用好習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力發(fā)展

吳曉霞

習(xí)題是對課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的鞏固和補(bǔ)充，它不僅是知識和技能的載體，更是能力與思維訓(xùn)練的原動力。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，由于小學(xué)生的年齡特征和思維方式，幾何推理的能力較薄弱。這要求教師在對教材習(xí)題進(jìn)行選擇和運(yùn)用時(shí)，應(yīng)有充分的認(rèn)識和理解。以下是筆者在實(shí)踐中的幾點(diǎn)思考。

一、先形后數(shù)，逐步發(fā)展幾何推理能力

先形后數(shù)就是先從形的感知再到數(shù)的計(jì)算，更符合小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維習(xí)慣。直觀估測，可以很好地幫助學(xué)生發(fā)展空間想象能力;再到數(shù)的計(jì)算，讓形象思維逐步向抽象思維過渡，從而發(fā)展幾何推理能力。

例如，人教版教材三下第69頁的第10題，這是一道解決從一個(gè)圖形中剪掉一部分，求所剩圖形（圖1）面積和周長的習(xí)題。如果不計(jì)算，在視覺的直觀性上，容易影響學(xué)生對所剩圖形面積、周長大小的準(zhǔn)確判斷。于是筆者重組了習(xí)題，先隱去圖1中的數(shù)據(jù)，淡化“算”的痕跡，從形上直觀感知所剩部分的面積大小。此時(shí)，有學(xué)生憑直覺估測教材習(xí)題左圖中剩下的部分多，所以面積大。也有學(xué)生認(rèn)為中圖剪去的部分雖然位置不同，但方向、大小與左圖一樣，因此估測剩下的面積大小一樣。也有學(xué)生堅(jiān)信三幅圖剩下部分的面積都一樣大，認(rèn)為從同樣大小的正方形中剪去同樣大小的一部分，所剩面積肯定也一樣大。隨后，筆者再還原數(shù)據(jù)信息，鼓勵(lì)學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證猜想。學(xué)生得出算法1：S-S=S;算法2：將剩下的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則的圖形，再求剩下面積。學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：面積是可以直接相加減的;從同樣大小的圖形中去掉同樣大小的一部分，所剩面積相等，與圖形的形狀無關(guān)。筆者最后順勢而導(dǎo)：“剩下圖形的周長會相等嗎？”幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固周長的概念，同時(shí)還建立起了面積與周長之間的聯(lián)系，層層深入探究，完善知識結(jié)構(gòu)，理解當(dāng)面積相等時(shí)，周長不一定相等。

二、從擺到推，動態(tài)發(fā)展幾何推理能力

動手拼擺是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要活動方式，對于小學(xué)生學(xué)習(xí)圖形與幾何知識，培養(yǎng)空間想象能力是十分有益的。例如，人教版四下“觀察物體（二）”的內(nèi)容，教材中第16頁的第7題，要求根據(jù)組合體圖形，確定正方體的數(shù)量。

此題難點(diǎn)在于如何確定被遮擋部分的正方體數(shù)量。教學(xué)時(shí)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生從靜態(tài)的觀察開始，通過不同的角度觀察，將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，在大腦中形成完整的表象;接著鼓勵(lì)學(xué)生動手拼搭，一邊探究怎樣擺，一邊想象組合體的實(shí)際構(gòu)造;再運(yùn)用信息化手段動態(tài)輔助教學(xué)，讓學(xué)生更直觀理解和驗(yàn)證所想;最后有序推理出正方體的確定數(shù)量。

從擺到推，動態(tài)的教學(xué)很好地解決了學(xué)生空間想象能力和理解水平參差不齊的問題。在直觀拆解組合體（如圖2）時(shí)，“被遮擋”的地方可視化后，學(xué)生更能夠充分理解組合體的實(shí)際構(gòu)造，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律歸納方法，引導(dǎo)思維從無序走向有序，動態(tài)中有效提升幾何推理能力。

