局部各向異性的薄殼收縮變形?

孫曉鵬,何 鑫,王振燕,李嬌嬌,陳 騰,董 雨

1(遼寧師范大學 計算機與信息技術學院 計算機系統研究所,遼寧 大連 116029)

2(智能通信軟件與多媒體北京市重點實驗室(北京郵電大學),北京 100876)

三維物體的變形模擬廣泛應用于游戲動畫、影視特效等領域[1].以四面體素[2]描述三維物體的變形方法復雜度較高、計算量較大;以三維曲面網格模型[3]描述物體變形時,往往忽略了網格曲面的厚度,以至其厚度遠遠小于其長寬尺寸.三維物體表面網格往往呈曲面狀,常規薄板變形算法無法適用[4],本文將物體三維曲面網格視為薄殼,進而基于薄殼受力的物理過程,實現三維曲面網格模型的收縮變形過程模擬.

虛擬現實和動畫設計的變形過程,往往只關注視覺效果,不予深究變形的物理學合理性.本文基于位置動力學實現薄殼收縮變形,具有更高的合理性.基于位置動力學模擬薄殼收縮變形過程速度快、可控性強[5],但適用材質模型具有較大的局限性[6];且在收縮變形前后,具有類球面結構(如動物頭部)的局部變形較慢且不顯著.

經χ2檢驗，兩組選擇率比較均P＜0.01，說明實驗組與對照組學生在學習興趣、學習效率、對知識的理解力和記憶力等方面存在顯著性差異。

據此,本文提出基于本構模型的彈性收縮變形能,以改善材質局限性問題;同時提出局部各向異性的收縮變形能,以改進薄殼收縮前后局部類球結構變形較弱的問題.另外,本文還給出了適當的彎曲系數,以消除彎曲變形過程中的抖動問題;并構造碰撞檢測預處理,提高了收縮變形過程中的碰撞檢測效率.

1 相關工作

薄殼模擬的方法有基于力的方法、基于位置動力學方法等[7].基于力的方法首先計算內力和外力,以牛頓第二定律計算加速度,使用隱式積分法、隱式中點法等[8]積分加速度得到速度,積分速度得到位置,計算量大,穩定性低.基于位置動力學方法省略了速度層,直接計算位移修正量以更新位置,本文基于位置動力學模擬薄殼收縮變形,速度快,可控性強[5].

基于本構模型可有效模擬物體變形過程中的物理性質,不同材質的本構模型不同[9],常見材質有Corotated 線性彈性材質、線性彈性材質、Saint Venant-Kirchhoff 材質[9]、Mooney-Rivlin 材質等[10].位置動力學方法常用于模擬布料、彈性棒、三維實體、流體等[11-14].該方法在材質模型選擇上具有較大的局限性,難以應用于常見的材質模型[6].2011 年,Diziol 等人基于Shape matching 方法模擬薄殼變形,該方法僅考慮了幾何特征,無法模擬材質模型[15].2014 年,Bender 等人基于位置動力學框架,基于四面體素表示的三維模型模擬三維柔體的變形,計算量較大[13].本文在 Bender 工作的基礎上,以離散三角網格代替四面體素模型,基于Saint Venant-Kirchhoff 材質的本構模型[9]定義彈性變形能,實現適用于多種材質模型[9,10]的薄殼變形模擬.

各向同性能量在物理模擬中應用廣泛,但基于各向同性能量難以模擬三維物體沿特定方向的變形(如伸展變形或生長模擬等)[16,17].相比之下,基于各向異性能量的變形模擬真實感較高.2019 年,Kim 等人基于各向異性能量模擬肌肉及繩索等物體沿指定方向的拉伸變形[18].本文基于位置動力學,針對局部類球結構變形緩慢且不顯著的問題,局部添加各向異性變形能量,以實現局部各向異性的薄殼收縮變形,并有效地改進了局部類球結構的變形效果,該方法適用于各向異性ARAP 能量、各向異性StVK 能量、各向異性Sqrt 能量[18]等多種各向異性能量.

輸入:當前時刻頂點位置集合xt;

In a word,Eve’s requirement of independent working and eatingtheforbidden fruit areresistanceto Adamand God respectively.

