基于均勻化的縫合夾芯復(fù)合材料建模方法研究

姜 東，朱東輝，范芷若，廖 濤

(1.南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，南京210037；2.東南大學(xué) 空天機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究所， 南京211189)

縫合式夾芯復(fù)合材料是在傳統(tǒng)三明治夾芯復(fù)合材料厚度方向使用高強(qiáng)度纖維縫線進(jìn)行縫紉，再將復(fù)合材料面板、芯層以及縫合線固化形成的一體化結(jié)構(gòu)[1-2]，這種方式將顯著提高夾芯板性能[3]，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域[4]。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)宏觀力學(xué)性能是縫合式夾芯復(fù)合材料動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)。

針對(duì)縫合式夾芯復(fù)合材料宏觀彈性性能的研究主要有試驗(yàn)測(cè)試[5]和數(shù)值仿真[6]。試驗(yàn)是獲取材料力學(xué)性能最直接的方法，Wang 等[1]采用三點(diǎn)彎試驗(yàn)方法研究了6 種縫合夾芯材料的彈性性能，結(jié)果表明增加縫合密度有助于提升抗彎剛度；Singh 和Saponara[8]根據(jù)ASTM試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，測(cè)試了縫合線與面板夾角分別為30°、60°和90°時(shí)材料的抗彎剛度和芯層剪切性能；Che等[8]采用準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)和剪切試驗(yàn)研究了縫合工藝對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的影響。由于試驗(yàn)工況、試件設(shè)計(jì)加工的復(fù)雜性等，導(dǎo)致試驗(yàn)有一定的局限性，仿真方法成為了獲取復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能的有效補(bǔ)充。

針對(duì)復(fù)合材料細(xì)觀代表性體積單元進(jìn)行分析，提取反映復(fù)合材料組分信息、編織形式等特點(diǎn)的單胞模型，采用均勻化方法進(jìn)行等效[9]，可以得到復(fù)合材料有效彈性參數(shù)[10-11]。結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將預(yù)測(cè)結(jié)果作為初值進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，可以得到更加準(zhǔn)確的復(fù)合材料彈性參數(shù)[12-13]。姜東等[14-15]根據(jù)等效板理論以及三明治夾芯板理論將芯層等效為正交各向異性板，建立了含膠層的三明治夾芯結(jié)構(gòu)有限元模型。馬元春[4]建立了縫合式夾芯復(fù)合材料串并聯(lián)單胞模型，基于理論假設(shè)，得到等效彈性參數(shù)預(yù)測(cè)公式。Ai[16]在單胞有限元模型基礎(chǔ)上，研究了不同縫合角度對(duì)縫合式結(jié)構(gòu)等效彈性性能的影響，通過單胞模型獲取準(zhǔn)確的彈性參數(shù)，同樣適用于縫合式夾芯結(jié)構(gòu)。燕瑛等[17]將縫紉線簡(jiǎn)化為工字型結(jié)構(gòu)，馬健等[18]使用多尺度的方法將泡沫層等效為正交各向異性層，根據(jù)剛度折減的方法使用殼單元模擬面板，建立等效模型。Wang[19]建立的單胞模型為上下面板、芯層以及縫合線組成的混合單胞模型。Lascoup[20]等建立了考慮縫合線真實(shí)形貌的單胞模型。

基于均勻化理論，研究縫合式夾芯復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模方法，將縫合后的面板和芯層分別進(jìn)行等效，建立縫合式夾芯復(fù)合材料層合板等效模型，通過等效前后結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)比，驗(yàn)證了建模方法的準(zhǔn)確性。在縫合式單胞模型的基礎(chǔ)上，研究了縫合線密度對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響。

1 均勻化理論

復(fù)合材料由多個(gè)組分構(gòu)成，是非均勻的連續(xù)體，表示為M，如圖1所示。由固體力學(xué)可知，這種非均質(zhì)連續(xù)體在R域中滿足運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程

