基于認知跟蹤的集中式MIMO雷達功率分配算法

李正杰，謝軍偉，張浩為

(空軍工程大學防空反導學院，陜西 西安 710051)

0 引言

集中式多輸入多輸出(MIMO，Multiple Input Multiple Output)雷達作為一種新體制雷達，擁有比傳統相控陣雷達更優越的分辨特性、更強的低截獲能力和抗干擾能力等優點，得到了研究人員的廣泛關注。通過在發射端同時發射多個正交信號，在接收端引入數字波束形成技術(Digital Beam Forming，DBF)，集中式MIMO雷達能夠同時生成多個正交波束，可實現同時多波束，從而對多批目標進行定位跟蹤[1]。

目標跟蹤精度與雷達發射功率、有效帶寬、目標RCS參數均有關系[2]。認知跟蹤將各目標狀態信息及時反饋給發射端，實現根據目標特性自適應地選擇雷達發射信號參數配置，提高目標跟蹤能力。在實際中，雷達發射功率受到載荷和能源的限制。如何合理分配有限的發射功率從而獲得更好的目標跟蹤性能，已經成為認知跟蹤領域的熱點問題。在實際運用中，雷達功率分配通常將發射總功率恒定作為約束條件，優化調整各波束發射功率，獲得最佳目標跟蹤精度[3]。功率分配算法的有效性很大程度上依賴于目標位置的估計精度[4]，因此運用恰當的性能界限評價運動目標的估計誤差精度具有重要意義。理論上講，克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)能為任何無偏估計量的最小方差提供一個下界；但CRLB不具有預測能力，不能適用于運動目標功率分配場景。文獻[5]證明了后驗CRLB(Posterior-CRLB，PCRLB)的預測能力，提出可將PCRLB應用于運動目標跟蹤場景。文獻[6—7]分別利用擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)和精度更高的無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)，提出了跟蹤單個運動目標的功率分配算法。利用PCRLB的可預測性及其與發射功率的關系，可將其作為代價函數構建功率優化模型?，F有研究中，利用PCRLB構成代價函數可以分為兩種：一是綜合考慮各目標的PCRLB，對各目標跟蹤精度之和進行優化；二是只考慮精度最差目標的PCRLB，僅對最差目標跟蹤精度進行優化。關于功率優化模型求解問題，文獻[8—9]將功率分配看作非凸優化問題，利用貪婪算法來尋求最優解。上述研究及算法存在以下缺陷：一是將功率分配看作非凸優化問題，導致運算量增大而且可能得不到最優解；二是采用的跟蹤算法精度不夠高，導致功率分配結果誤差增大；三是現有研究大都直接運用兩類代價函數中的一類，并未對兩種函數的結果進行分析。對此，本文針對集中式MIMO雷達執行多目標跟蹤任務時，現有功率分配算法計算量較大且準確性較差的問題，提出了基于認知跟蹤的集中式MIMO雷達功率分配算法。

1 同時多波束機制下的跟蹤模型

1.1 同時多波束工作機制

同時多波束工作機制是集中式MIMO雷達區別于傳統相控陣雷達的重要工作方式，能夠讓雷達同時對多個目標進行跟蹤，示意圖如圖1所示。該工作機制的數學描述如下：

假設x-y平面內，集中式MIMO雷達位于點(x0,y0)，同時發射多個正交信號對Q個運動目標進行跟蹤，且各波束僅用于跟蹤一個目標。在窄帶條件下，k時刻雷達向第q個運動目標發射的信號為：

(1)

式(1)中，fc為載波頻率，q=1,2,3,…,Q，Eq,k(t)為信號的復包絡，Pq,k為發射功率，且滿足：

(2)

信號的有效帶寬和有效時寬分別表示為：

(3)

(4)

k時刻，接收機接收的目標q的回波信號為：

(5)

式(5)中，hq,k為目標的RCS；αq,k為衰減系數，與距離的四次方成反比，τq,k為信號的時延，fq,k為目標相對雷達的多普勒頻率，nq,k(t)為零均值的高斯白噪聲。

圖1 同時多波束示意圖Fig.1 Simultaneous multi-beam schematic diagram

1.2 運動模型

假設Q個運動目標彼此分離，且都在做勻加速運動，則第q個目標的運動方程可表示為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式(9)中，Ts表示采樣間隔;sq表示過程噪聲的強度。

1.3 觀測模型

假設該集中式MIMO雷達能穩定接收各目標的回波信號，并能從回波信號中提取各目標相對雷達的徑向距離、速度、方位角以及目標RCS等信息。k時刻，第q個目標的觀測向量和目標狀態向量的關系可表示為：

(10)

式(10)中，hq,k(·)表示k時刻目標q的觀測方程：

hq,k(·)=[hRq,k(·),hfq,k(·),hθq,k(·)]T

(11)

