初中數學幾何證明解題規范

李婧蕊 程曉亮

（吉林師范大學數學學院 吉林·四平 136000）

0 引言

幾何學是世界上最早出現的一門數學學科，擁有悠久的研究歷史和重要的教育價值，圖形與幾何是初中數學課程中的四大領域之一，幾何證明又是該領域的重點。初中幾何證明在培養學生思維品質、直觀能力上所起的作用是其他內容不可替代的。然而，由于幾何證明的邏輯性強，表達要求高，導致學生在解題時面臨困難。因此，為了提高初中生幾何證明題的解題效果，需要給出初中數學幾何證明若干解題規范。

1 初中數學幾何證明

1.1 數學證明

數學意義上的證明涵蓋了兩種截然不同的含義，一種是邏輯嚴謹的自然語言的表達式，用來說服他人接受某個結論，稱之為非形式化證明。證明者所使用的證明語言是這種證明的關鍵所在，即證明語言本身以及他人對語言的理解決定了證明的嚴密性。這種形式的證明經常出現在辯論、科學講座、教育等應用型場景。但這并不是數理邏輯學家所使用的“正式的” 證明。數理邏輯學家所謂的“正式的”證明則是另一種截然不同的證明，稱之為形式化證明。與非形式化證明不同的是，形式化證明所使用的并不是自然語言，而是使用形式化的證明語言進行表述，證明過程是一個有限長度序列表達的形式語言。這樣的定義方式使得形式化證明不存在任何邏輯上的歧義。基于此，我們能夠發現在數學證明中無論是非形式化證明還是形式化證明，重要的都是運用規范的語言進行表達。

1.2 幾何證明的本質

幾何證明作為數學證明的一個分支，證明思路與數學證明如出一轍，在一個特定的公理系統中，是由定理和公理為基礎按照一定的規則得出某些結論的過程，其必須運用準確無誤的形式化語言即幾何語言進行表達。

歐幾里得是幾何證明的源頭，其證明的本質，一個是將定理、公理以及定義作為證明的出發點；另一個則是證明的方法,即演繹方法或三段論方法。歐幾里得得出的467 個定理就是這樣將5 條公理和5 條公設作為證明的出發點按照演繹方法進行證明。于是，歐氏幾何就這樣形成了被后人稱之為公理化體系的一個系統。我們可以這樣理解，歐氏幾何證明就是以這5 條公理和5 條公設為證明的出發點即證明條件。對歐氏幾何證明的方法，早在古希臘時期，哲學家們就對其有過辯論，亞里士多德認為：“推理是一種論證，其中有些被設為前提，另外的判斷則必然地由它們發生。當推理由以出發的前提是真實的和原始的時，或者當我們對于它們的最初知識是來自于某些原始的和真實的前提時，這種推理就是證明。”基于此，可以把幾何證明理解為一種推理。數學意義上的推理主要分為演繹推理和歸納推理。歸納推理的結果具有不確定性，即這就是波利亞所說的“合情推理”，因而需要進一步的演繹推理，《美國數學教育的原則和標準》將歸納推理稱之為非直接證明，將演繹法稱為直接證明。在幾何證明中經常用到的則是演繹推理。演繹推理是一種由一般到特殊的證明方法，具有順序性和嚴密性兩個特性。其中，順序性意味著，未被定義的概念和未被證明的命題不能被使用；嚴密性則是嚴格按照邏輯、按部就班的進行證明，完全沒有直覺。這種證明方法能夠保證任何前提推出的結果都和前提一樣可靠，即前提的真實性能夠保證結論的真實性。這種證明方法成為數學證明的主要方法，稱之為演繹邏輯。[1]

1.3 初中數學幾何證明

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出義務教育階段的數學課程要有助于培養學生的抽象思維和邏輯推理能力，注重發展學生的空間觀念和幾何直觀。[2]幾何證明是初中幾何課程學習的重中之重，幾何證明的學習對中學生來說還是比較困難的，這是由幾何問題的層次、活動、解法都具有多樣性所決定的。幾何問題的常見類型有幾何證明、幾何作圖和幾何應用三大部分，而幾何證明是綜合性很高的問題解決的過程。[3]幾何證明在培養學生空間想象能力、認識圖形、把握圖形的能力，邏輯推理能力上具有獨一無二的作用。初中幾何證明考察的是學生的邏輯思維能力及幾何語言書面表達能力，能夠從已有的事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的法則進行證明并將證明過程進行規范表達。從數學的視角來看，初中幾何證明是根據已知的真命題推出新命題的邏輯推理過程；從認知心理學的角度來看，初中幾何證明題是學生將未被證明的命題與自身認知結構中已知的命題和概念建立認知聯系，將未被證明的命題進行證明。從初中生解題角度來看，幾何證明是將學生思維的推理證明過程書面化。初中幾何證明既能考查學生對基礎知識的掌握，又能展現學生的邏輯推理能力及幾何語言的表達能力。

