉及到動力學、電路、能量、動量等知識,有的問題運動過程多樣,而且常常是變加速運動,解決它需要的物理思維和綜合分析能力都很強．本文要解決的就是這種運動過程多樣復雜的問題,要全面、嚴謹分析本題并不容易,筆者曾經跟許多高中名校的教師討論,多數教師認為分析解決該題超出了高中物理范圍,王溢然主編的《中學生思維叢書·猜想與假設》的書上也認為“從動態特性上做一般分析超出了中學物理知識的范疇”．筆者找到了以高中物理知識為基礎進行全面分析的方法．可以看到,復雜背后的簡單是物理規律永恒的美．解決本題用的圖像法、微元累加法在解決其他問題時也可以使用．

如圖1所示,矩形線框abcd在豎直平面內,其下方有一個有界的水平勻強磁場,邊ab、cd和磁場的邊界都水平,線框平面與磁感線垂直．線框從離地高H處由靜止開始自由下落,穿過勻強磁場、完全出磁場后落地,ab邊落地速度為v1．若將磁場向上平移一小段距離,如圖2所示,讓線框仍從離地H高度由靜止開始自由下落,ab邊落地時速度為v2,試比較v1與v2之間的大小關系．

圖1 圖2

(A)v2>v1. (B)v2

(C)v2=v1. (D) 條件不足,無法確定.

分析:設線框質量為m,邊長ab=cd=l,寬度ad=bc=d,電阻為R,勻強磁場磁感應強度為B,磁場寬度為d′．

圖3

圖4

線框到達Ⅱ的速度與Ⅰ→Ⅱ階段的高度有關,到達Ⅳ的速度則與之前的3個階段的運動都有關,由于圖3中的H、d、d′的尺度都不確定,因此,在線框穿越過程中,入磁場和出磁場的運動存在多種組合．如果入磁場加速,則出磁場可能加速、減速或勻速;如果入磁場勻速,則出磁場可能減速或勻速;如果入磁場減速,則出磁場可能減速或勻速．

另一方面,磁場上移后線框入磁場的運動與上移前入磁場的運動也存在相關性．磁場上移后,線框從圖3中的位置Ⅰ→Ⅱ自由落體運動的高度減小,線框入磁場的初速度就比上移前小,受到的安培力也就比磁場上移前小,因此,如果磁場上移前線框入磁場做加速運動或者勻速運動,則磁場上移后線框做加速運動;如果磁場上移前線框入磁場做減速運動,則磁場上移后線框入磁場做加速運動、勻速運動、減速運動均有可能．

這樣看起來本題相當復雜繁瑣．但請相信:物理規律是復雜現象背后的簡單.

為了敘述方便,以下把線框下落過程中,磁場上移前與上移后邊ab相對于磁場邊界相同距離的位置稱為對應位置．圖5和圖6中的hi相等,兩線框位置就是線框入磁場的磁場上移前與上移后的某

圖5

圖6

一對應位置,同樣圖7和圖8是線框出磁場時的某一對應位置．磁場上移前和上移后,線框對應位置的速度分別記作vi和vi′．

圖7

圖8

圖9

再看磁場上移前線框入磁場做變減速運動的情形,圖10、11、12分別對應了磁場上移后做變減速運動、變加速運動和勻速運動的圖像,由圖像可見都是vi′

圖10

圖11

圖12

圖13

圖3中線框從位置Ⅲ到位置Ⅳ,磁場上移后和上移前線框位移相同,加速度也都是重力加速度,所以線框出磁場的初速度是磁場上移后小于磁場上移前．

用分析線框入磁場運動的同樣的方法可以得到,線框出磁場的末速度也是磁場上移后比上移前小,也就是圖(3)中位置Ⅴ的即vⅤ′

線框完全出磁場最后Ⅴ→Ⅵ的運動階段,磁場上移前、后加速度都是g,磁場上移后初速度比上移前小(vⅤ′

再考慮用動能定理研究．

如果線框做變加速或者做變減速運動的階段,安培力是變力,求克服安培力做功需要用微元累加法．當然,不管安培力是恒力還是變力都可以用元功累加法求全過程克服安培力做的功．

圖14

同理可得:線框出磁場階段克服安培力做的功也是磁場上移后比上移前小．

有些題目要比較線框下落的時間,再用動量定理分析即可．

與本題有類似運動過程的題目在不少書上都有收錄．比如:宋淑光主編的《上海新高考等級考·物理總復習》,王溢然編著《中學生思維叢書·猜想與假設》．由于題目是選擇題,書上介紹的方法往往是猜想、排除法．但是,總有優秀學生會質疑:結論是不是對線框所有的情況都成立呢?題目有沒有錯誤?既然多本中學物理書上出現,我們最好不要以一句“超出了中學物理知識的范疇”去回答．挑戰難題、嚴謹全面的分析是應該有的科學態度,而且這樣的態度會影響我們學生的．筆者也期待老師們能給出更簡單、全面、嚴謹的方法!