結構可靠指標計算的優化方法

潘大榮 白鴻宇

（南京工程學院 江蘇 南京 211167）

0 引言

結構可靠性是指結構在規定的時間內，在規定的條件下，完成規定功能的能力。目前我國結構設計中采用的分項系數法就是基于近似概率法的可靠性設計方法。而作為度量結構構件可靠性一個最重要的參量——可靠指標，它與構件失效概率有一一對應關系，直接反應了構件可靠度的大小。大多數情況下，結構的可靠指標很難直接求出，從而提出了許多近似計算方法以及優化算法，本文利用MATLAB 在傳統的一次二階矩基礎上提出了一種可靠指標的優化算法，對某橫梁進行了可靠性的分析，并把計算結果與傳統的一次二階矩理論的驗算點法進行了對比，從而驗證了這個方法的可行性。

1 結構可靠指標計算的數學模型

一般地，對于包含n 個相互獨立的正態變量的情況，結構的極限狀態方程可表為Z=g（X1，X2，…Xn）[1]，X1，X2，…Xn為影響結構功能的基本變量。Z 表示n 維空間Xi中的稱為極限狀態面，它將歐氏空間分為可靠區和失效區兩部分。

可靠指標β 作為度量結構可靠性的尺度，其幾何意義為標準正態空間坐標系（i=1，…，n）中原點到極限狀態方程曲面的最短距離，如圖1所示，β= OP*，P*即為設計驗算點。在計算時一般我們都是先人為的給定一個驗算點，然后進行多次迭代，隨著驗算點的改變，OP*也在不斷改變，其最小值就是我們要求的可靠指標β。

圖1 三維正態坐標系中β 的幾何意義

據此構建強約束非線性優化模型求解標準正態坐標系原點到極限狀態曲面距離的最小值即可求得可靠指標β。模型表述如下：

2 算例

根據上述優化模型，可靠指標的求解轉化為強約束非線性優化問題，即尋找目標函數在約束條件下的最小值。本文采用罰函數法作為優化算法，編制MATLAB 程序進行求解。程序輸入部分為模型的目標函數、約束函數，輸出結果為可靠指標值（β）、驗算點坐標（X*1，X*2，…，X*n）及驗算點處約束值、優化函數調用次數等。為保證結果的準確性，應用經典的驗算點法對計算結果進行驗證。計算表明所編程序準確可行。

具體求解過程通過算例說明如下：

例：某鋼結構的臨時橋，承受50t 履帶載，其橫梁截面為32a 號工字鋼，截面的抵抗矩W 服從正態分布：μW=692×10-6m3，σW=14×10-6m3；其材料強度f 對數正態分布：μf=390×106Pa，σf=28×106Pa；經過計算可求出橫梁承受的最大彎矩M 均值為 μM=210×103N·m，方差 σM=4.2×103N·m，服從對數正態分布，求可靠指標β。

求解步驟如下：

（1）f 為對數正態變量，利用Rackwitz-Fiessler 算法當量正態化得：

μ′f=f*（20.78-lnf*）

σ′f=0.072f*

所以有：

（4）M 為對數正態變量，當量正態化得：

μ′M=M*（13.25-lnM*）

σ′M=0.02M*

所以有：

綜上得：

目標函數為：

約束條件為：Z=f*W*-M*=0。

（5）將已知輸入MALAB 優化程序得：

驗算點坐標為：

（f*，W*，M*）=（309.54×106Pa，677.22×10-6m3，209.63×103N·m）；可靠度指標β=3.36。

采用經典的一次二階矩理論中的驗算點法求解，可得可靠指標β=3.358，驗算點坐標（f*，W*，M*）=（309.4×106，677.5×10-6，209.6×103）；所得結果與之非常接近。

3 結束語

算例表明，對于一些簡單結構，根據可靠指標的幾何意義，構建強約束非線性優化數學模型，采用優化方法對結構的模型進行求解，是可靠指標計算的快速有效途徑，對于功能函數為非線性的情況，不用采用泰勒級數展開成線性函數，避免了繁雜的迭代過程，是對可靠指標計算方法的重要補充，在結構的可靠性計算中具有一定的實用價值。