帶有阻尼項小周期橢圓邊值問題的高階三尺度漸近分析

周文利, 馮永平

(廣州大學 數學與信息科學學院, 廣東 廣州 510006)

隨著數值分析方面計算機軟件和硬件發展, 出現了許多涉及具體物理和工程問題的計算方法. 但對于具有小周期微觀結構問題的計算, 用有限元方法求解時, 由于復合材料的不均勻性, 需要非常精細地劃分有限元網格, 這就導致了最后在求解線性方程組時的巨大計算量, 即使是大型甚至是超級計算機也無法完成對應的計算工作. 針對這類問題, 多尺度方法和均勻化方法發展了起來， 首先, 文獻[1]給出了均勻化理論并構造了橢圓型方程雙尺度的漸近展開式，文獻[2]對小周期橢圓混合邊值問題作了雙尺度有限元分析. 然后, 文獻[3]研究了二階橢圓邊值問題的特征值和特征函數的雙尺度漸近展開, 并給出數值算法. 還有一些文獻用雙尺度方法研究了小周期橢圓問題, 如文獻 [4-6]. 此外, 用雙尺度方法還可以解決具有小周期結構的熱彈性耦合問題, 文獻[7]創新性地建立了這個問題中位移場和溫度場的雙尺度漸近展開式.

由于某些材料或問題具有多尺度特性, 用雙尺度方法處理這些問題時會有一定的局限性, 因此，非常有必要在雙尺度方法的基礎上發展三尺度方法. 通過三尺度方法, 文獻[8]預測了纖維混凝土的力學性能, 文獻[9]討論了材料的熱傳導性能. 隨后, 文獻[10]在三尺度展開的基礎上加入高階校正項, 即用高階三尺度方法分析了復合材料的力學性能.

本文用文獻[10]中的思想方法在三個不同尺度上分析帶有阻尼項小周期橢圓邊值問題解的高階三尺度漸近展開. 微結構層次下包括兩種不同的單胞, 分別是帶有微觀尺度ε2的微觀單胞ε2Z和帶有介觀尺度ε1的介觀單胞ε1Y, 其中ε2?ε1?1. 帶有阻尼項的橢圓第一邊值問題為

(1)

設x表示Ω中的宏觀尺度坐標系,y表示ε1Y中的介觀尺度坐標系,z表示ε2Z中的微觀尺度坐標系,它們之間有如下關系：

(2)

定義關于x的微分算子

(3)

由于系數的多尺度性, 問題(1)的解析解一般得不到. 用常規的數值方法計算時需要對網格做精細剖分, 運算量非常大. 易證明問題(1)存在唯一解, 本文主要討論問題(1)的形式三尺度解.

1 uε1ε2(x)的高階三尺度漸近展開

為使文章簡潔和運算方便, 引入下面的記號

D1=Dx,x,D2=Dx,y+Dy,x,D3=Dy,y,

D4=Dx,z+Dz,x,D5=Dy,z+Dz,y,D6=Dz,z

(4)

由式(1)和(3),

duε1ε2

(5)

基于已知結果[11]和復雜的求導過程, 經過不斷的校正分析, 可以建立uε1ε2(x)的高階三尺度漸近展開式, 即

(6)

其中

(7)

這里的u0(x)只反映問題(1)解的宏觀性質, 并稱之為定義在Ω上問題(1)解的均勻化解.Bp(y)、Bpq(y)、Hs(z)、Hst(y,z)、Gs(y,z)、Hspq(y,z)、Hstpq(y,z)、Kp(y,z)、Mst(y,z)和Np(y,z)是定義在單胞Y、Z上的函數, 稱為單胞函數.

把式(6)代入式(5), 整理, 則有

ε1(D1uI+D2uII+D4uIV+D5uVI+D6uVII+duI)+

O(ε2)=-f

(8)

由于系數ε1和ε2是任意的, 所以得到下面一串等式:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

D6uV+du0=0

(17)

(18)

ε1:D1uI+D2uII+D4uIV+D5uVI+D6uVII+duI=0

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

下面將對式(9)～(23)逐一分析以確定均勻化問題和單胞函數所滿足的單胞問題. 由于u0(x)不依賴于y和z,uI(x,y)和uII(x,y)不依賴于z, 根據式(4)可知式(9)～(13)成立.

