一種未知激勵下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別新方法

劉景良，俞安華，吳 琛，盛 葉，駱勇鵬

（1.福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，福州350002；2. 福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州350118）

模態(tài)參數(shù)識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域的一個關(guān)鍵問題。通過模態(tài)參數(shù)可以獲得結(jié)構(gòu)的動力特性，從而方便對結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步的振動控制和狀態(tài)評估[1-3]。然而需要指出的是：在實際工程中結(jié)構(gòu)受到的激勵是難以測量的，只有輸出響應(yīng)才能測得并提供有用的信息。因此，對未知激勵下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識別研究具有十分重要的意義。

目前，信號處理技術(shù)在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別研究領(lǐng)域獲得廣泛運(yùn)用，主要方法有峰值采樣法、頻域分解法[4]、隨機(jī)子空間[5]、頻響函數(shù)[6]、自然激勵技術(shù)[7]、特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法[8]和自回歸滑動平均[9]等。然而，上述識別方法的可靠性容易因噪聲的影響而降低，同時它也不能識別土木工程結(jié)構(gòu)中常見的密集模態(tài)參數(shù)[10]。為此，一些新的時頻分析方法不斷被引入并成為處理未知激勵下土木工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)信號的有力工具，其主要方法有Wigner-Ville 分布、短時傅里葉變換、小波變換(Wavelet Transform，簡稱WT)、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，簡稱HHT)等，而其中又以HHT和WT方法研究最為深入[11-12]。

然而由于環(huán)境噪聲的不可避免性，WT 需要對信號進(jìn)行多重分解才能有效揭示信號的內(nèi)部特征，因而其無法很好地分析大型土木工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號[13]。基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)的HHT 方法通過三次樣條插值將多分量信號自適應(yīng)地分解成一系列本征函數(shù)，但EMD本質(zhì)上是一種經(jīng)驗性的局域分析方法，它無法分離密集的模態(tài)響應(yīng)，特別是具有模態(tài)頻率疊混現(xiàn)象的多分量信號[14]。Wu 等[15]基于高斯白噪聲統(tǒng)計特性，提出集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法來解決EMD算法中存在的模態(tài)疊混問題。該方法通過添加高斯白噪聲對數(shù)據(jù)的極值分布進(jìn)行均勻化，從而緩解了模態(tài)密集和疊混現(xiàn)象。但正是由于白噪聲的添加，集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解算法也將出現(xiàn)分解不完備性和重構(gòu)信號中含有白噪聲等缺點[16]。為此，Chen 和Wang[17]提出解析模態(tài)分解(Analytical Modal Decomposition，簡稱AMD)這一時域信號分解方法來提取分量信號。該方法的本質(zhì)是利用構(gòu)造的正交函數(shù)與原始信號乘積的希爾伯特變換把每一具有特定頻率成分的分量信號解析地分解出來。AMD 不但能夠從大的波動中分離出小的間歇性波動信號，同時也能夠分解密集模態(tài)分量和窄帶分量信號。然而需要指出的是：模態(tài)參數(shù)時域識別法的關(guān)鍵是如何獲得結(jié)構(gòu)的自由衰減振動響應(yīng)。而隨機(jī)減量法(random decrement technique，簡稱RDT)作為一種從隨機(jī)振動響應(yīng)中提取自由衰減振動信號的時域數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，能夠在多分量信號分解之前對振動信號進(jìn)行處理從而有效減少信號中的隨機(jī)成分。

在采用AMD分解出分量信號后，提取瞬時頻率等模態(tài)參數(shù)成為可能。常見的方法有希爾伯特變換(Hilbert Transform，簡稱HT)、零點法和Teager 能量算子等，而其中又以HT 最為普遍和直接[18]。但是HT對噪聲極為敏感，其識別的結(jié)果與真實值存在一定的偏差，因此有必要引入卡爾曼濾波(Kalman Filter，簡稱KF)等平滑算法來修正HT識別的模態(tài)參數(shù)結(jié)果。

基于此，本文從未知激勵下的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號出發(fā)，聯(lián)合RDT、AMD、HT和KF方法提出了一種新的未知激勵下的土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法，并通過一個合成信號和一個4 層鋼框架結(jié)構(gòu)試驗驗證了該方法的有效性。研究結(jié)果表明：該方法能夠準(zhǔn)確有效地識別結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比。