本文基于位置動力學的收縮變形模擬分為3 個步驟:第1 步基于外部壓力模型和時間積分法預測頂點位置,得到預測模型,預測模型中存在過度面內拉伸和面外彎曲(如圖1(b)所示);第2 步基于彈性變形能、彎曲變形能和局部各向異性變形能的定義,構建約束函數組,迭代計算位移修正量,并更新頂點位置;第3 步基于頂點位置變化信息更新速度.本文在收縮變形算法的流程中,在不同的力和變形能量作用下的變形效果如圖1 所示.

本文第2 節介紹外部壓力模型.第3 節介紹薄殼變形能.第4 節介紹碰撞檢測.第5 節給出算法流程.第6 節分析實驗結果.第7 節總結全文.

Fig.1 The pipeline of contraction deformation algorithm圖1 本文收縮變形算法流程

2 外部壓力模型

記薄殼模型M={V,E,F}為封閉離散三角面片網格,其中,V、E、F分別為頂點集、邊集、面片集.記頂點位置集合為x={x0,x1,…,xn},其中,n為頂點數量,xi∈R3為頂點i的位置坐標.記頂點i的參數坐標為Xi∈R2.三角面片頂點按逆時針方向排序.

設薄殼模型M受外部空氣壓力收縮變形,空氣壓強記為P,頂點i所受外部壓力為

其中,Aj為面fj的面積,wij=1/3,aFi為頂點i的1-ring 鄰域三角面片集合,ni為頂點單位法向量.

Fig.2 Pressure force distribution of initial model圖2 初始模型壓力分布

如圖2(a)所示,fp1、fp2、fp3為隨機3 個點所受外部壓力,定義外部壓力方向與y軸正向夾角為α,l=|fpi|(i∈1,2,…,n)為壓力值,則初始模型所受外部壓力的方向分布如圖2(c)所示,紅色表示cosα趨近于1,藍色表示cosα趨近于-1;初始模型壓力值分布如圖2(d)所示,紅色表示壓力值較大,藍色表示壓力值較小.

本方案可以根據齒圈2兩端面的硬度要求以及淬火深度的要求，調整第一次淬火和第二次淬火的工藝參數，使得“陰陽臉”可以通過參數調整來控制，解決了長期困擾本領域的技術難題。

3 收縮變形能

本節詳細介紹基于位置動力學變形模擬方法第2 步的各種變形能定義:定義彈性變形能ES以抵抗模型變形過程中產生的面內拉伸,定義彎曲變形能EB以抵抗模型變形過程中產生的面外彎曲,定義各向異性變形能EA使模型向其內部凹陷.本文第5 節將基于ES、EB和EA的定義構建約束函數組,迭代計算位移修正量,并更新頂點位置.

3.1 彈性變形能

本節基于Saint Venant-Kirchhoff 材質的本構模型[9]定義薄殼收縮變形的彈性變形能ES.

對于任意三角面片fj∈F,設頂點序號為j1,j2,j3.定義Dm=[Xj1-Xj3Xj2-Xj3],Ds=[xj1-xj3xj2-xj3],記fj變形梯度為F=∈R3×2,其應變能可定義為[13]

E=AjΨ(F),

總而言之，應用型本科院校應緊緊跟隨新時代改革的步伐，在創新創業的浪潮里勇往直前，成為創新創業教育的領軍者。創新創業教育是電子商務課程改革的方向標，電子商務課程改革和創新創業教育互相支撐，時刻以學生為本位，促進應用型本科院校的整體發展。

其中,P(F)為Ψ(F)的1st Piola-Kirchhoff 應力張量.

根據財務顧問提供的信息，摩根士丹利當時已經計提了約95億美元的壞賬，中投希望能注銷掉105億美元，這樣公司未來包袱會更小。摩根士丹利表示，無論怎樣的會計處理，最后都是要經過外部審計師的審計，注銷105億美元壞賬，外部審計難以通過。經過非常艱難的談判，最后達成一致，中投買入摩根士丹利“有期限的強制可轉換債”。對于轉換為普通股的時間點，雙方爭論過很長時間。摩根士丹利向“強制可轉換債”支付利息，要將利息做現金流貼現折算為現在的估值，還有強制轉換的周期雙方也有爭議，是加一周、還是減一周，都會影響入股價格。雙方斗智斗勇，最后達成一致要在2年8個月零3周內轉成普通股。

本文定義彎曲系數kB,以kBEB取代EB來控制彎曲變形能.當kB為1 時,彎曲變形能較大,模型變形過程出現細微抖動.kB為10-2時彎曲變形能較小,變形效果較為理想(如第6 節中圖16～圖17 所示),且有效地解決了模型彎曲變形過程中的抖動問題(如第6 節中圖18 所示).