三、知行明理，理性發(fā)展幾何推理能力

知行明理是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)不僅要知其然，還要知其所以然，不能僅僅停留在“是什么”的層面，還要知道“為什么”和“怎么樣”。如在一次講座中，筆者見到如下一道題：下面長方形（圖3）里，每個(gè)小正方形的邊長都是1厘米，你知道長方形的面積嗎？并說說你的理由。

有的學(xué)生認(rèn)為把空白的地方用同樣面積大小的小正方形填滿，長方形中有幾個(gè)小正方形，面積就有多大。運(yùn)用相同面積單位密鋪的辦法，把若干面積單位進(jìn)行累加，從而求出長方形的面積。有的學(xué)生認(rèn)為可以通過平移小正方形，實(shí)現(xiàn)將長方形的“長”轉(zhuǎn)化為7個(gè)小正方形邊長之和，“寬”轉(zhuǎn)化為4個(gè)小正方形的邊長之和，由此計(jì)算出長方形的面積。這是借助了面積度量的方法，探尋小正方形邊長與長方形長、寬的關(guān)系，明確每行個(gè)數(shù)與行數(shù)以及面積單位總個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，真正理解面積度量的本質(zhì)，避免了生搬硬套計(jì)算公式。此題還可以繼續(xù)往下探究：如果挖去這樣7個(gè)小正方形后，能計(jì)算剩下陰影部分的面積和周長嗎？這樣創(chuàng)編的習(xí)題既有趣又充滿挑戰(zhàn)。

為了避免僵化地考查學(xué)生對公式的運(yùn)用，應(yīng)帶著思考而學(xué)，在層層深入的練習(xí)活動中，滲透數(shù)學(xué)的思維和方法。更重要的是給學(xué)生提供積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)及解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，知行明理，關(guān)注知識背后的道理，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，唯有這樣，才能理性地提升幾何思維，有效地發(fā)展推理能力。

四、思辨求新，嚴(yán)謹(jǐn)發(fā)展幾何推理能力

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，是指思考問題符合邏輯、嚴(yán)密、有根據(jù)。嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)得，可以打破思維定勢的枷鎖，在思辨中求新，使考慮問題更周密。

比如，人教版三上第87頁的第4道習(xí)題。學(xué)生在解決此道問題時(shí)，大部分是直接應(yīng)用教材中例題5的知識，解答花邊長為36分米的長方形周長最短。當(dāng)筆者追問他們是怎么想時(shí)，思維定勢的“痕跡”呈現(xiàn)出來：已知當(dāng)長方形的長和寬越接近時(shí)，周長就越短。因此，學(xué)生在匯報(bào)作品拼擺的方法時(shí)，無一例外呈現(xiàn)的都是長方形的擺法。在比較優(yōu)化方法時(shí)，學(xué)生提出第一種是每行擺18幅，擺1行，求出花邊長是76分米，這樣既不美觀也擺不下，不符合生活實(shí)際。有的學(xué)生提出第二種方法：每行擺9幅，擺2行，花邊長是44分米。也有的認(rèn)為第三種方法最優(yōu)：每行擺6幅，擺3行，花邊長是36分米。這樣花邊的長和寬的長度最接近，且花邊總長在這三種方案中是最短的，符合題意。

此時(shí)筆者先是肯定學(xué)生的想法，但是有意識地追問：“還有沒有其他擺法呢？”并引導(dǎo)學(xué)生再次讀題時(shí)，讓學(xué)生明確題目并沒有要求要拼擺成長方形或正方形時(shí)，再次組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。于是新的拼擺策略“誕生”了，而且周長也是36分米。

學(xué)生通過推理歸納得出：只要拼擺后隱藏在圖形內(nèi)部的小正方形的邊長越多，露在外面的邊長就越少，圖形的周長也就越短。

總之，教師應(yīng)讓推理作為探索數(shù)學(xué)思路的工具、作為數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)求證的手段，讓學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動中積累經(jīng)驗(yàn)，循思而練，帶思而學(xué)，有效地促進(jìn)幾何推理能力的發(fā)展。

（作者單位：福建省福州市溫泉小學(xué)? ?本專輯責(zé)任編輯：王振輝）