小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中分類思想的滲透策略

■江蘇省連云港市贛榆區(qū)教師發(fā)展中心 朱貴璽

一、對分類思想的認(rèn)識

什么是分類呢？簡單來說，當(dāng)人們面臨一個(gè)問題，不能按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解決時(shí)，需要先根據(jù)問題可能出現(xiàn)的各種情況或者種類，有針對性地制定對應(yīng)的解決問題的策略或者路徑，然后分別進(jìn)行嘗試解決，在這個(gè)過程中蘊(yùn)含的就是分類思想，基于此思想形成的數(shù)學(xué)方法就是分類討論方法，通常也被稱為分類思想方法，分類討論方法的邏輯基礎(chǔ)是分類或劃分。分類思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是最基礎(chǔ)的思想方法，也是非常重要的思想方法，主要是數(shù)學(xué)學(xué)科特性決定的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等基本上都是有條件限制或分類界定的。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類思想的策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，數(shù)學(xué)思考本身就包括有序、有層次、系統(tǒng)、邏輯性地進(jìn)行思考，而分類思想就是具有這些特性的一種數(shù)學(xué)思想方法。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行分類思想的滲透，是初步培養(yǎng)學(xué)生有序思維的基礎(chǔ)路徑。

（一）循序漸進(jìn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生分類意識

1.在低年級段教學(xué)中“初步喚醒”分類意識

小學(xué)生數(shù)學(xué)分類意識的產(chǎn)生，是與數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系在一起的。隨著年齡的增長，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷深入，分類意識逐漸建立并能夠根據(jù)不同的情境，合理地找到分類標(biāo)準(zhǔn)，解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。

2.在中年級段教學(xué)中“自主發(fā)展”分類意識

從數(shù)學(xué)三大知識領(lǐng)域來看，每一部分知識的學(xué)習(xí)都離不開分類的方法。在中年級段的教學(xué)中，不僅要關(guān)注知識的教學(xué)，更要挖掘知識背后的分類思想，并激發(fā)學(xué)生“整理”（也就是分類）的愿望。通過分類之前的“亂”和分類之后的“整齊”相比較，學(xué)生頓時(shí)感覺“分類”真好，有利于學(xué)生把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中，從而在面對類似情境時(shí)能自然想到“分類”，發(fā)展學(xué)生的分類意識。3.在高年級段教學(xué)中“合理應(yīng)用”分類思想

小學(xué)生經(jīng)過六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，積累了較為豐富的觀察和分類經(jīng)驗(yàn)。面對一些實(shí)際問題時(shí)，能夠合理運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的分類方法，清晰地發(fā)現(xiàn)分類的標(biāo)準(zhǔn)、分類的步驟及分類的結(jié)果，體會到分類思想在解決問題過程中的價(jià)值，從而能自覺運(yùn)用分類思想認(rèn)識新事物、學(xué)習(xí)新知識。

（二）典型題例，深化分類討論的方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中常規(guī)解題方法是由條件得出一種結(jié)果，但也有一小部分是由條件得到N個(gè)不同的結(jié)果，如排列組合、抽屜原理等問題經(jīng)常需要運(yùn)用分類討論思想解決。一般而言，解答典型的數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先是分析問題的條件，找出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，如果條件不充分或者不唯一，在解決的過程中就會出現(xiàn)對應(yīng)結(jié)果的不確定或不唯一，這時(shí)就需要按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類處理；其次，分析不充分或者不唯一條件的具體情況，考慮分類具體標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)主要是通過分類討論便于統(tǒng)一思考解決問題；再次，根據(jù)分類情況，逐一分析推理計(jì)算，獲得對應(yīng)的結(jié)果；最后，對整個(gè)解題過程進(jìn)行梳理歸納，得出結(jié)論。

1.條件不充分，必須分類討論

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往會出現(xiàn)一些與生活情境相關(guān)的問題，情境中呈現(xiàn)的條件不充分或者不唯一，需要學(xué)生根據(jù)可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類討論，列舉各種可能出現(xiàn)的結(jié)果。在這個(gè)過程中，關(guān)鍵是讓學(xué)生弄清分類討論的關(guān)鍵因素是什么，根據(jù)這個(gè)關(guān)鍵因素，如何進(jìn)行分類，使解題標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一化。

2.條件不確定，必須分類討論

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們往往會遇到一些開放性的問題，從題目中的條件入手，通過推理或者計(jì)算，不能得到一個(gè)確定答案，這時(shí)候我們可以將這個(gè)問題化整為零，分類討論，分類以后，每一個(gè)分類后的小問題實(shí)際上就是對不確定條件的補(bǔ)充，把整體不確定化為部分確定，進(jìn)而求解，往往會收到事半功倍的效果。如：46名學(xué)生秋游到公園劃船，大船限乘5人，每人船票20元，小船限乘3人，每人船票15元，怎樣租船最便宜？這個(gè)問題首先要考慮的是能否正好坐滿，有兩類：正好坐滿與坐不滿。由于正好坐滿情況不存在，就沒有繼續(xù)討論下去的必要。其次要考慮坐不滿時(shí)的情況，又可以分為三類：一是全部租大船（10只），二是全部租小船（16只），三是大、小混租（9大1小），最后通過計(jì)算明確大小混租最便宜。這個(gè)過程中，已知條件與問題之間不是統(tǒng)一的，存在不確定因素，需要化整為零，分類討論，把復(fù)雜的問題清晰化、簡單化，訓(xùn)練學(xué)生思維。

（三）分類、集合相互滲透，強(qiáng)化系統(tǒng)分類思想

分類思想與集合思想之間是密不可分的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)知識的分類中滲透著集合，集合中也包含著分類，可以說兩者之間是一體、系統(tǒng)化的。

1.用集合完善分類，讓分類更嚴(yán)謹(jǐn)

教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生討論這樣分類的標(biāo)準(zhǔn)，從分析每種圖形特征的基礎(chǔ)上理解長方形與正方形是包含與被包含的關(guān)系，長方形與平行四邊形也是包含與被包含的關(guān)系，而平行四邊形與梯形是并列關(guān)系，這樣分類標(biāo)準(zhǔn)混亂，無法形成正確的知識結(jié)構(gòu)。重新梳理分類標(biāo)準(zhǔn)，先按有幾組對邊互相平行進(jìn)行分類，再把平行四邊形按有無直角和四條邊是否全等進(jìn)行分類，形成四邊形的分類。這樣恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類，標(biāo)準(zhǔn)是明確的，很清楚一個(gè)元素是否屬于一個(gè)集合，分類后的所有子項(xiàng)之間既不“交叉”也不“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和與被分類的對象的外延相等，通俗地說就是做到了“既不重復(fù)又不遺漏”。

2.用“知識樹”系統(tǒng)梳理，讓分類結(jié)構(gòu)化

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往是把要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行合理分類，從宏觀到微觀不斷地分類學(xué)習(xí)，這樣既可以把握全局，又能夠由表及里、細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。另外，在每一段學(xué)習(xí)之后，教師要把每一部分的學(xué)習(xí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理、溝通聯(lián)系，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在引導(dǎo)學(xué)生整理平面圖形的面積公式推導(dǎo)過程中由分散回顧到溝通聯(lián)系，由微觀分析升華到宏觀掌握，有利于學(xué)生從全局把握面積的內(nèi)涵，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。