其中,μ和λ為Lame 系數,||·||F為Frobenius 范數,tr(·)表示矩陣的跡,則薄殼模型M的彈性變形能ES可記為

根據公式(1)計算每個頂點的二維空間能量梯度,并基于p 將能量梯度映射到三維空間,得到頂點三維空間能量梯度.

3.2 彎曲變形能

本節基于Bender 等離散等距彎曲模型[13,24],定義薄殼模型M變形過程中的彎曲變形能EB,以阻止模型收縮變形過程中產生過度的面外彎曲,驅動模型恢復初始狀態.

國資委成立十年以來，據統計，其工作人員因貪腐被調查的案例只有一起某下屬單位工會辦公室主任利用為單位采買辦公用品之機，將個人購買物品所開發票塞入公家發票內報賬，貪污公款1.5萬元。蔣潔敏被免職，將國資委十年“零違紀”的紀錄打破，震動可想而知。

Fig.3 The geometry structure of a stencil圖3 模板s 的結構

對于邊ei∈E及其兩個鄰接三角面片,其4 個頂點的集合記為xs={xs0,xs1,xs2,xs3}、5 條邊的集合記為es={xs0xs1,xs1xs2,xs2xs0,xs0xs3,xs3xs1},則模板s的定義如圖3 所示,其中,兩個鄰接三角面片的法向量分別記為n0和n1,其夾角為θ,則模板s的彎曲變形能定義為

圖4 展示模板變形過程中呈現的不同狀態,設模板初始結構為黑色,無彎曲變形能EB實施變形后結構為紫色,定義初始面片夾角為β0.添加EB后,紫色模板受EB影響具有恢復初始結構的運動趨勢,若EB過大,模板會發生過度抗彎曲現象以抵抗收縮(如藍色模板所示),使模型產生抖動.理想模板運動范圍應位于紫色模板和黑色模板之間(如綠色模板所示).

因此，在供給側結構性改革與社會主要矛盾轉變的背景下，國家養老資源不充分不平衡的分配狀況應著重改善，尤其關注農業勞動者的養老資源。這需要國家層面有計劃的、有傾向性地進行資源分配。只有在資源供給上充分、公平分配，才能保證農村養老事業得到質的改變。供給側結構性改革主要針對宏觀經濟而言，但某種程度也只是手段——一種旨在促進資源優化配置的手段。

Fig.4 Different states of a stencil during deformation圖4 模板變形過程中的不同狀態

基于變形梯度F 計算面fj的二維變形梯度=pF∈R2×2,其中,p 為投影矩陣[23],則格林應變張量為 ε=,Saint Venant-Kirchhoff 模型應變能量密度場ΨS和1st Piola-Kirchhoff 應力張量P (F)分別記為

3.3 局部各向異性ARAP變形能

Step 1.僅考慮外部壓力,以Sympletic 歐拉法計算頂點預測位置pt+1;

Fig.5 Deformation effects after adding elastic energy and bending energy圖5 僅添加彈性變形能和彎曲變形能的變形效果

本文通過為局部類球結構添加各向異性變形能解決此問題.如圖6 所示,圖6(a)為類球曲面,在其局部區域內選擇三角面片(如圖6 藍色區域所示),定義其局部各向異性ARAP 變形能量EA,使該三角面片所在局部類球結構及鄰近區域產生顯著的內部收縮凹陷變形趨勢(如圖6(b)所示箭頭為頂點梯度方向).

Fig.6 The comparison of deformation before and after the addition of anisotropic energy on the spherical structure圖6 局部類球結構添加各向異性能量前后變形對比

本節各向異性ARAP 收縮變形能EA定義如下.

