理解概念本質 探尋方法源頭

文

在學習“方差”的過程中，相當一部分同學對“方差”的理解僅僅是這樣兩個層面：一是把“方差越小，數據越穩定”以記憶的形式儲藏于腦海；二是比較兩組數據的方差時，就一定要通過方差公式進行計算后再比較，忽視了對“方差”的本質的理解。為了幫助同學們能深刻地認識“方差”的本質，請看下面幾個問題。

例1 甲、乙兩名射擊運動員在某場測試中各射擊10次，甲、乙兩人的測試成績如下：

則測試成績比較穩定的是（ ）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩定情況相同

D.無法確定

【解析】作為一道選擇題，本題試圖通過“點狀圖”的呈現方式考查同學們對數據“穩定”程度的理解。幾乎所有版本的數學教材中，對“方差”的教學引入都使用了“點狀圖”，因此，本題再現了對“方差”概念的探索和理解過程。解決本題的策略一是通過計算，先算出兩組數據的平均數，再通過方差的計算公式——［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xnx）2］計算出兩組數據的方差，從而比較得出甲的成績比較穩定。策略二是觀察。題中數據從小到大排列，就是便于同學們觀察，特別是方差本身還蘊含了對“平均數”的理解，本題可從“形”中直接判斷平均成績為8.5環，接著從“形”上判斷出甲的成績中所有數據與平均數的偏離情況要小于乙的成績中所有數據與平均數的偏離情況，從而得出甲的成績比較穩定。

【說明】顯然，策略一費時、易錯。因此本題的價值就在于同學們對統計特征數的本質的理解——根據距離平均水平的波動情況來判斷方差的大小，而不僅僅關注計算技能。

再請同學們觀察下面兩題：

例2 甲、乙兩名射擊運動員在某場測試中各射擊20次，甲、乙兩人的測試成績如下表：

甲的成績環數頻數7 4 8 6 9 6 10 4 10 6乙的成績環數頻數7 6 8 4 9 4

則測試成績比較穩定的是（ ）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩定情況相同

D.無法確定

【解析】相較例1，本題更改了數據的呈現形式，從最能直接反映數據波動情況的點狀圖改為利用表格呈現。本題的解決策略仍然與例1的相同。一是通過計算，先算出兩組數據的平均數，再通過方差的計算公式計算出兩組數據的方差，從而比較得出甲的成績比較穩定。策略二是觀察。本題可從“形”中直接判斷平均成績仍為8.5環，再從“形”上判斷出甲的成績中所有數據與平均數的偏離程度要小于乙的成績中所有數據與平均數的偏離程度，從而得出甲的成績比較穩定。

平均數甲的成績環數頻數7 4 8 6 9 6 10 4乙的成績環數頻數7 6 8 4 9 4 10 6

【說明】本題的價值就在于同學們能利用例1中根據“形”直觀地觀察距離平均水平的波動情況來判斷方差的大小。從這個意義上說，本題具有較高的可推廣性和較好的理解基本概念的功能。

例3 為了從小明和小剛兩人中選拔一人參加射擊比賽，現對他們的射擊成績進行了測試，5次打靶命中的環數如下：

小明：7，8，7，8，10；

小剛：5，9，10，7，9。

（1）填寫下表：

平均數8中位數小明小剛9方差1 3.2

（2）根據以上信息，若教練選擇小明參加射擊比賽，教練的理由是什么？

（3）若小剛再射擊2次，分別命中7環、9環，則小剛這7次射擊成績的方差_________。（填“變大”“不變”或“變小”）

【解析】本題通過呈現兩組簡單數據，基本覆蓋了統計中反映數據集中程度和離散程度的統計特征數的考查。第（1）問是技能考查，即直接考查同學們是否會計算平均數和中位數。第（2）問是統計的應用價值的考查，即用學習過的統計特征數來做出決策。第（3）問則是理解層次的考查，即關注的是對方差這個統計特征數的本質的理解，由于該題型是做出一個選擇，所以真正理解方差本質的同學會做得既快又準。

本題的答案是：（1）8，8；（2）小明與小剛射擊成績的平均數都是8，而小明射擊成績的方差小，因此成績更穩定，所以，教練選擇小明參加射擊比賽；（3）變小。由于小剛射擊兩次分別為7環、9環，平均成績仍為8環，新的數據比原來數據穩定，所以方差變小。

為了更深入對集中量數和離散量數的本質理解，同學們在解決本題后還可進行反思，可以追問自己幾個問題，如：“小明再射擊一次，命中幾環，6次射擊成績的中位數不會變？”“若小剛再射擊2次，命中6.5環和9.5環，則小剛這7次射擊成績的方差發生變化嗎？命中6環和10環呢？你認為他再射擊2次（保證平均數不變，還是8環），命中幾環，方差不變？”等，從而可幫助同學們對統計特征數的認識從僅僅知道計算公式上升到逐步理解本質。

【說明】為了最大化地引導同學們對統計特征數本質的理解，3道題在數據的呈現時，有意識地以點狀圖、表格及數據本身三種不同形式呈現，意圖讓同學們能深刻理解平均數、方差的概念，只要看到圖，就可以知道兩組數據的平均數情況、數據距離平均水平波動情況，直觀地判斷方差的大小。