因此觀測向量的維數為nh=3，式(11)中的各項可表示為：

(12)

式(12)中，λ表示雷達的工作波長，rq,k，fq,k，θq,k分別代表k時刻目標q與雷達之間的徑向距離、多普勒頻率和方位角。

式(10)中的vq,k代表均值為零的高斯白噪聲，方差為：

(13)

(14)

式(14)中，B為接收波束的寬度。

由式(14)可知：由于衰減系數αq,k與距離的四次方成反比，且與測量方差成反比，因此目標與雷達間徑向距離越遠，目標跟蹤精度越差；目標RCS與測量方差成反比，因此目標RCS越小目標跟蹤精度越差；發射功率Pq,k與測量方差成反比，跟蹤第q個目標的波束功率越大，雷達測距、測速、測角精度越高。

至此，zq,k的概率分布可表示為：

(15)

依據貝葉斯定理：

(16)

結合式(6)和式(10)可迭代計算出，目標狀態的后驗概率密度函數(PDF，Probabilistic Density Function)，從而可以對目標狀態進行估計。由于觀測方程是非線性的，在估計目標狀態時，往往得不到后驗概率密度的精確解，需要通過非線性濾波算法進行近似求解。本文選用結構簡單并且估計精度高的SRCKF算法對目標狀態進行估計。

衡量非線性濾波問題的精度，可以通過求解均方誤差下界實現。理論上講，CRLB可以對任何無偏估計提供均方誤差下界，但其本身不具備預測能力，因此不能對運動目標提供有效的下界。文獻[10—11]在CRLB的基礎上提出PCRLB，利用PCRLB的可預測能力對運動目標跟蹤精度進行預測，從而可產生針對運動目標跟蹤精度的有效下界。

2 基于認知跟蹤的功率分配算法

2.1 PCRLB的遞推式

(17)

式(17)中，E(·)代表求數學期望，Jq-1(k)表示k時刻，第q個目標的PCRLB，即Fisher信息矩陣(FIM，Fisher Information Matrix)的逆。

(18)

(19)

PCRLB的遞推式可表示為[12]：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由于狀態方程為線性，而測量方程是非線性的。可將式(20)簡化為：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

兩種代價函數各有特點：式(29)更多地關注多目標整體的跟蹤精度；式(30)更關注最差目標的跟蹤精度。實際中應結合具體場景和任務要求來選擇代價函數，但從廣義上講，無論選擇何種代價函數，均能體現k時刻雷達的跟蹤精度。

2.2 優化模型的建立及求解

由式(27)可知，目標跟蹤精度受很多參數影響，如目標的RCS、信號帶寬以及發射功率等。本節針對雷達發射功率分配問題進行研究，在雷達發射總功率Ptotal固定的情況下，對各跟蹤波束的發射功率進行優化分配，從而提高目標跟蹤精度。根據代價函數不同，建立Φ1、Φ2兩種優化模型：

(31)

(32)

求解凸優化問題的傳統方法有貪婪算法、內點法、梯度投影算法等。傳統算法均需要進行多次迭代搜索，耗費時間較長。文獻[15]提出利用SDP算法可以將凸優化問題轉化為容易求解的SDP問題，從而實現快速實時求解?；谔岣吖β史峙鋵崟r性需求，采取優化速率更快的SDP算法?，F以F1模型為例，描述SDP算法流程。

將式(28)帶入式(29)可得：

(33)

為求解式(33)，設置一個輔助矩陣Mq，將其代替代價函數，并且增加限制條件：

(34)

(35)

便可得到一個與式(33)等價的SDP問題：

(36)

至此，F1模型的凸優化問題已轉化為SDP問題，同理可將F2模型的凸優化問題也轉化為SDP問題。轉化完畢后，利用SeDuMi工具箱可分別對兩個優化模型進行求解。

3 仿真實驗及結果分析

(37)

為進一步對比分析兩種代價函數對分配結果和跟蹤精度的影響，以及驗證所提功率分配算法的有效性，設置三種模型進行仿真，記為(P1,P2,P3)。其中，P1表示以式(30)為代價函數構成的最差目標的PCRLB優化模型，P2表示以式(29)為代價函數構成的各目標總的PCRLB優化模型，P3為功率平均分配模型。在初始時刻，P1與P2模型均為平均分配。

為探究距離和目標RCS對功率分配結果的影響，設置兩種RCS模型，記為(H1,H2)。其中，H1表示各目標RCS值恒為1；H2為各目標RCS各不相等，且出現起伏，具體數值見圖3。