對三角面片fj的二維變形梯度∈R2×2進行奇異值分解,可得=UΣVT,其中,Σ為對角矩陣,R=UVT為旋轉矩陣,令拉伸張量 S=VΣVT,則各向異性常量I4和I5定義為[18]

多元相關系數R=0.953。說明，產量受多個主要農藝性狀的綜合影響，在生產中要綜合考慮，合理安排各個因素水平。主要農藝性狀對產量的直接通徑系數為穗粒數>實粒數>結實率>株高>有效穗>穗長>全生育期>千粒重。群體有效穗、穗粒數和結實率對產量的直接貢獻較大。在栽培過程中可以通過相應配套措施來提高單位面積有效穗和穗粒數。有效穗通過實粒數和結實率對產量產生較高的正向效應；穗粒數通過實粒數和結實率表現較高的負效應；實粒數通過增加稻穗長度，提高穗粒數和結實率影響產量的形成，在生產中要協調好各因子，達到增產增收的目的。

本文定義f=pTpF,c=fTf,r=pTR,并重新定義各向異性常量i4和i5如下:

i4=tr(rTfA),i5=tr(cA),

則各向異性ARAP 能量密度場ΨARAP及1st Piola-Kirchhoff 應力張量 P (f)∈R3×2為

其中,Sign(·)為符號函數.進而,本文各向異性ARAP 變形能量定義為

記三角面片fj的3 個頂點能量梯度.為使模型向內凹陷,本文以新的梯度方向代替,其中,nj為面fj的法向量,kA為常量.

4 碰撞檢測

針對薄殼收縮變形過程中發生的頂點與三角面片、邊與邊之間的自碰撞問題,本節采用連續碰撞檢測,即檢測模型中任意點和面(點-面圖元對),或任意兩條邊(邊-邊圖元對),在某一特定的時間步長內有無自相交.2002年Bridson 等人[22]以求解3 次多項式的方法檢測點-面碰撞和邊-邊碰撞.考慮三維模型在某一時間步長內,任意點和面、任意兩條邊都可能發生碰撞,在每一時間步長內求解3 次多項式計算效率過低.

Fig.7 The vertex-triangle collision(left)and the edge-edge collision(right)圖7 點-面碰撞(左)、與邊-邊碰撞(右)

為提高計算效率,本節首先采用軸向平行包圍盒[20]與非滲透濾波器[21]等碰撞剔除算法作為預處理,剔除不可能發生碰撞的圖元對,降低誤報率,然后采用Bridson 方法檢測碰撞.如圖7 圖元對碰撞所示,首先定義閾值τ.

當點i與面fj的距離dvf小于τ時(如圖7 左圖所示),點i將與面fj內的點qj發生碰撞,點i的位置為xi,點qj的位置為xqj=αj1xj1+αj2xj2+αj3xj3,其中,xj1、xj2、xj3為面fj的3 個頂點的位置,αj1、αj2、αj3為面fj這3 個頂點的權值,且αj1+αj2+αj3=1.

設模型初始體積為V0,變形后體積為V′,則體積比r=V′/V0.定義閾值ε,當前時刻t頂點位置的集合為xt,時間步長為Δt,則每一幀薄殼變形算法流程描述如下.

檢測到發生碰撞的圖元對后,分別定義點-面碰撞的約束函數和邊-邊碰撞的約束函數.若點i和面fj發生碰撞,定義Cvf=|xi-(αj1xj1+αj2xj2+αj3xj3)|-δ;若邊el和邊ek發生碰撞,則定義Cee=|(αl1xl1+αl2xl2)-(αk1xk1+αk2xk2)|-δ,其中,δ=10-4.

5 算法流程

本節基于第3 節彈性變形能ES、彎曲變形能EB和局部各向異性變形能EA的定義,構造約束函數組,并給出完整的局部各向異性薄殼收縮變形算法流程如下.

首先,指定各向異性變形能EA局部作用區域,只考慮模型所受外部壓力,基于Sympletic 歐拉法[5]計算每個頂點的預測位置p={p0,p1,…,pn}.

其次,以預測位置p={p0,p1,…,pn}更新頂點位置x={x0,x1,…,xn},即頂點位置x=p.構造E(x+Δx)的一階泰勒展開式E(x+Δx)≈E(x)+?xE(x)·Δx=0,其中,E(·)為能量函數,包括彈性變形能ES、彎曲變形能EB以及各向異性變形能EA,總能量為3 種能量之和.計算各頂點位移修正量Δx=[Δx1,Δx2,…,Δxn],使E(x+Δx)=0.頂點位移修正量應滿足所有能量函數(設共有N個能量函數),需求解線性系統[5]:

他們都不愿意拖累對方，卻從來沒有想過要一起走過最艱難的時候，他們都覺得是為對方好，卻不知道真正的愛情，不是只愛著幸福，還要愛那些不幸。

本文基于位置動力學方法,以非線性高斯-賽德爾方法[5]求解式(5)約束函數,計算Δx,并以Δx 更新頂點位置.