1 基本理論

新提出的未知激勵下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法的流程圖如圖1所示。

該方法主要由以下3 個步驟組成。首先，采用RDT從實測的環(huán)境振動響應(yīng)信號中估算出自由振動響應(yīng)。其次，引入AMD 算法將估計出的自由振動響應(yīng)信號分解成各階獨(dú)立的模態(tài)分量信號，且每階頻率對應(yīng)一個自由振動的模態(tài)響應(yīng)。最后，通過HT 得到各階模態(tài)響應(yīng)的固有頻率和模態(tài)阻尼比，然后進(jìn)一步運(yùn)用KF 算法進(jìn)行平滑處理，從而得到更為精確的頻率值和阻尼比值。

1.1 采用RDT估計自由響應(yīng)

由于未知激勵下的響應(yīng)信號是隨機(jī)的，直接對原始響應(yīng)進(jìn)行分析是不合適的[19]。而由Cole 提出的隨機(jī)減量技術(shù)主要用于提取隨機(jī)振動信號的自由衰減響應(yīng)[20]。RDT 基于這樣一個假定：原始響應(yīng)信號x(t)由確定性和隨機(jī)性兩部分組成。在合理地確定初始條件(閾值a)之后，可通過統(tǒng)計平均的方法將隨機(jī)部分去除，從而過濾出確定性的自由衰減信號，如式(1)所示。

式中：y(ti)是實測原始響應(yīng)信號x(t)在ti時刻處的樣本個體，且y(ti)滿足閾值a條件，如圖2(a)所示。用y(ti)=a截樣本曲線可得到若干個交點，其中N為交點的數(shù)量，τ為時間變量。通過選擇合適的閾值可以得到足夠的交點以便獲得良好的自由響應(yīng)估計值。因此，閾值a的選擇對RDT至關(guān)重要，常見的閾值選定標(biāo)準(zhǔn)之一就是使估計的響應(yīng)方差最小化，如式(2)所示。

圖1 未知激勵下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別新方法流程圖

式中：σx是實測響應(yīng)信號x(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。為詳細(xì)說明自由響應(yīng)的估計過程，采用一個如式(3)所示的合成信號來模擬結(jié)構(gòu)在未知激勵下的隨機(jī)響應(yīng)。

式中：Ai為振幅，fi為第i個固有頻率，N為頻率個數(shù)或模態(tài)階數(shù)。設(shè)定合成信號含有4 階頻率，即f1=2 Hz,f2=4 Hz,f3=5 Hz 和f4=10 Hz；而對應(yīng)的振幅分別為A1=7，A2=9，A3=2 和A4=5。采樣時間和采樣頻率分別設(shè)為1.5 s 和100 Hz，共150 個樣本。根據(jù)式(2)選定閾值，其交點如圖2(a)中的虛線所示。由圖2(a)可知，共有4 個交點，分別標(biāo)記為1、2、3 和4。其中，每個交點對應(yīng)特定的信號段，且信號的每一段(用圖2(b)中的S1、S2、S3和S4標(biāo)記)均由45個樣本組成，即持續(xù)時間為0.45 秒。最終，根據(jù)RDT提取的自由振動響應(yīng)如圖2(b)中的實線所示。

1.2 AMD定理

在獲得自由振動響應(yīng)δ(t)之后，可采用AMD定理將其分解成多個單分量信號，且每一個分量信號xi(t)對應(yīng)一個頻率成分和獨(dú)立模態(tài)，其表達(dá)式如式(4)所示。

式中：n為分量信號個數(shù)。

對于任意由n個信號分量xi(t)(i=1,2,3,…,n)組成的原信號δ(t)，如果它的每一分量的頻率ω1、ω2、…、ωn(ωi＞0;i=1,2,…,n)滿足( |ω1|＜ωb1)，(ωb1＜ |ω2|＜ωb2)，…,(ωb(n-2)＜ |ωn-1|＜ωb(n-1))和 (ωb(n-1)＜ |ωn-1|)，其中：ωbi∈(ωi,ωi+1)(i=1,2,…,n-1)為n-1個二分截止頻率，則它的每一信號分量可以解析地給出，如式(5)和式(6)所示。

式中：H{?}為Hilbert 變換。

1.3 模態(tài)參數(shù)估計

1.3.1 希爾伯特變換

在成功提取原始隨機(jī)響應(yīng)信號的分量信號后，采用HT求解每個單分量信號xi(t)的瞬時頻率和瞬時阻尼比。HT通常被定義為信號的卷積，其表達(dá)式如式(7)所示[21]。