由式(14)、(7)和(4), 可得

(24)

又由式(15)、(7)和(4), 可得

從式(24)可知上述等式成立.

再由式(16)、(7)和(4), 可得

(25)

定義與微觀尺度鄰域Z相關的體積平均算子

(26)

把體積平均算子(26)作用到式(25)的兩邊, 根據Green公式, 則有

(27)

其中

(28)

(29)

類似地, 由式(17)、(7)和(4), 可得

ψ1=-f-du0

(30)

其中

(31)

把體積平均算子(26)作用到式(30)的兩邊, 利用Green公式, 則有

-f-dZu0

(32)

再定義與介觀尺度鄰域Y相關的體積平均算子

(33)

并把體積平均算子(33)作用到式(32)的兩邊, 根據Green公式, 可以得到宏觀尺度上的均勻化方程

(34)

其中

(35)

(36)

(37)

根據式(32)和(34), 可得

(38)

于是可以定義Bpq(y)滿足的單胞問題

(39)

此外, 把式(32)代入式(30), 可得

(40)

其中

根據式(29)、(37)和(39)可知ψ2與ψ3不等于零, 為使式(40)保持等號成立, 可以構造Gs(y,z),Hst(y,z)滿足的單胞問題分別是

(41)

(42)

由式(18)、(7)和(4), 可得

(43)

從式(24)可知上述等式成立.

類似于上面的分析和運算, 從式(19)～(23)、(7)和(4), 可以定義Hspq(y,z),Hstpq(y,z),Kp(y,z),Mst(y,z)和Np(y,z)滿足的單胞問題分別為

(44)

(45)

(46)

(48)

綜上所述, 可以得到以下定理:

(1)問題(1)的解uε1ε2(x)具有形式漸近三尺度解(6);

(2)問題(1)解的均勻化解u0(x)由問題(37)確定;

(3)問題(1)的均勻化系數由式(28)、式(35)和式(36)確定;

(4)局部單胞函數Hs(z)、Bp(y)、Bpq(y)、Gs(y,z)、Hst(y,z)、Hspq(y,z)、Hstpq(y,z)、Kp(y,z)、Mst(y,z)和Np(y,z)分別由問題(24)、(29)、(39)、(41)、(42)、(44)～(48)確定.

在上面的討論中, 定義了在單胞Y和Z上的單胞函數, 這些單胞函數反映了uε1ε2(x)的某種局部性質. 需要指出的是, 定義在介觀單胞上的局部單胞問題附帶的是周期性邊界條件, 定義在微觀單胞上的局部單胞問題附帶的是Dirichlet邊界條件.

2 uε1ε2(x)的誤差分析

基于前面的討論, 分別定義如下不同的多尺度近似解

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

從式(52)～(54)可知，二階雙尺度解和低階三尺度解產生的誤差較大, 高階三尺度解產生的誤差較小, 因此，尋找問題的高階三尺度解在實際計算中是非常有必要的, 它提高了計算的準確度.

3 總 結

由于某些材料或問題具有多尺度特性, 用雙尺度方法處理這些問題時會有一定的局限性, 因此，很有必要在雙尺度方法的基礎上發展三尺度方法以及精確度更高的高階三尺度方法.

本文首先在高階三尺度方法的理論框架下, 通過逐步構造和分析, 得到了帶有阻尼項小周期橢圓邊值問題解的三尺度漸近展開式. 在此過程中, 均勻化系數和均勻化方程通過均勻化方法來獲得. 均勻化方程所確定的均勻化解對高階三尺度近似解起決定性作用, 反映了高階三尺度近似解的宏觀性質, 而單胞函數反映的是高階三尺度近似解的局部性質. 最后基于構造的高階三尺度漸近展開式, 定義了二階雙尺度解、低階三尺度解和高階三尺度解, 分析了它們與高階三尺度近似解之間的誤差, 由此表明高階三尺度解產生的誤差較小, 為進一步建立高階三尺度有限元數值算法提供了理論依據.