最后,碰撞檢測.檢測發生碰撞的圖元對,計算頂點位移修正量Δx,使Cvf(x+Δx)≥0,Cee(x+Δx)≥0,更新頂點位置[5].

其中,Aj為三角面片fj的面積,Ψ(F)為能量密度場,則面fj這3 個頂點的應變能梯度分別記為

當邊el與邊ek的距離dee小于τ時(如圖7 右圖所示),邊el上一點ql將與邊ek上一點qk發生碰撞,點ql位置為xql=αl1xl1+αl2xl2,其中,xl1和xl2分別為邊el的兩個端點位置,αl1和αl2分別為邊el的兩個端點權值,αl1+αl2=1;點qk的位置為xqk=αk1xk1+αk2xk2,其中,xk1和xk2分別為邊ek的兩個端點位置,αk1和αk2為邊ek的兩個端點權值,αk1+αk2=1.

青海省自上世紀八十年代就有栽培，尤其在我省化隆、循化等少數民族地區老百姓庭院中栽植較多，且近幾年來規模不斷擴大，品種不斷增多。但總體上青海省月季發展滯后，主要表現在品種單一、老化、規模小、純度低等，在全省范圍內一直未能將各類型、各色月季大規模應用于城市園林綠化中，更無月季園。

快速、精確的碰撞檢測是物理模擬的關鍵[19],碰撞檢測可分為離散碰撞檢測(DCD)和連續碰撞檢測(CCD)兩類.本文采用連續碰撞檢測,以軸向平行包圍盒[20]和非滲透濾波器[21]作為預處理,剔除不可能碰撞的圖元對,提高計算效率,然后以Bridson 方法[22]來檢測碰撞.

輸出:下一時刻頂點位置集合xt+1.

圖5 展示了模型僅在彈性變形能ES和彎曲變形能EB作用下的變形效果,圖5(a)所示為初始模型,圖5(b)～圖5(e)分別為模型變形50 幀、100 幀、150 幀、200 幀效果圖.顯然,在模型變形過程中,對于薄殼曲面網格的局部類球結構(如紅框區域所示),在各向同性能量作用下,局部曲面結構較為穩定,難以快速產生顯著的收縮變形.

Step 2.更新頂點位置xt+1←pt+1,基于公式(2)～公式(4)給出的ES、EB和EA構建線性系統(5);

Step 3.以非線性高斯-賽德爾方法迭代求解線性系統,計算頂點位移修正量Δx,更新頂點位置xt+1←xt+1+Δx,迭代5 次可得到較為精確的結果;

Step 4.檢測碰撞,若發生自碰撞,則計算新的頂點位置,使Cvf≥0,Cee≥0;

Step 5.更新頂點位置,計算體積比r,若r小于ε,則變形終止;

Step 6.更新頂點速度vt+1←(xt+1-xt)/Δt;

Step 7.更新時間t←t+Δt,跳轉Step 1,計算下一時刻頂點位置.

6 實驗結果與分析

本文的實驗環境為Inter(R)Core(TM)i7 處理器,主頻3.4GHz,內存32GB,PC,操作系統為64 位Windows.編程語言環境為Microsoft Visual Studio 2010 C++.

6.1 部分收縮變形實驗結果

圖8 為變形至100 幀時,分別添加彈性變形能ES、ES+彎曲變形能EB(kB=1)、ES+EB(kB=10-2)、ES+EB+各向異性變形能EA的情況下對應變形結果、平均曲率分布和能量分布.其中,紅色區域能量較高,藍色區域能量較低;紅色區域曲率值較大,藍色區域曲率值較小.

首先,從圖8(a)可以看出,顯然,在彈性變形能ES較高的區域,模型變形顯著;彈性變形能ES較低,模型變形較微弱.

