計算行列式的幾種不同方法解析

全彤 浙江農林大學暨陽學院商學院 帥昌浩 浙江農林大學暨陽學院工程技術學院

一、預備知識

1.行列式相關定義：

(1）上三角（形）行列式與下三角（形）行列式

上三角（形）行列式：形如的行列式。

(2）對角行列式與副對角行列式

(3）余子式與代數余子式

2.行列式的特點與性質：

(1）行列式與它的轉置行列式的值相等.

(2）互換行列式的兩行（列），行列式變號.

(3）若行列式有兩行（列）相同，則行列式為0.

(4）行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面.

(5）若行列式的某一行（列）是兩組數的和，則此行列式就等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應的兩數之一，其余各行（列）元素與原行列式相同。

二、行列式計算主要方法

1：利用基本公式計算

(1）范德蒙德行列式求解

解題思路：這是一個范德蒙德行列式，本題可直接套用范德蒙德行列式公式求解，即

(2）特殊行列式的計算：

解題思路：這是一個下三角行列式，可直接利用三角形行列式的計算公式得到結果，其值等于主對角線上各個元素的乘積。從而

2：利用分塊矩陣來計算行列式

解題思路：解法1：看到這道題，我的第一想法是把四階行列式化為四個分塊矩陣的形式，不妨令,則原四階行列式可表示為，此時行列式看起來就更顯簡潔明了了。

這種解法雖然最終答案與標準答案相符，但是由于定理要求A是可逆的，即要求A 的行列式不等于0，而題目中，題中未說明a 具體的值，即a 是否等于0 未知，所以此解法仍有失嚴謹，需要分類討論來計算。

為使解題過程更加嚴謹，不妨可以采用行列式展開定理求此題。由行列式的展開定理得到：

行列式展開定理省去了對a 的值的討論，顯得比較方便。

3：降階法

解題思路：對于低階行列式（三、四階）直接用降解法是來求行列式是比較方便的。由于此三階行列式第二行含有三個相同的數1，則可先通過列初等變換將第二行的兩個元素化為0，即C2－C1，C3－C1，得到由此可根據行列式展開

解題思路：由于此四階行列式每一行所有元素相加之和相同，所以考慮將2,3,4 列元素加到第1 列，由此第一列所有元素等于，于是可以提取公因式 ，第一列所有元素均變為1，然后就可以根據行初等變換將第一列中的三個元素變為0，這時通過行列式的展開定理就可以更方便地計算行列式的值了，本例中將第一列展開，此時的行列式降階為三階行列式，這時的三階行列式就更容易求了，可以繼續降階為二階行列式，即易得答案。

4：升階法/加邊法

解題思路：觀察此行列式可得出在計算前在行列式上加上恰當的一行或一列可保持行列式的值不變，而且可以使計算簡化。

5：利用行列式性質（通常較廣泛地應用于抽象行列式）

解題思路：

第一步：根據行列式的基本性質2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。可由

第二步：根據行列式的基本性質5：若行列式的某一行（列）是兩組數的和，則此行列式就等于兩個行列式的和。故，

解題思路：B 中第一列元素都表示為兩個數的和，根據性質可將B 拆分成兩個行列式來求，其中一個行列式兩列相同行列式為零，簡化了計算。

本題也可以用分解的方法來解，將矩陣分解成兩個矩陣的乘積。

6：數學歸納法求n 階行列式

解題思路：觀察可以得到本題中四個行列式有一個共同的特征，即主對角線上的元素和除主對角線外的所有元素分別都相同，即主對角線元素都為1，除主對角線外的元素都為2。由此可思考這四個題目之間的聯系，試用數學歸納法出發對本題進行分析：

用數學歸納法來證明

由假設得：

由此就可得到諸如此類的行列式的n 階行列式的計算公式。在例9 中，相當于取，可得：

7：利用因式定理法

解題思路：先把第2 列到第n 列元素都加到第1 列上去，第1 列元素都相同

利用因式定理法的行列式的特征：這類行列式一般是含有文字變量的行列式，當某個變量取某個特定值時行列式的值為0，則該行列式必定含有某個特定因子。

因式定理法的解題步驟：利用行列式的性質找出行列式的所有因式，因此得到行列式的值，利用行列式的定義的展開式觀察行列式展開式（多項式）的特征，如果次數與找到的所有因式的乘積的次數相同，就利用展開式的首項系數對因式乘積的系數進行相應調整，就可以得到行列式的值了。

三、總結

行列式是線性代數的重要內容，行列式的計算是行列式這一章的重點和難點，由于行列式類型的多樣性，不同類型的行列式其計算方法也不盡相同，同時有些題目可以有不同的計算方法。本人作為學生，認識和理解水平有限，本文只是針對最常見的特殊行列式的計算方法展開討論，歸納總結了七種方法，希望這些計算方法對學習行列式的學生有所幫助。