表1 初始時刻目標運動參數Tab.1 The parameters of targets motion at the initial time

表2 雷達與發射信號參數Tab.2 The parameters of radar and transmitting signal

圖2 雷達與目標的空間分布Fig.2 Spatial distribution of radar and targets

圖3 第二種RCS模型H2Fig.3 The second RCS model of H2

場景1 距離影響

在此場景下，RCS模型為H1，即各目標RCS值均為1。因此，雷達功率分配僅與雷達到目標的徑向距離及其相對位置關系有關。

圖4(a)—圖4(c)分別給出了不同功率分配模型下，各目標位置的PCRLB之間的關系。由圖可知，P1模型各目標PCRLB值最接近，因此各目標跟蹤精度相差最小；P2模型各目標PCRLB值較接近，各目標跟蹤精度相差較??；P3模型各目標PCRLB值相差最大，各目標跟蹤精度相差最大。

圖4(d)和圖4(e)中，不同顏色表示不同的發射功率比，定義為：

rq,k=Pq,k/Ptotal

(38)

由于目標1距雷達最遠，在P1和P2兩種優化模型下，目標1均獲得最多的發射功率。

圖4 場景1中不同功率分配模型下各目標PCRLB及功率分配結果Fig.4 The PCRLB and power distribution results of each target under different power distribution models in Scenario 1

圖5給出了三種分配模型下，各目標總的PCRLB與RMSE、最差目標的PCRLB與RMSE之間的關系。結果表明：P2模型下各目標PCRLB之和最小，并且總的RMSE最小，因此總的跟蹤精度最高；P1模型下最差目標PCRLB最小，隨著時間推移，P1模型的RMSE也逐漸小于P2模型；在H1模型下，無論是經P1還是P2優化模型處理過后，總的跟蹤精度和最差目標的跟蹤精度都比P3模型高。

圖5 場景1中不同功率分配模型下跟蹤性能對比Fig.5 The comparison of tracking performance under different power distribution models in Scenario 1

場景2 目標RCS影響

在本場景中，RCS模型為H2，即各目標RCS值均不相等且發生起伏變化。因此，影響雷達功率分配的因素除雷達與目標的徑向距離及相對位置關系外，還有各目標的RCS值。

圖6(a)—圖6(c)給出了RCS起伏模型下，經不同分配模型處理后各目標的PCRLB。結果顯示：P3模型下，由于目標3的RCS最小，目標3的跟蹤精度最差；P1模型能夠有效提升最差目標的跟蹤精度，并且使各目標的跟蹤精度很接近；P2模型能夠在一定程度上減小最差目標的跟蹤精度，使各目標的跟蹤精度較為接近。

圖6(d)—圖6(e)給出了P1與P2模型的功率分配結果。相較場景1，場景2中雖然目標3距離雷達最近，但RCS最小，最終使得目標3成為精度最差的目標，因此絕大部分功率分配給了目標3。

圖6 場景2中不同功率分配模型下各目標PCRLB及功率分配結果Fig.6 The PCRLB and power distribution results of each target under different power distribution models in Scenario 2

圖7(a)給出了H2模型下，經各優化模型處理后各目標PCRLB之和以及RMSE之和的關系。結果表明：當RCS出現起伏時，P2模型下所有目標總的PCRLB值以及總的RMSE仍然最小，因此總的目標跟蹤精度仍然最高；在P1和P3模型下，總的目標跟蹤精度相差不大。

圖7(b)給出了H2模型下，經各優化模型處理后最差目標PCRLB之和以及RMSE之和的關系。結果表明：當RCS出現起伏時，在P1和P2模型下最差目標的PCRLB相差不大，但是P1模型下最差目標的PCRLB更加平滑，最差目標的RMSE起伏更??；P1和P2模型下的最差目標精度均高于P3模型。

圖7 場景2中不同功率分配模型下跟蹤性能對比Fig.7 The comparison of tracking performance under different power distribution models in Scenario 2

4 結論

本文提出了基于認知跟蹤的集中式MIMO雷達功率分配算法。該算法首先推導了運動目標位置誤差的PCRLB，而后對PCRLB進行預測并將其作為代價函數，從而將功率分配問題轉化為凸優化問題。最后運用SDP算法將凸優化問題轉化為SDP問題并求解。為探究總目標跟蹤精度和最差目標跟蹤精度兩類代價函數以及目標RCS值對功率分配結果的影響，設置了對照仿真實驗。

實驗結果表明：1)在功率優化分配模型中，距離雷達較遠、RCS較小的目標通常分配較大的發射功率；2)當目標RCS起伏時，目標跟蹤精度也會隨之出現起伏；3)相較于功率平均分配，本文提出的總目標跟蹤精度優化模型能明顯提高各目標總的跟蹤精度，最差目標跟蹤精度優化模型能明顯提高最差目標的跟蹤精度；4)總目標跟蹤精度和最差目標跟蹤精度兩種優化模型各有優勢：前者能使總的目標跟蹤精度達到最小，有時也可使最差目標跟蹤精度達到最小，后者能使最差目標跟蹤精度起伏幅度明顯小于前者，并且能夠使各目標跟蹤精度更為接近。