平板錐形金屬膜盒內壓柱失穩理論研究

王亞軍，陳牧野，周浩洋

（1. 中國航天科技集團有限公司，北京，100084；2. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

0 引 言

目前中國運載火箭采用金屬膜盒式蓄壓器抑制“POGO”振動，其原理是通過金屬膜盒的柔性來吸收輸送管路中的壓力脈動。金屬膜盒一般采用內充壓式結構，如圖1 所示。

該形式膜盒存在內壓柱失穩問題，一旦發生柱失穩，將會影響膜盒的工作性能和使用壽命，膜盒的柱失穩形態如圖2 所示。

圖1 內充壓式膜盒示意 Fig.1 Metal Bellows Filling with Gas Inside

圖2 膜盒柱失穩形態 Fig.2 Column Buckling of Metal Bellows

蓄壓器用金屬膜盒通常采用平板錐型結構。焊接膜盒有時也被稱為焊接波紋管。在U 型波紋管的穩定性研究方面，國內外學者已經進行了比較全面的研究。J.A.Haringx[1]首先提出了“等效柱”的思想方法，該方法用于求解波紋管的柱失穩臨界壓力。朱衛平[2]在其文章中，證明了這種等效方法對于幾種典型的支撐邊界條件均成立。1988 年，Tsukimori[2]等人提出了波紋管受內壓失穩的一種簡化計算方法，對波紋管的彈性柱狀失穩，平面失穩分別進行了理論分析，給出了對應的簡化公式，并在此基礎之上，通過利用彈-塑性軸向剛度代替彈性軸向剛度的方法，推導出簡化的彈-塑性柱狀失穩壓力。1989 年，Broyles[4]對前人的研究成果進行總結，對波紋管的穩定性分析做了總結并進行了試驗分析提出了相應的工程計算公式，該公式被美國膨脹節制造商協會所采納。1995 年，郭學迅[6]驗證了波紋管的抗彎剛度公式，并以此為基礎來解答波紋管的柱狀失穩和橫向變形問題。2002 年，朱衛平[7]討論了波紋管在內壓作用下的柱失穩問題。在焊接波紋管研究中，樊大均[8,9]針對焊接波紋管進行了一系列的理論分析，由A.И.Лypьe 的錐殼方程出發，推導出了設計錐形焊接波紋管的可用理論結果，諸如該類焊接波紋管的變形、應力和有效面積的公式，為設計提供理論依據。在碟形波紋管研究方面，劉巖等[10]等根據EJMA 標準中U 形波紋管臨界失穩內壓的計算方法，得到了碟形波紋管平面失穩和柱失穩臨界失穩內壓的工程計算公式。

為獲得工程適用的平板錐型金屬膜盒柱失穩公式，本文基于由“等效柱”思想和歐拉公式得到的膜盒柱失穩公式，考慮到膜盒拉伸、壓縮剛度不一致對“等效柱”抗彎剛度的影響，推導了拉伸、壓縮模量不一致的薄壁圓筒抗彎剛度計算式，并推導得出適用于平板錐形金屬膜盒的內壓柱失穩公式。

1 平板錐型金屬膜盒的柱失穩分析

由于柱失穩的公式是通過兩端固支的壓桿穩定性公式推導，其中波形對柱穩定性的影響主要體現在對單波軸向剛度的影響上[10]，而平板錐形膜盒與其它波紋管僅存在波形上的差異，因此分析平板錐形膜盒柱失穩與分析波紋管柱失穩思路相同，將膜盒等效為受內壓的薄壁圓筒，再將受內壓的薄壁圓筒等效為受軸向力的薄壁圓筒，從而得出膜盒的柱失穩臨界壓力。等效過程如圖3 所示。

圖3 膜盒的等效過程 Fig.3 Equivalent Process of Metal Bellows

根據歐拉失穩公式即可以給出膜盒的內壓柱失穩公式[6]：

式中 W 為膜盒的抗彎剛度；md 為膜盒的中徑；l 為膜盒的高度；μ為長度系數，反映不同支承影響的系數。本文為兩端固定的情況，μ取0.5。

對于一般結構的膜盒，當其軸向拉伸和壓縮剛度一致時，抗彎剛度可以用單波軸向剛度來表示，有其中，if 為膜盒的單波軸向剛度，式（1）可以寫成[6]：

式中N 為膜盒的波數；q 為膜盒的波距，有l Nq= 。

2 平板錐形金屬膜盒的剛度分析

對于蓄壓器用平板錐形金屬膜盒，其膜片的結構示意圖如圖4 所示。由圖4 可知，膜盒的波距為2q h= ，膜盒的膜片數為2n N=，膜盒的中徑

膜片通過直邊段焊接相連，但只是對部分直邊段進行了焊接。因此膜盒壓縮與拉伸時相比，未焊接的直邊段由于接觸產生相互作用，使得膜盒的剛度變大。所以蓄壓器金屬膜盒的拉伸和壓縮軸向剛度并不一致，因此在研究蓄壓器金屬膜盒時，需要考慮膜盒拉伸、壓縮軸向剛度不一致的問題。

