數(shù)學(xué)　如何在復(fù)雜問題中絕地求生

東坡

剛走出考場，耳邊充斥的總是花式比慘的話語：同桌自稱一點(diǎn)沒復(fù)習(xí)，前桌瘋狂吐槽題目太難，學(xué)霸小王感慨差點(diǎn)沒做完……咦，只有自己感覺還不錯(cuò)，甚至覺得挺穩(wěn)嗎？直到試卷發(fā)下來，看到同桌考了80分，前桌拿了85分，學(xué)霸小王喜提98分，而你，因?yàn)?9分不及格而被點(diǎn)名批評(píng)。你恍然，原來同學(xué)間的較勁也暗藏心機(jī)。

這其中蘊(yùn)含的正是博弈。簡單來說，博弈可以理解為做決定，要不要瘋狂采購、報(bào)考什么學(xué)校、是否競爭總裁職位……小到菜市場的斤斤計(jì)較，大到國家間的寸土必爭，生活處處都有博弈。面對(duì)復(fù)雜的問題，我們?nèi)绾芜\(yùn)用博弈知識(shí)絕地求生呢？

“零花錢困境”

假設(shè)你和學(xué)霸小王是一層樓的鄰居，并且同在一個(gè)班。學(xué)校要統(tǒng)一購買參考書，費(fèi)用為12元。回家路上，你們發(fā)現(xiàn)樓下小賣部新進(jìn)了一種網(wǎng)紅雪糕，售價(jià)1元。對(duì)于早早用完了零花錢的你們，這1元的雪糕也顯得遙不可及。因此你打算告訴父母，參考書是13元一本，這樣你就能擁有雪糕，享受清涼的快樂。

可正當(dāng)你準(zhǔn)備向父母開口時(shí)，媽媽向你透露了一個(gè)消息：今晚她要去小王家串門。這時(shí)你就面臨了一個(gè)困境，你不知道小王要了多少錢買書，但你的父母去串門后肯定會(huì)知道。如果你要了13元但小王只要了12元，那你“謊報(bào)軍情”的事情就會(huì)敗露，你不僅吃不到雪糕，還會(huì)被扣除1元下個(gè)月的零花錢。如果你要了12元但小王要了13元，那被扣錢的就會(huì)是小王，而作為誠實(shí)的獎(jiǎng)勵(lì)，你會(huì)獲得一支2元的高級(jí)雪糕。此時(shí)，你應(yīng)該誠實(shí)還是虛報(bào)參考書費(fèi)用呢？

在博弈論中，我們通常將這類問題簡化為支付矩陣（Payoffmatrix）的方式來分析，如左圖。

支付矩陣中一共有四個(gè)格子，每個(gè)格子中是你和小王的一種決定及對(duì)應(yīng)收益。左上方的格子，代表你和小王都“謊報(bào)軍情”，結(jié)果均得到13元的情況：紅色的1指的是你在此時(shí)能獲得1元，藍(lán)色的1指小王在此時(shí)能獲得1元。同理，左下方的格子代表你誠實(shí)而小王撒謊，此時(shí)，紅色的2指的是你獲得了2元的高級(jí)雪糕獎(jiǎng)勵(lì)，藍(lán)色的-1指小王被扣除了下個(gè)月的1元零花錢。

矩陣有了，該如何選擇呢？由于你無法和小王溝通，也猜不到小王會(huì)怎么做，所以我們要引入一個(gè)新的概念來解決問題——重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。

合適的戰(zhàn)略=最多的零花錢？

現(xiàn)在有一堵墻，隔絕了你和小王的所有聯(lián)系，讓你無從知道他的決定，因此你需要一個(gè)戰(zhàn)略來保護(hù)自己，并且獲得更大收益。有了它，你就能“運(yùn)籌屋檐之下，勝負(fù)一墻之隔”了。

我們再來一起看看右邊的支付矩陣。

如上面表格所示，對(duì)你而言，當(dāng)小王撒謊時(shí)，誠實(shí)的你能獲得價(jià)值2元的高級(jí)雪糕，撒謊的你只能多獲得1元。所以當(dāng)小王撒謊時(shí)，誠實(shí)是比撒謊更好的選擇。而當(dāng)小王誠實(shí)時(shí)，撒謊的你會(huì)被罰去1元零花錢，誠實(shí)的你不會(huì)受罰也不會(huì)得到獎(jiǎng)勵(lì)。所以當(dāng)小王誠實(shí)時(shí)，你的誠實(shí)依舊是比撒謊更好的選擇。綜合來看，無論小王如何抉擇，對(duì)你來說，誠實(shí)都是收益更大的選擇，而撒謊是嚴(yán)格劣于誠實(shí)的策略。

同樣的道理，下面表格，我們站在小王的角度來分析，也能得出結(jié)論：無論你是誠實(shí)還是撒謊，對(duì)小王來說，誠實(shí)都是更好的選擇。

現(xiàn)在結(jié)果出來了：當(dāng)你和小王都不清楚對(duì)方會(huì)如何抉擇時(shí)，最佳的策略是誠實(shí)地告訴父母參考書的價(jià)格。這個(gè)結(jié)果就是通過博弈論的方法得到的最優(yōu)解。

但很明顯，其實(shí)收益最大的情況是，你和小王都撒謊，這樣你們各能獲得1元收益，共計(jì)2元;而都選擇誠實(shí)卻是0元收益，共計(jì)0元。因?yàn)闂l件的限制，運(yùn)用博弈論，你們只能做出沒有收益也不會(huì)被懲罰的決策。

囚徒困境

“零花錢困境”實(shí)際上是博弈論中經(jīng)典的囚徒困境的一種形式。

囚徒困境指的是，兩名共謀犯罪的人被關(guān)入監(jiān)獄，分開在不能互相溝通的單人牢房內(nèi)。已有的證據(jù)只能讓每個(gè)人坐1年的牢，不過如果任意一人檢舉揭發(fā)另一個(gè)人，而另一方保持沉默，那么揭發(fā)方就能戴罪立功，逃離牢獄之災(zāi)，而被揭發(fā)方會(huì)因?yàn)樽C據(jù)確鑿并且抗拒司法入獄10年。不過，如果雙方互相揭發(fā)，那么雙方都會(huì)因確鑿的證據(jù)而被判刑8年。

對(duì)兩名囚犯而言，他們的最佳選擇和作為團(tuán)隊(duì)的最佳選擇是什么呢？同學(xué)們可以用支付矩陣來分析分析。

結(jié)果是不是有點(diǎn)扎心？即便合作對(duì)雙方都有利，但想要達(dá)成并保持合作卻困難重重。

或許你會(huì)想，有溝通不就能打破困境了嗎？不管是獲得零花錢，還是減少監(jiān)禁時(shí)間，充分溝通后就能雙贏。

真有這么容易嗎？

如果下次考試，只要低于最高分60%的分?jǐn)?shù)會(huì)被判為不及格，也就是如果最高分是80分，那么及格線就是48分。這時(shí)有人給出一個(gè)“完美”方案，只要大家都考一樣的分?jǐn)?shù)，就能保證全員及格，哪怕大家都是0分！學(xué)渣小李聽后開心得不行，準(zhǔn)備放手一搏，交白卷。但知道了囚徒困境的你，相信大家會(huì)統(tǒng)一交白卷嗎？以及，你又會(huì)交白卷嗎？