將xi(t)作為實部，其HT 變換作為虛部，構(gòu)建新的解析信號xa(n)如下

在構(gòu)建解析信號之后，可通過式(9)和式(10)估計每個單分量的瞬時頻率ω(n)和瞬時阻尼比ζ(n)。

1.3.2 卡爾曼濾波

KF 是一種特殊類型的濾波器，常用于建模、跟蹤、提取、濾波或平滑信號[22]。通過HT 和求導(dǎo)估計的信號頻率和模態(tài)阻尼比通常都是時變和振蕩的，這是因為任何輕微的擾動在經(jīng)過求導(dǎo)后都有可能被放大從而引起模態(tài)參數(shù)識別的潛在誤差。而KF 濾波算法可以最小化這種可能存在的誤差，其基本原理如下

圖2 RDT分析處理信號

式中：xs和zo分別是狀態(tài)和觀測變量；Gs和Go分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣；ns和no分別表示狀態(tài)變量和觀測變量的噪聲。

為應(yīng)用傳統(tǒng)的KF，需進(jìn)行如式(13)至式(17)所示的迭代過程。在此迭代過程中，狀態(tài)變量xs由式(8)中的實部xi(n)與虛部yi(n)組成。

(1)第n次迭代時的預(yù)測狀態(tài)變量xs(n)和預(yù)測協(xié)方差p(n)分別為

(2)獲得新的KF的增益矩陣GKF

(3)根據(jù)計算得到的GKF和新的測量數(shù)據(jù)zo(n)，預(yù)測樣本xs(n+1 )和相應(yīng)的誤差協(xié)方差p(n+1 )，如式(16)和式(17)所示。

式中：I為單位矩陣。

通過KF 迭代過程可得到新的實部xi(n)和虛部yi(n)，然后將其分別用于計算每個分量的瞬時振幅和瞬時相位φ(n)=從而最終估計得到更精確的固有頻率和模態(tài)阻尼比。

2 數(shù)值模擬驗證

為驗證新方法的有效性，考慮如式(18)所示的合成響應(yīng)信號。

式中：Ai是振幅，fi是固有頻率，θi是相位角，ζi是阻尼比，i代表模態(tài)階數(shù)，N是頻率的總個數(shù)。

設(shè)定合成信號由x1(t)、x2(t)和x3(t)3個分量信號組成，且3個分量信號的頻率分別為f1=3Hz,f2=4 Hz，和f3=7 Hz。振幅Ai=1且初始相位θi=0，其中i=1,2,3。對應(yīng)的阻尼比ζ1=0.8%,ζ2=1.0%和ζ3=0.5%。信號采樣頻率為200 Hz，采樣時間為8 秒。由于所選合成信號中的2 階模態(tài)頻率(3 Hz和4 Hz)十分接近，因此可以用來驗證所提出的方法能否有效分解密集模態(tài)分量信號。

模擬的合成信號如圖3所示，由于其為自由衰減振動響應(yīng)，因此無需運(yùn)用RDT進(jìn)行預(yù)處理。通過選擇合適的截止頻率，采用AMD定理分解得到的各階自由振動響應(yīng)如圖4所示。

圖3 模擬的合成信號

由圖4可知，提取的各階模態(tài)分量與真實值基本一致。通過HT 和KF 算法估計的合成信號各階頻率如圖5所示。由圖5可知，由于端點效應(yīng)的影響，頻率識別值在端點附近存在較大的起伏，但隨后收斂于一個特定的值。同理，通過HT 和KF 算法估計的合成信號各階阻尼比如圖6所示。與頻率識別值類似，阻尼比識別值在端點附近也存在較大的起伏，但隨后也收斂于一個特定的值。從表1可以看出，固有頻率識別結(jié)果與理論值十分吻合，特別是模態(tài)密集的兩個分量信號的頻率值(分別為3 Hz 和4 Hz)都得到了較好地識別。由此可見，阻尼比識別結(jié)果與理論值吻合較好，這很好地驗證了本文所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖4 基于AMD分解得到的各階分量信號