由于國內城市化進程不斷取得新成效，商品房銷售面積增長，使用鋸材消費略增，但整體木質家具使用橡膠木的減少，影響我國鋸材進口。

其次,對比圖8(a)和圖8(c)可以發現,圖8(a)無彎曲變形能EB,紅框區域被過度拉伸,平均曲率分布不均勻,說明模型變形效果較粗糙;圖8(c)添加彎曲變形能EB后,紅框區域平均曲率分布較均勻,模型表面較光滑,收縮變形效果較好,無過度拉伸.對比圖8(b)和圖8(c),當彎曲變形能EB的系數kB=1 時,圖8(b)中模型無明顯收縮,抗彎曲現象較強,當彎曲變形能EB的系數kB=10-2時,圖8(c)中模型發生較好的收縮變形.

最后,對比圖8(c)和圖8(d),顯然,在添加各向異性變形能EA之后,紅框區域內局部類球結構變形較顯著;對比圖8(a)、圖8(c)和圖8(d)紅框區域內平均曲率分布可見,在加入EA后,紅框區域內產生了顯著的凹陷變形;對比圖8(a)、圖8(c)和圖8(d)紅框區域內能量分布可見,在加入EA后,紅框區域內能量分布發生了明顯變化,該區域內局部類球結構消失.顯然,在添加EA后,紅框內的局部類球結構收縮變形較添加EA前更為顯著,局部類球結構變形幅度更為明顯.針對各向同性能量作用下薄殼局部類球結構收縮變形緩慢且不顯著的不足,各向異性變形能量EA能夠使局部類球結構及鄰近區域快速產生顯著變形.

Fig.8 The comparison of deformation effects before and after adding energies圖8 添加變形能前后變形效果對比

圖9 所示為部分模型的收縮變形過程,圖9(a)所示為初始模型,圖9(b)～圖9(e)所示分別為第50 幀、第100幀、第150 幀和第200 幀的收縮變形效果.顯然,本文方法能夠有效地解決薄殼模型局部類球結構收縮變形緩慢、變形細微的不足.

Fig.9 The procedure of contraction deformation圖9 部分薄殼模型收縮變形過程

更多薄殼模型收縮變形效果如圖10 所示,自左至右,分別為壓力值分布、初始模型、變形后模型、初始模型平均曲率分布、變形后模型平均曲率分布、初始模型高斯曲率分布、變形后模型高斯曲率分布,紅色曲率值較大,藍色曲率值較小.從平均曲率和高斯曲率的變化可以看出,在本文算法驅動下,薄殼模型局部類球結構發生快速收縮變形且形變較為顯著.

Fig.10 Contraction deformation results of different thin shells圖10 不同薄殼模型收縮變形的效果

6.2 材質適用性與穩定性

在彈性變形能ES作用下的多種材質薄殼模型收縮變形的實驗效果的第50 幀如圖11 所示,自左至右分別為Corotated 線性彈性模型(Coro)、Saint Venant-Kirchhoff 模型(SVK)、線性彈性模型(LE)、Mooney-Rivlin 模型(MR).顯然,本文方法適用于多種材質的薄殼收縮變形模擬.

由于LE 材質模型1st Piola-Kirchhoff 應力張量定義為P(F)LE=μ(F+FT-2I)+λtr(F-I)I,Coro 材質模型1st Piola-Kirchhoff 應力張量定義為P(F)Coro=2μ(F-R)+λtr(RTF-I)R,而文獻[10]的變形梯度為F∈R3×2,不是方陣,無法計算1st Piola-Kirchhoff 應力張量P(F)LE和P(F)Coro,所以文獻[10]方法不適用于LE 材質模型和Coro 材質模型.比較而言,本文方法材質適用性更強,優于文獻[10]方法.

圖12 為使用SVK 材質50 幀收縮變形效果及能量分布.紅框區域顯示,本文方法彈性變形能ES分布更為均勻,能量過渡較平滑,變形過程穩定,模型不易失真.而文獻[13]方法能量波動較大,故本文方法穩定性更強,優于文獻[13]方法.

Fig.11 Contraction deformation results of different materials (on frame 50)圖11 本文方法對不同材質模型收縮變形模擬(50 幀)

Fig.12 Deformation and energy distribution for SVK on frame 50圖12 對SVK 材質變形50 幀及能量分布

圖13 為不同體積、不同材質模型變形的前100 幀的體積比.圖13(a)～圖13(c)所示初始體積分別為V0、V0/4、V0/16.每張圖中均有10 組柱圖,每組柱圖由4 根直方圖柱組成,其中前3 根分別為本文方法模擬Coro 材質、LE材質、SVK 材質的體積比,第4 根為文獻[13]方法SVK 材質的體積比.對比圖13(a)～圖13(c),顯然,本文方法模擬不同材質模型變形過程中3 種體積比相差甚微;而文獻[13]方法變形100 幀時模型體積與本文方法所得體積的差異隨初始體積的減小而增大.說明文獻[13]方法受初始體積影響較大,而本文方法較為穩定,受初始體積影響不大,故基于本文方法的不同材質收縮變形過程的穩定性更強,優于文獻[13]方法.