其中：σij、εkl分別為應(yīng)力、應(yīng)變張量為在R域中所受的體力，ρ為體密度，Cijkl為材料本構(gòu)方程的彈性張量。連續(xù)體在邊界Sσ、Su上的基本邊界條件與自然邊界條件滿足式(2)：

圖1 非均質(zhì)材料M在R域內(nèi)所受邊界條件

其中：nj為垂直于Sσ邊界的單位向量為牽引力。實(shí)現(xiàn)均勻化的關(guān)鍵在于得到復(fù)合材料的等效剛度。由上式可知通過邊界條件可以由單胞模型求解反映周期性結(jié)構(gòu)宏觀彈性性能的問題。

圖2 周期性材料均勻化過程

Hill[21]從應(yīng)變能角度指出當(dāng)給定邊界條件u使得在單胞體積內(nèi)σij,j=0，區(qū)域內(nèi)的平均應(yīng)變能可通過平均應(yīng)力和應(yīng)變求得

式（3）為Hill能量平均定理，表明均勻化宏觀連續(xù)體與微觀尺度單胞的應(yīng)變能相等，其中σm、εm為宏觀應(yīng)力和應(yīng)變張量。σ、ε分別為單胞的微觀應(yīng)力、應(yīng)變張量。圖2為周期性材料均勻化過程。

2 等效方法

在縫合式夾芯結(jié)構(gòu)中找出有規(guī)律、具有代表性的體積單元用以反映結(jié)構(gòu)整體的宏觀性能。該代表性體積單元可體現(xiàn)宏觀整體結(jié)構(gòu)的組分信息，被稱之為單胞模型。在單胞模型上施加位移邊界條件再通過計(jì)算可以得到等效材料參數(shù)[22-23]。由于縫合式夾芯復(fù)合材料結(jié)構(gòu)上下面板與內(nèi)部氣凝膠復(fù)合材料面板材料參數(shù)之間差異較大，因此將單胞模型取為3層結(jié)構(gòu)，再將上下面板、芯層部分等效為3層均質(zhì)的正交各向異性板，等效過程如圖3所示。

假設(shè)縫合式復(fù)合材料具有正交各向異性，其具有3個(gè)正交的性能對(duì)稱面。正交各向異性的復(fù)合材料的本構(gòu)關(guān)系可以表示為以下形式

其中：σm、εm分別為宏觀應(yīng)力和宏觀應(yīng)變。C為彈性剛度矩陣，其求逆得到柔度矩陣S

圖3 縫合式夾芯復(fù)合材料單胞等效流程圖

由柔度矩陣S系數(shù)可以求得復(fù)合材料的彈性參數(shù)：E1、E2、E3、ν12、ν23、ν31、G12、G23、G31。柔度矩陣中元素與彈性參數(shù)之間關(guān)系如下

本文將選取的縫合式單胞模型分為3層，即上、下面板、夾芯層以及結(jié)構(gòu)內(nèi)部的縫合線。對(duì)3 個(gè)部分分別施加周期性位移邊界條件進(jìn)行等效，得到3塊均質(zhì)的正交各向異性板，通過節(jié)點(diǎn)重合最終得到層合板模型。由正交各向異性本構(gòu)方程式(4)可知，若施加的位移邊界條件可以使得等式右側(cè)應(yīng)變分量為單位向量，剛度矩陣的一列等于所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量，即結(jié)構(gòu)在施加6個(gè)位移邊界條件如表1所示。分別求得單元中的應(yīng)力并做體積平均如式(7)所示可以得到平均剛度矩陣。

單胞的3 個(gè)部分均為對(duì)邊平行的六面體形狀，以芯層部分為例闡述施加周期性位移邊界條件方法。圖4所示芯層長寬高尺寸分別為x1×y2×z3。左右、后前以及上下6個(gè)面分別標(biāo)為A、B、C、D、E、F。