圖5 HT-KF 估計的頻率

圖6 HT-KF 估計的阻尼比

表1 合成信號固有頻率和阻尼比識別值

3 試驗驗證

3.1 鋼框架模型

通過一個鋼框架結(jié)構(gòu)動力試驗來驗證所提出的識別方法。圖7所示為2 跨×1 跨的4 層鋼框架縮尺模型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)簡化模型如圖8所示。梁柱軸間距為225 mm，各層層高均為225 mm。梁、柱材料均為碳素結(jié)構(gòu)鋼Q235，其界面尺寸和具體特性如表1所示。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可求得結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量為m1=m2=m3=4.02 kg，m4=3.48 kg，完整無損狀態(tài)下結(jié)構(gòu)各層理論剛度均為263 kN/m。在已知結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量和剛度的前提下，可求解結(jié)構(gòu)的1階、2 階、3 階和4 階固有頻率理論值，分別為17.39 Hz、49.80 Hz、75.56 Hz、91.77 Hz。在試驗過程中，利用支架上安裝的激振器在結(jié)構(gòu)頂層施加掃頻激勵，然后通過在結(jié)構(gòu)第4 層布置的傳感器測量其加速度響應(yīng)信號，其中采樣頻率和采樣時長分別為1 000 Hz和600秒。

圖7 縮尺鋼框架結(jié)構(gòu)模型

圖8 結(jié)構(gòu)簡化數(shù)學(xué)模型

表2 結(jié)構(gòu)構(gòu)件特性

3.2 模型參數(shù)識別

實測的結(jié)構(gòu)第4 層加速度響應(yīng)信號如圖9所示。首先，采用RDT 將第4 層加速度響應(yīng)信號轉(zhuǎn)換成自由振動響應(yīng)信號，此時，時間被縮短為1.2 秒，共1 200 個樣本，結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，相比于原始信號，自由振動響應(yīng)信號更加光滑，其受噪聲干擾較少。通過選擇合適的截止頻率，采用AMD 定理分解自由振動響應(yīng)信號從而得到如圖11所示的各階模態(tài)分量信號。采用HT 可初步估算出各階模態(tài)分量信號的頻率，但由于激勵和求導(dǎo)運(yùn)算的緣故上述頻率估計值呈現(xiàn)振蕩模式，因此需通過KF 對其進(jìn)行光滑處理，其結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，由于端點效應(yīng)，頻率識別值在端點附近存在較大的起伏，但隨后收斂于一個特定的值。通過HT 和KF 算法估計的各階模態(tài)分量信號的阻尼比值如圖13所示。由于端點效應(yīng)的緣故，阻尼比識別值在端點附近也存在較大的起伏，但隨后收斂于一個特定的值。從表3也可以看出，前3 階頻率識別值與理論值吻合度較高，誤差率分別為0.75 %、2.22 %和3.16 %。第4 階的誤差相對較大(誤差率為6.76 %)，這是由于試驗材料自身的缺陷、焊接的影響等多種因素引起的。整體來說，頻率識別值與理論值吻合度較好。通過動力試驗實測得到的1、2、3 和4 階阻尼比理論值分別為1.23 %、0.19 %、0.12 %、0.08 %，而1、2、3 和4 階阻尼比識別值分別為1.26 %、0.20 %、0.13 %、0.07 %。由表3可知，阻尼比識別值與理論值吻合度較高，相對誤差較小，這再次驗證了本文所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖9 第4層的響應(yīng)信號

圖10 基于RDT提取的自由響應(yīng)信號

4 結(jié)語

結(jié)合隨機(jī)減量技術(shù)、解析模態(tài)分解、希爾伯特變換和卡爾曼濾波理論提出了一種未知激勵下土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別新方法。通過一個含有密集模態(tài)分量信號的合成信號以及一個未知激勵作用下4 層鋼框架結(jié)構(gòu)試驗驗證了提出的方法，主要結(jié)論如下：

(1)RDT 能有效地提取未知激勵下的結(jié)構(gòu)自由振動響應(yīng)，同時消除一些測量過程中產(chǎn)生的噪聲。

圖11 基于AMD分解得到的各階分量信號

表3 識別的鋼框架固有頻率和阻尼比

圖12 基于HT-KF 估計的頻率

圖13 基于HT-KF 估計的阻尼比

(2)AMD 能夠分解含有密集模態(tài)分量的多分量信號，但是通過HT 和求導(dǎo)估計的分量信號的幅度和頻率通常是時變和振蕩的，而KF 濾波算法可以最小化這種可能存在的誤差。

(3)基于RDT、AMD、HT 和KF 聯(lián)合的模態(tài)參數(shù)識別方法能夠準(zhǔn)確有效地識別未知激勵作用下4層鋼框架結(jié)構(gòu)的各階頻率和阻尼比，將來有可能應(yīng)用于實際土木工程結(jié)構(gòu)。