基于位置動力學模擬物體變形過程中使用的約束函數通常是基于幾何的,如距離約束函數[7]等,本文使用能量約束,能夠得到更真實的變形效果.如圖14 所示,圖14(a)左圖為使用能量約束變形50 幀效果圖;圖14(a)右圖為使用距離約束變形50 幀效果圖;圖14(b)左圖為使用能量約束變形100 幀效果圖;圖14(b)右圖為使用距離約束變形100 幀效果圖.顯然,當模型變形50 幀時,能量約束與距離約束的變形效果無明顯差別;當模型變形100幀時,距離約束的變形效果產生過度拉伸,相比之下,能量約束變形效果較好,更具合理性.

一般的物理模擬變形可通過梯度下降法極小化能量函數來實現[6],圖15 所示為本文方法與極小化能量法變形30 幀效果圖.對比圖15(a)和圖15(b),顯然,二者形態結構相似.但圖15(b)所示模型表面較為粗糙,而使用本文方法的模型表面較光滑,說明本文方法較穩定,可控性較強.

本文針對不同模型,基于彈性變形能,與極小化能量法以及與基于距離約束的位置動力學方法對比了性能,3 種變形方法計算效率對比見表1.顯然,通過梯度下降法極小化能量函數需消耗大量時間,基于距離約束函數的位置動力學方法雖然耗時較少,但模型容易失真,不符合物理規律(如圖14 所示).本文方法耗時較少,且變形效果比較符合物理規律,故本文方法優于另外兩種方法.

另外，在地表圈定了1條石墨低品位礦體(M6)，位于II號礦化帶南部，礦體呈脈狀EW向展布，推測長度為196m，真厚度為4.69m，向西尖滅，固定碳品位為5.34%。

Fig.13 The volume ratio of models with different volumes and materials on the first 100 frames圖13 不同體積、不同材質模型變形的前100 幀體積比

Fig.14 Deformation effects comparison of energy constraint and distance constraint圖14 本文能量約束與距離約束變形效果對比

Fig.15 Deformation effects comparison of energy constraint and energy minimization圖15 本文能量約束方法與極小化能量法變形效果對比

Table 1 The calculation efficiency comparison of different deforming methods表1 不同變形方法計算效率對比

6.3 彎曲系數與抖動

本節基于Bender 等離散等距彎曲模型[13,24],定義了薄殼模型M變形過程中的彎曲變形能EB,以阻止模型過度彎曲,驅動模型恢復初始狀態.

圖16 所示為不同彎曲系數的變形效果,其中,圖16(a)所示為初始模型;圖16(b)～圖16(f)所示的彎曲系數kB分別為1、10-1、10-2、10-3和0.當kB為1 或10-1時,模型變形細微;當kB為10-2或10-3時,模型變形顯著;當kB為0 時表示無彎曲變形能EB,只有彈性變形能ES,與圖16(d)相比,圖16(e)和圖16(f)紅框所示局部區域的變形更為劇烈,更為粗糙.

Fig.16 Deformation effects of different bending coefficients圖16 不同彎曲系數的變形效果

圖17 所示為不同彎曲系數的模型變形前100 幀體積比變化曲線.當kB=1 或10-1時,模型體積變化較小;當kB=10-2時,模型體積比曲線較平滑且呈下降趨勢,證明模型發生了收縮;當kB=10-3時,模型體積比曲線呈下降趨勢,模型發生收縮,但模型體積與kB=0 時體積接近,證明彎曲變形能EB所起作用不大.

Fig.17 The volume ratio curves of different bending coefficients on the first 100 frames deformation圖17 不同彎曲系數的變形前100 幀體積比變化曲線圖

不同模型收縮變形前100 幀體積比變化趨勢如圖18 所示,kB=1 時模型體積比曲線變化幅度較小且上下波動,說明模型收縮變形較為細微,且存在抖動;而kB=10-2時體積比呈顯著單調下降趨勢,說明收縮變形顯著且穩定,顯然,kB=10-2時更為有效地克服了收縮變形過程中的抖動問題.本文選取kB=10-2作為彎曲系數.