2 初中數學幾何證明規范解題的重要性

2.1 數學中的規范

漢語詞典分別從名詞意義、動詞意義、形容詞意義三個角度對“規范”一詞進行解釋。明文規定或約定俗成的標準是名詞意義上的“規范”的意思，如：道德規范、技術規范等；動詞意義上的“規范”是指按照既定的標準和要求進行操作，使某一行為達到或超過標準，如：規范管理、規范操作；形容詞意義上的“規范”只能用實例來詮釋，例如，企業的管理很規范等。[4]

根據“規范”一詞的詞義，結合數學學科自身的特點，在初中數學中我們可以把“規范”一詞理解為“標準”的意思。在數學中我們對“標準”一詞并不陌生，例如，為了明確我國義務教育階段數學課程的性質、課程基本理念、教學目標等，為了科學指導教師的數學教學與學生的數學學習，根據我國的教育方針與培養目標，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2011 年版）》。此后，義務教育階段的數學課程的教學與學習就以該標準作為指導。在進行數學考試時，為了讓評卷教師能夠進行準確、客觀地評分，則會根據教學目標、考察目標制定合理的評分標準。幾何證明題在初中數學中具有重要意義，那么初中數學幾何證明解題也就十分重要，為了規范學生的幾何證明解題，提高學習效率，我們也有必要制定出幾何證明題解題規范，以此來指導學生的解題。

2.2 幾何證明解題

所謂“解題”，中文字典對其含義是這樣解釋的，即對所提出的問題做出解答。在數學中幾何證明的解題就是對提出的所要證明的結論進行證明，并將證明過程進行書面表達。初中數學幾何證明題主要包括對條件、目標的分析、證明思路的確定、書寫證明過程三個步驟。而對條件、目標的分析和證明思路的確定是學生獨立在頭腦中進行思維的過程，因此呈現出差異性。幾何證明最重要的就是應用形式化的語言即幾何語言將證明過程準確地進行書寫。換句話說，盡管每個人的思維過程不同，但是在書寫表達即解題時應該是統一、規范的。

2.3 初中數學幾何證明規范解題的重要性

（1）規范解題是《義務教育數學課程標準（2011 年版）》思想的有效體現。規范解題是展現學生的數感、符號感的有效載體，課標中對數感、符號感這些數學學習的核心概念提出了明確的學習要求，而考察學生是否達到這些要求的最有效的方式就是考察學生的解題是否規范。同時，課標對學生的抽象思維以及邏輯推理能力也都提出了相應的培養目標，而對這種基本技能和基本思想掌握情況的考察也只能通過考察學生的卷面解題。

（2）規范解題能夠啟發學生思維，提高解題速度。華羅庚教授曾提出在數學解題上要做到“想得清楚，說得明白，寫得干凈”。由于幾何證明題的解題與代數解題有所不同，學生沒有標準的公式進行套用，也就沒有統一的解題步驟進行臨摹，因此，學生對幾何證明過程的清楚把握很大程度上是通過規范解題來實現的。在規范解題中學生的證明思路變得清晰、規范，解題速度就會有所提高。同時，幾何證明解題又是學生運用邏輯思維進行推導的直觀體現，能夠直觀地反映學生掌握的空間觀念、邏輯推理能力。只有規范解題，才能體現思維路徑的清楚，才能做到“言之有理，落筆有據”。

（3）規范解題是客觀評價知識水平的重要載體。由于中學數學具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性，因此對課標中提出的“四基”“四能”的考察只能通過卷面測驗的形式來進行。基于此，規范解題是進行客觀考核、評價、反饋知識水平的前提，只有規范解題才能把學生真實的知識水平、技能掌握水平顯現出來，才能對學生的知識水平進行客觀地評價。

3 初中數學幾何證明解題規范

3.1 初中數學幾何證明題的考察要求

一般地，幾何證明的考察要求包括：能夠通過觀察、實驗初步得出幾何結論，進一步尋求證據，給出證明或者舉出反例；能夠條理清晰地表達推理證明過程，言之成理，落筆有據；與他人進行數學交流的時候，能夠準確地運用數學語言合乎邏輯地進行討論。[5]

3.2 初中數學幾何證明解題規范

根據幾何證明的本質以及考察要求，初中數學幾何證明解題規范主要涉及以下幾個方面。

（1）幾何定理、公理使用規范。幾何定理、公理是進行幾何證明的出發點，是正確進行證明的前提和理論依據，也是幾何證明題規范解題的基礎。在初中數學學習的過程中，教科書會向學生提供一系列已經證實其準確性的幾何定理、公理并將其使用規范也一并進行說明、示范，因此初中生在進行幾何證明解題時首先要保證的就是這些幾何定理、公理的使用是規范的。例如，書中給出的“邊角邊（SAS）定理”，對于這個定理的使用，書中已經明確給出使用規范，即按照一組對應邊相等、兩組對應邊的夾角相等、另一組對應邊相等的順序進行證明。這就要求我們在使用這個定理進行兩個三角形全等的證明時，對于該定理的使用要按照給出的規范進行。在進行幾何證明題解題時，只有幾何定理、公理使用規范才能確保下一步證明的準確性。