圖4 夾芯層部分幾何示意圖

以x方向的位移邊界條件為例，對(duì)夾芯層邊界A施加固定約束(0,0,0)，邊界B在x方向上的位移為(x1,0,0)。其他各邊界x方向自由度放開，y、z方向約束即(_,0,0)。這樣的位移邊界條件可以使得本構(gòu)方程中應(yīng)變分量為[ε1m=1,0,0,0,0,0]。再通過應(yīng)力平均法求得應(yīng)變列向量即可求得剛度矩陣的第一列元素。

3 縫合式夾芯復(fù)合材料等效

3.1 研究對(duì)象

縫合式復(fù)合材料板為三明治夾芯結(jié)構(gòu)。包括上、下面板以及夾芯層，在厚度方向采用纖維材料縫合而成。復(fù)合材料幾何模型與縫合線分布如圖5所示。

圖5 縫合式夾芯復(fù)合材料

表1 周期性位移邊界條件

其尺寸為400 mm×200 mm×11.5 mm，縫合線步長、直徑分別為15 mm、1 mm。縫合形式如圖5所示。結(jié)構(gòu)內(nèi)部的縫合線為雙股縫合線，而外部為單股。上、下面板均為復(fù)合材料，上面板厚度為1.0 mm，下面板厚度為0.5 mm。芯層材質(zhì)為氣凝膠，其厚度為10 mm。

縫合式夾芯復(fù)合材料中各組分材料參數(shù)如表2至表4所示，其中1、2、3 分別指代x、y、z3 個(gè)方向。結(jié)構(gòu)中縫合線為各向同性材料，上下面板均等效為正交各向異性。根據(jù)不同組分賦予材料屬性以完成有限元模型的建立。

縫合線使得層合結(jié)構(gòu)的面板與芯層牢牢固定，增加了夾心板橫向性能，不易分層，也提高了厚度方向的拉伸模量、抗拉強(qiáng)度以及整體抗沖擊等力學(xué)性能。但縫合線的作用對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響仍有待評(píng)估。本文使用均勻化方法研究縫合線對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響。此外，考慮到建立縫合式夾芯復(fù)合材料精細(xì)模型計(jì)算效率低，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)、載荷工況中適用性不高，因此需要對(duì)縫合式夾芯復(fù)合材料的等效建模方法進(jìn)行進(jìn)一步研究。

表2 面板材料參數(shù)

表3 氣凝膠材料參數(shù)

表4 縫合線材料參數(shù)

3.2 面板等效

上下面板和芯層力學(xué)材料參數(shù)量級(jí)差異較大，將3層結(jié)構(gòu)等效為單層均質(zhì)的各向異性材料板是不合理的。

因此將縫合式夾芯結(jié)構(gòu)仍分為3層分別進(jìn)行剛度等效。為保證有限元網(wǎng)格的有效性，按照表1列出的邊界條件對(duì)單胞有限元模型進(jìn)行約束定義，分別計(jì)算6 種邊界條件下結(jié)構(gòu)宏觀應(yīng)力，并代入復(fù)合材料柔度陣。

對(duì)于受拉工況，按照本構(gòu)方程，切應(yīng)力應(yīng)該為零，實(shí)際計(jì)算時(shí)實(shí)體單元中存在遠(yuǎn)小于正應(yīng)力的切應(yīng)力，因此可以忽略不計(jì)。最終可以得到等效剛度矩陣C為

將剛度矩陣求逆得到柔度矩陣，再代入式(6)，根據(jù)柔度矩陣與彈性參數(shù)之間的關(guān)系即可得到等效參數(shù)如表5所示。由于面板自身剛度足夠大，同時(shí)縫合線所占的體積比例較小，因此等效為無縫合線面板后材料參數(shù)與初始材料參數(shù)差距并不大。

