高等數學思維融入到初等數學教育的實證分析

戴 敏

（浙大城市學院計算機與計算科學學院 浙江·杭州 310015）

0 引言

數學是一門從義務教育開始直至高等教育甚至持續(xù)終身的基礎學科。大部人都認為初等數學尤其是小學數學與高等數學相差甚遠，事實上它們之間不僅在內容、而且在思維上都存在密切聯系。Tall(1991)是一位從事中小學數學教育的數學家，他提出了數學的三個世界的觀點。這個理論完全符合數學發(fā)展的特點以及人類的認知發(fā)展規(guī)律。他在著作《高等數學思維》中告訴人們，高等數學是抽象的，而對應的相對具體的概念是初等數學階段就逐漸熟悉的，也就是說高等數學思維不僅僅是高中以后才開始的事情，它完全可以浸入到小學一年級的學習。這就要求初等數學的教師尤其是小學一年級的數學教師，盡早從數學的嚴密性、邏輯性等特點，去幫助學生自己建構起數學思想，甚至是高等數學思想。

在我國初等教育階段，基礎課的授課老師是由熱愛這個學科、充分接受過該學科高等教育、同時有基本的兒童心理學的人來擔任。目前承擔我國基礎教育尤其是小學教育的老師，大都來自師范類學校。他們的優(yōu)點在于有充分的兒童心理學知識，對學生有愛心，這在小學低齡階段確實是最重要的。但是由于教學內容的限制以及部分教師的全局數學素養(yǎng)欠缺，不能引導學生建立起全局的知識觀，這也是目前針對義務教育的課外興趣班遍地開花的原因之一。好在，很多民辦小學、公辦小學的興趣課，已經有向強調知識的系統(tǒng)性這個方向發(fā)展的趨勢了。引導學生探究每門學科的本質，支持學生犯錯、不輕易相信書上寫的結論，才是我們應該給予孩子的教育環(huán)境。

1 實證分析

小學生的思維特點是非常具體的，他們思考問題時相信自己看到的事實，而不是老師說的結論。作為教師，要回答孩子們提出的任何“為什么”，比如“1+1為什么等于2”等等。如果教師本人學術造詣不夠，對解釋不了的問題進行無法自圓其說的科普，將會對孩子的興趣造成巨大傷害，會被認為是在用老師的身份強行灌輸。每一個孩子都像一塊美玉需要老師去雕琢，雖然不是每個孩子都有數學的天賦，但是引導每一個孩子體驗到數學的魅力，是教學的一大難點，也是挖掘孩子身上數學天賦的必經之路。筆者嘗試在兩所公辦小學、一所民辦小學擔任了一周一次的數學興趣課老師，將高等數學的思維融入到初等數學的教學中，收獲頗多。整理了以下幾個數學概念的實例。

1.1 無窮與有限

小學低年級階段的學生，對自然數的概念可以嘗試達到兩個認識上的飛躍：從正整數到0到負整數的認識，以及從有限到無窮的認識。

問題一：如果不一一數清楚，怎樣判斷兩個學生的筆袋里的筆誰更多？

學生回答：兩個人依次從自己的筆袋里拿一支筆出來，誰先取完，而對方還能拿出下一支來，則誰的筆少。如果同時取完則兩人筆一樣多。

這顯然是一個很簡單的能夠比較出誰的筆更多的做法。

問題二：偶數和自然數誰更多？

學生提出了兩個似乎都對的結論：

結論一：一個偶數1，能對應一個自然數2；一個偶數2，能對應一個自然數4；一個偶數3，能對應一個自然數6…以此進行下去，和剛才取筆的做法一致，偶數堆里拿一個來，自然數堆里都能夠拿出相應的一個來應對，所以它們是一樣多的。

結論二：自然數除了偶數還有奇數，所以偶數個數加奇數個數才是自然數個數。所以自然數比偶數多。

孩子們有爭論，最后老師和學生能夠達成一致的是，如果某一事物，雙方都是有限個，那就能比較多少；如果一方是有限個，一方是無窮多個的話，那有限的一方一定會先取完，它一定是少的那方；如果雙方都是無窮多個的話，那就沒法比較了。

小學生當然不能理解“比較可數無窮和不可數無窮之間有沒有意義、或者誰多誰少”，但是他們能理解可數無窮的字面意思——可以數！什么是可以數的？就是一個、兩個、三個、四個等等，能夠和自然數一樣1、2、3、4等等可以一個個由小到大數出來的。