圖4 平板錐形膜盒結構示意 Fig.4 Plane-cone Shaped Metal Bellows

焊接膜盒的軸向整體拉伸剛度經驗公式[12]為

式中mE 為材料的彈性模量。

當膜盒處于壓縮狀態時，膜盒的直邊段實際處于貼合狀態，相當于膜盒的內徑、外徑發生了變化，因此式（3）不能直接計算膜盒壓縮剛度，需要對相關參數進行修正。設壓縮狀態下的等效外徑、內徑、波高、直邊段長度分別為 'D 、 'd 、 'w 、'L直邊，L直邊為膜片實際的直邊段長度，有則由等效直邊段長度即可求得膜盒壓縮剛度。

下面采用理論公式計算和ABAQUS 仿真相結合的辦法確定等效直邊段長度。有限元仿真采用軸對稱模型，通過獲取軸向力與軸向位移的方法求解出剛度。取5 種規格不同的平板錐形金屬膜盒，各膜盒具體的尺寸參數及柱失穩試驗值見表1，材料參數見表2。

表1 各膜盒尺寸參數及柱失穩試驗值 Tab.1 Dimension Parameters and Experiment Buckling Pressure of Each Metal Bellow

表2 各膜盒材料性能參數 Tab.2 Mechanical Property Of Each Metal Bellows

為了驗證有限元計算剛度的可靠性，以5 號膜盒為對象，進行軸向拉、壓剛度試驗，得到5 號膜盒的拉伸剛度為19 N/mm，壓縮剛度為23 N/mm。使用有限元得到的拉伸剛度為19.35 N/mm，壓縮剛度為 23.71 N/mm。對比可知可以使用有限元方法仿真膜盒的軸向拉伸壓縮剛度。由于式（3）本身的計算值與仿真值存在一定偏差，因此將拉伸剛度和壓縮剛度的比值作為計算值與仿真值比較的依據。通過對不同等效直邊段長度的計算表明，當等效直邊段長度取時，與有限元結果吻合較好，計算結果見表3。因此，在將直邊段長度等效為后，可以使用式（3）來求解膜盒的壓縮機械剛度。

表3 各膜盒拉伸、壓縮剛度比值的計算和仿真結果對比 Tab.3 Calculation Result of Stiffness Compared to Finite Element Method

從軸向剛度計算式中可以看出，該計算式并未考慮充內壓后膜片受壓變形等因素對軸向剛度可能帶來的影響，因此在使用式（3）計算膜盒軸向剛度進而求解膜盒的內壓柱失穩臨界壓力時，膜盒應該滿足在充壓后保持剛度基本不變的條件。當出現下列情況時，認為膜盒的剛度在充壓過程中不符合軸向剛度基本不變的條件：a）充壓后膜片與膜片焊縫附近應力集中區進入穿透性塑性；b）充壓后膜片與膜片的中部在內壓下發生貼合。

3 膜盒柱失穩公式

由于平板錐形金屬膜盒的壓縮和拉伸軸向剛度不一致，故直接使用式（3）結果代入式（2）求解得到的內壓柱失穩壓力值可能不準確。因此考慮使用式（1）求解膜盒的內壓柱失穩臨界壓力。式（1）中，受膜盒的壓縮和拉伸軸向剛度不一致影響的變量僅為抗彎剛度W 。在第1 節中將膜盒等效為薄壁圓筒，該過程實際上是將膜盒的抗彎剛度與薄壁圓筒的抗彎剛度進行了等效，求解薄壁圓筒的抗彎剛度即可知膜盒的抗彎剛度。

圖5 為薄壁圓筒的彎曲示意。如圖5 所示，薄壁圓筒的外半徑為R，內半徑為r，壁厚為t。1y 為橫截面最頂部與y 軸交點的坐標，其大小為橫截面最頂部距中性層的距離。為求解薄壁圓筒的抗彎剛度，令薄壁圓筒只承受x y? 平面內的彎矩。