3.3 夾芯層等效

夾芯層部分同樣施加周期性位移邊界條件，提取每次施加邊界條件下單元中的應(yīng)力數(shù)據(jù)，并作體積平均。得到的芯層等效剛度矩陣如下

同樣地將剛度矩陣求逆得到柔度矩陣，再代入關(guān)系式(6)，計(jì)算得到等效參數(shù)如表6所示。氣凝膠的剛度遠(yuǎn)小于縫合線剛度，經(jīng)等效后芯層等效材料參數(shù)與氣凝膠材料性能相差較大。E3數(shù)值相比面內(nèi)彈性模量變化較大表明了縫合線對(duì)于提高板厚方向抗拉剛度有顯著作用。

3.4 動(dòng)態(tài)特性對(duì)比驗(yàn)證

采用本文方法將縫合式夾芯板結(jié)構(gòu)等效為層合板模型，分為夾芯層以及上下面板3層，等效后的模型為均質(zhì)的無縫合線模型，將此模型前6 階模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果與精細(xì)化模型、等效單層板模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中精細(xì)化模型為根據(jù)等效前的夾芯材料幾何參數(shù)建模得到，即采用殼單元對(duì)上、下面板進(jìn)行建模，使用實(shí)體單元對(duì)夾芯層建模，縫合線則采用一維桿單元進(jìn)行模擬，有限元模型如圖6所示。

表5 剛度等效后的材料參數(shù)

表6 剛度等效后的夾芯層材料參數(shù)

圖6 縫合結(jié)構(gòu)有限元模型

單層板模型通過采用均勻化方法將夾芯材料等效為單層板得到。如表7為精細(xì)模型與等效模型的模態(tài)頻率對(duì)比，層合板模型的模態(tài)頻率與精細(xì)化模型之間的誤差均在5%以內(nèi)，平均誤差在3%以內(nèi)，表明層合板模型可準(zhǔn)確反映夾芯復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的彈性性能；單層板等效模型基頻誤差為8.7%，誤差較大。因此，當(dāng)縫合式夾芯復(fù)合材料應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)、載荷工況中時(shí)，可以使用層合板模型進(jìn)行替代，以達(dá)到簡(jiǎn)化模型、提高計(jì)算效率的目的。

4 縫合密度對(duì)等效參數(shù)影響

為進(jìn)一步研究不同縫合密度對(duì)縫合式結(jié)構(gòu)彈性力學(xué)性能的影響，基于上述均勻化方法，建立如圖7所示縫合密度分別為30×15、30×10、10×10的3種不同有限元模型開展研究。

圖7 3種不同縫合線密度的單胞模型

對(duì)上述3種不同縫合密度下的單胞模型施加周期性邊界條件，計(jì)算層合板模型面板以及芯層的等效彈性參數(shù)，如表8所示。

表7 精細(xì)模型與等效模型的模態(tài)頻率對(duì)比

表8 等效彈性參數(shù)

通過均勻化方法將精細(xì)化模型等效為層合板模型。縫合密度增加對(duì)層合板模型各組成部分的面內(nèi)等效彈性模量E1、E2影響較小；但夾芯層厚度方向等效彈性模量E3有明顯增大。均勻化結(jié)果表明縫合線能使夾芯彈性性能有一定提升。對(duì)于上、下面板來說，由于面板自身彈性模量較大，縫合線對(duì)其剛度影響不大；對(duì)于夾芯層，縫合線可以有效提升其厚度方向彈性模量。

5 結(jié)語

通過對(duì)單胞結(jié)構(gòu)中的上下面板、芯層分別施加周期性位移邊界條件，根據(jù)應(yīng)力平均獲得相應(yīng)的等效彈性參數(shù)，將縫合式夾芯結(jié)構(gòu)等效為上中下3 層均質(zhì)的正交各向異性層合板，建立準(zhǔn)確的縫合式夾芯復(fù)合材料等效動(dòng)力學(xué)模型。研究縫合線密度對(duì)材料力學(xué)性能的影響，縫合密度的改變對(duì)縫合式夾芯復(fù)合材料面內(nèi)性能影響較小，對(duì)夾芯層厚度方向彈性性能影響較大。