無窮性的悖論與公理集合論思想述略

(昭通學院 數學與統計學院，云南 昭通 657000)

德國數學家康托爾，1872年至1893年間發表了一系列著述，建立了集合論，他首次引進無窮集合的概念，并證明了實數集合的不可數性，創立“超窮數”理論，提出了自然數集的基數與實數集基數之間不存在中間基數的“連續統假設”；為了將有窮集合的元素個數的概念推廣到無窮集合，他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念。證明了一般的N維空間可以與直線建立一一對應。這一結果連他自己也感到莫名驚詫，他說：“我發現了它，但簡直不敢相信”。康托爾深刻揭示了無窮的本質特性，從根本上改造了數學的結構，促進了數學新分支的建立和發展。

康托爾對于數學中無窮問題的深邃洞察力令數學、哲學界為之震驚，不僅成為數學理論的基礎，還給邏輯和哲學帶來了深遠的影響。他認為“數學的本質就在于它的自由”。希爾伯特認為，關于無限的本性的根本的闡述，并非只屬于專門科學興趣的范圍，而是人類理智的尊嚴本身所需要的”。[1]212他稱贊康托爾的集合論“是人類理智活動最漂亮的成果”，羅素說康托爾的成就“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”。[2]

雖然康托爾的理論，受到一些數學家的反對與質疑，如他的老師克羅內克稱康托爾“走進了超限數的地獄”，攻擊康托爾的思想是“最具獸性的見解”。但仍有不少數學家堅定支持康托爾，并迫不及待地以他創立的集合論為思想武器，開展了重構數學基礎的理論研究。……