（2）證明邏輯要規范。幾何證明用到的主要是演繹推理，其邏輯是演繹邏輯。進行幾何證明解題時就要嚴格遵守演繹邏輯的兩個基本特性：順序性和嚴密性。順序性要求我們在幾何證明題解題時要按照由已知推導未知的邏輯順序進行證明，嚴格按照“因為…所以…”的邏輯關系，不能出現循環論證，因果不符；嚴密性則是要求在幾何證明解題時要按照邏輯，一步一步進行證明，每一個結論的得出都要有準確的公理、定理作為依據，合理的證明作為支撐，不能憑空得出結論，公理、定理的使用也要有理有據。只有這樣，證明中才不會出現循環論證，前因后果不搭配，邏輯混亂不清的情況，才能確保幾何證明的邏輯是規范的。

（3）幾何語言使用規范。語言是思維的主要工具，學生思維的發展和他們語言的發展分不開。對于數學證明，最重要的是運用規范的證明語言進行表達。同樣的，對于幾何證明最重要的也是證明過程的表達，而幾何證明的表達則是應用幾何語言。初中數學幾何證明解題規范在本質上就是要表達規范即幾何語言使用規范。幾何語言是數學語言的一個分支，按照其語言特征，我們把幾何語言分為以下三種形式：幾何文字語言，幾何符號語言、幾何圖形語言。[6]

幾何文字語言是指運用文字來描述幾何對象之間的空間形式和數量關系，如幾何定理、公理的表述。其優點是便于理解，缺點是語言不夠簡潔且不利于證明和推理。例如，用文字語言敘述平行線的一個判定定理“內錯角相等，兩直線平行”。這樣的文字表達學生能夠容易理解，但在證明過程中并不運用它的文字語言進行證明，更多的是運用符號語言進行證明；幾何符號語言就是人們常說的幾何符號。例如“//”“⊥”“△”,這些常見的幾何符號在幾何學中都有特定的含義。符號語言具有準確性和簡潔性的優點；幾何圖形語言是指幾何中的圖形，優點是直觀、形象，缺點是不易描述。幾何證明的解題過程常常是這三種語言的有機融合，幾何語言使用規范實質包括這三種語言的規范使用。

①幾何文字語言使用規范。雖然，幾何證明的解題過程用幾何符號語言表達，但這并不代表在幾何證明解題時不需要文字語言。在幾何證明解題中，經常會遇到現有的圖形條件無法滿足證明的情況，此時，我們要根據情況添加輔助線，對于輔助線的添加，除了要在圖形中描繪出輔助線，同時還要將添加輔助線的方法用規范的文字語言進行表述，例如經常使用的添加輔助線詞語，如“連接…”，“延長…到…使得…”，“作…與…平行”“過…作…與…垂直，垂足為…”諸如此類描述輔助線畫法的文字語言在初中數學幾何證明解題中要根據實際情況使用規范。

②幾何符號語言使用規范。無論是幾何定理、公理的使用，還是“因為…所以…”的邏輯關系，都離不開幾何符號語言。為了規范大家的幾何符號語言，教科書中給出的幾何概念、幾何位置關系及幾何公理、定理，都用明確的符號語言進行了示范，例如用符號“”來表示三角形，用符號“⊥”來表示垂直的位置關系。除此之外，幾何證明中最常見的“因為”“所以”要用符號“∵”“∴”來表示，正確地使用“∵”“∴”是幾何證明解題規范的關鍵。一般來說，由一個條件得出一個結論時，只需進行簡單的“∵”“∴”的交替使用，但是當出現多個條件并列陳述、前面已經陳述過的條件或者需要連續使用“∴”時，這兩個符號的使用也有規范，多個條件并列陳述時只需使用一個“∵”，其余的可以連續寫上條件或者用文字“且”進行連接；前面已經陳述過的條件一般無需重復陳述；連續使用“∴”則是表示前面已經獲得的結論作為下一個結論的條件。在幾何證明解題中要嚴格按照教科書中給出的幾何符號語言進行表達。

③幾何圖形語言使用規范。添加輔助線時既要用規范的文字語言將輔助線的畫法表達出來，又要將輔助線在圖形中畫出來，即幾何圖形語言。幾何圖形語言是對幾何文字語言和幾何符號語言的補充，為幾何證明提供了直觀載體。幾何圖形語言在幾何證明中起著開拓證明思路的作用，規范的幾何圖形語言才能使證明思路清晰明了。對于輔助線的畫法教科書給出了一定的規范，例如，為了區別輔助線與原圖形，輔助線要用虛線進行描繪、在作垂線或者高線時要在垂足的位置標出直角符號、對于原圖中沒有標記字母的點要標記字母。這些雖然都是看似不起眼的地方，但是決定了幾何圖形語言是否規范。