Fig.18 The volume ratio tendency of different thin shells on the first 100 frames deformation圖18 不同薄殼模型收縮變形前100 幀體積比變化趨勢

6.4 多種局部各向異性能

圖19 所示為模型局部區域添加各向異性ARAP 能、各向異性Sqrt 能和各向異性StVK 能這3 種各向異性能量前后的變形對比.圖19(a)所示為初始模型,圖19(b)所示僅添加了彈性變形能.在此基礎上,圖19(c)～圖19(e)中第1 行在模型胸前分別添加了各向異性ARAP 能、各向異性Sqrt 能和各向異性StVK 能這3 種各向異性能量,圖19(c)～圖19(e)中第2 行在模型腦后分別添加了各向異性ARAP 能、各向異性Sqrt 能和各向異性StVK能這3 種各向異性能量.對比圖19(b)和圖19(c)～圖19(e),顯然,在無局部各向異性能量時,模型胸前和腦后收縮變形較細微,而3 種各向異性能量均能產生顯著的收縮凹陷變形.顯然,本文收縮變形算法不僅適用于局部各向異性ARAP 能,同樣也適用于局部各向異性StVK 能和局部各向異性Sqrt 能[18].

Fig.19 The suitability of various local anisotropic energies圖19 多種局部各向異性能的實用性

圖20 所示為不同模型局部添加EA前后收縮變形100 幀的體積比趨勢對比,在局部添加EA之前,模型收縮變形的體積比變化較為緩慢;在局部添加EA之后,模型收縮變形的體積比變化較快,且收縮變形后體積更小.

效果如此明顯，然而ERAS在全國開展的情況卻并不十分樂觀。施秉銀認為，首先，這和整個醫院的學術氛圍密切相關，醫院只有認識到這項工作的重要性，才會去做；其次，醫院領導也要足夠重視，從院級層面做好制度支持、年輕醫生的培訓等；最后，科室負責人也要認識到其對學科發展和臨床研究的重要性。

Fig.20 The volume ratio tendency comparison of different models before and after adding EA on the first 100 frames deformation圖20 不同模型添加EA 前后收縮變形的前100 幀體積比趨勢對比

6.5 連續碰撞檢測

本文首先采用軸向平行包圍盒[20]與非滲透濾波器[21]作為預處理,剔除不可能發生碰撞的圖元對,降低誤報率,大幅度提高了碰撞檢測計算效率,然后采用Bridson 方法[22]檢測碰撞.如表2 所示,表格第2 列為無碰撞剔除時Bridson 方法每幀變形需求解3 次多項式的數量,第3 列為求解3 次多項式所消耗的時間,第4 列為本文碰撞檢測所消耗的時間,顯然,基于本文預處理之后,碰撞檢測的計算效率顯著提高.

Table 2 The calculation efficiency comparison of collision detection表2 碰撞檢測計算效率對比

7 結 語

基于位置動力學的薄殼收縮變形存在材質局限性,且僅僅基于彈性變形能和彎曲變形能難以處理局部類球面結構收縮變形緩慢且細微的問題.本文提出薄殼收縮變形的彈性變形能,有效改進了材質局限性,能夠真實、高效地模擬多種材質的薄殼收縮變形過程;通過適當選擇彎曲系數,解決了收縮變形過程中的抖動問題;在彈性變形能和彎曲變形能基礎上定義局部各向異性變形能,實現了局部類球結構的快速、顯著、穩定的收縮變形,且適用于多種各向異性能量.另外,本文以軸向平行包圍盒與非滲透濾波器作為預處理,提高碰撞檢測效率.

本文算法存在如下幾個方面的不足:首先薄殼收縮變形幅度有限,如何自適應地選擇最優彎曲系數,并細分重構薄殼模型的局部網格,以進一步降低收縮比,是算法優化的方向之一.其次,本文算法如何推廣到膨脹變形也需要考慮.第三,動畫設計虛擬場景中有些變形是大幅度的,甚至是夸張的,不合常理的,本文算法基于能量實現,難以應用于此類大幅度變形.