圖5 薄壁圓筒的彎曲示意 Fig.5 Bending Diagram of Thin-alled Cylinder

式中σ 為正應力；E 為薄壁圓筒的彈性模量；y 為距離中性層的距離；ρ 為中性層的曲率半徑。

橫截面上各點處的法向微內力 σ dA組成一空間平行力系，而且，由于橫截面上沒有軸力，僅存在于位于xy 平面的彎矩Mz，因此，內力 FN以及彎矩Mz為

由圖5 可知，中性層以上部分受壓，中性層以下部分受拉。設橫截面中性層以上部分面積為 A1，中性層以下部分面積為 A2。則內力 FN以及彎矩Mz為

則薄壁圓筒的抗彎剛度為

聯立式（4）和式（6），即可得出拉伸、壓縮彈性模量不一致的薄壁圓筒的抗彎剛度W 。將式（6）的結果代入到式（1）中，即可以得到拉伸、壓縮機械剛度不一致的金屬膜盒的柱失穩臨界失穩壓力值。

為簡化計算，令 E1=aE2， y1= bR，r = cR。對內力FN和抗彎剛度W 分別進行積分，并寫成由 E2、R、a、b、c 表示的式子，則由式（4）和式（6）可得：

由上文的分析可知，壓縮模量大于拉伸模量，即E1> E2，同時平板錐形金屬膜盒結構一般滿足R > r>0.5R 。在上述給定范圍內，E1、r 分別取均布的100 個點，共100×100 個點，采用數值擬合的方法，聯立式（1）、式（7）和式（8）可得：

4 計算結果分析

使用第2節計算得到的各膜盒剛度數值代入式（9）中，即可求得各膜盒的柱失穩臨界壓力計算值，結果如表4 所示。表4 中同時對比了不考慮拉伸、壓縮軸向剛度不一致，以式（3）剛度值代入式（2）得到的失穩值與式（9）得到的失穩值的誤差。對比考慮了拉伸、壓縮軸向剛度不同的柱失穩計算結果與直接使用剛度經驗式（3）求解得到的柱失穩計算結果，考慮了拉伸、壓縮剛度不一致得到的柱失穩計算結果的精度總體要更優。

表4 各膜盒失穩公式計算值與試驗值比較 Tab.4 Comparision between Different Formula Calculation Results and Expriment Results

觀察式（9）計算結果，通過對比，膜盒1～4，其失穩值與試驗值的誤差范圍在-30%～25%以內。而膜盒5 的誤差則達到93.3%。建立膜盒的軸對稱模型，將膜盒固定至限位高度，給膜盒內部施加壓力至柱失穩計算壓力值，提取各膜盒的等效塑性應變（Equivalent Plastic Strain，PEEQ）云圖，觀察膜盒膜片焊接應力集中區應變情況以及膜片中部接觸情況，結果見圖6。

圖6 各膜盒膜片中部接觸情況和應力集中區應變情況 Fig.6 Equivalent Plastic Strain and the Collide Condition

從圖6 中可見，在失穩計算值壓力下，膜盒1～4膜片中部均未發生接觸，且焊接應力集中區域未進入穿透性屈服；觀察圖6e，5 號膜盒的膜片由于受內壓鼓脹，中部部分發生了接觸。同時在焊縫處，等效塑性應變值均大于零，可知膜盒在焊接區域進入了穿透性屈服。膜盒膜片中部接觸或焊接區域進入穿透性屈服后，膜盒的軸向剛度將會發生變化，故5 號膜盒的軸向剛度在充壓后不滿足基本不變的假設。因此膜盒5采用公式計算的失穩值結果誤差較大。

目前采用式（9）計算的膜盒失穩壓力值與試驗值存在±30%左右的偏差，主要是由以下原因所致：

a）膜片的實際幾何形狀（如壁厚，內外徑等尺寸）與理論存在偏差；

b）柱失穩試驗采用目視估讀的方法獲取失穩值，該方法存在一定的隨機誤差；

c）采用的剛度計算公式存在一定的誤差。

5 結束語

本文對平板錐形金屬膜盒在拉伸和壓縮兩種情況下軸向剛度的不一致情況進行了分析，基于由“等效柱”思想和歐拉公式得到的膜盒柱失穩公式，推導了拉伸、壓縮軸向剛度不一致下的膜盒抗彎剛度，并獲得了該類膜盒的內壓柱失穩公式。計算結果與試驗結果的比對表明該公式有效，可用于求解滿足剛度基本不變假設的平板錐形膜盒的柱失穩臨界值。