1.2 極限

極限是高等數學的思維。大部分學生從高中才開始接觸到極限，比如考慮等比數列的無窮多項求和、求平面曲線在一點處的切線斜率等問題。但是同樣可以引導小學生作類似的思考。

問題一：0.9999…和1如何比較大小？

結論一：因為1-0.9999…=0.0000…1是大于0的數，所以0.9999…當然比1小。

反駁：沒有0.0000…1這個數。因為0.0000…1表示的是在無窮多個0后面加一個1，但是無窮多個0本身沒有最后一個，也就沒有“最后一個后面加一個1”的意義。

結論二：0.9999…=1。因為在0.9999…和1之間不能夾任何數，使得這個數比0.9999…大且比1小。

結論三：0.9999…=1。因為 0.3…=1/3，所以 0.9999…=1/3*3=1

結論二和三都是小學生對這個問題的很好的理解。

問題二：面積單位的定義和圓面積。

首先引導低年級學生定義出面積（大小）的單位，比如1厘米*1厘米的正方形的面積就是1平方厘米。那么長度、寬度分別為a，b厘米（取整數）的矩形的面積可以通過分割得到是ab平方厘米。然后對長寬分別是0.5和4厘米的矩形，可以分割成4個0.5厘米*1厘米的矩形，再拼接成2*1厘米的矩形，所以它的面積是2平方厘米。由此可以得到長寬為a，b厘米的矩形面積是ab平方厘米。

每個同學隨機得到半徑分別為5厘米、10厘米、20厘米的圓各5個（指圓盤，大多數小學生把圓周和圓盤都稱為圓），將圓切割成無窮多個矩形，估算出每個圓的面積。同學們估算得到三種半徑的圓的面積的平均值，然后尋找面積和半徑的關系。無需計算，大多數同學都能猜到面積應該和半徑的平方成比例，比例系數在2與4之間。通過計算，得到的圓面積/半徑平方的比例最接近的是3.18。這就是圓周率的近似計算。

1.3 邏輯悖論

類似于中國的自相矛盾，數學上也有類似悖論。比如，公元前四世紀的悖論：我現在說的是謊言。教師可以引導學生也講出類似的悖論。

學生舉了自己從課外書上看到過的事例：（1）自相矛盾；（2）理發(fā)師自述，村子里所有不是自己理發(fā)的男人的頭發(fā)都由我來理。

在講邏輯悖論這堂課中，幾乎沒有學生能自己想出悖論來，這完全符合他們的年齡特點。所以教師要以引導學生明白悖論的相互矛盾的兩方面為目的。

1.4 定義決定結論

任何事物都有兩面性。根據定義的不同，結論也不同。比如，在高等數學中，“距離”一詞不僅適用于直線、平面或者空間幾何體，也適用于集合中的元素。

問題一：如何來比較班里兩個同學的頭發(fā)誰長？學生討論后出現了很多結論。

結論一：找到兩人最長的頭發(fā)，誰的那根頭發(fā)最長，他（她）的頭發(fā)就最長；

結論二：找到兩人最短的頭發(fā)，誰的那根頭發(fā)最長，他（她）的頭發(fā)就最長；

結論三：比較兩人的大多數頭發(fā)，誰的大多數頭發(fā)比另一個人長，他（她）的頭發(fā)就最長。

……

這些結論按照不同的定義下的結論都是對的。數學也沒有標準的答案，只要有道理，都是合理的思路。當然這不是告訴孩子們“任何事情都可以顛倒黑白”，而是遇到問題可以用自己的邏輯方式嚴密思考。

問題二：既然在空間中，兩點之間直線段最短，那么在球面上呢？比如從中國上海到美國洛杉磯，飛機的航線怎么畫才能使飛行路程最短呢？

結論：學生通過觀察標準球形的地球儀，在圖像中畫出了最短的距離，即我們理解的球面上的兩點，走大圓最短。

1.5 推導

同樣的數學問題，在不同年齡階段的學生看來，甚至同一個年齡階段不同的學生看來，可能想法是完全不同的。教師需要尊重每個學生的想法，不能隨意下結論判斷“結論的對錯”和“方法的簡單、復雜”，把一些很有價值的奇思妙想扼殺在萌芽中。在小學數學課上，老師是把“三角形的內角和是180度”當作事實來使用的，教課書上采用的方法也是很直觀的，通過三角形內一點，將三角形分成三個部分，然后重新組合成一條直線來得到三角形的三個內角構成了一個平角，所以是180度。但是有沒有學生曾經問過為什么呢？

問題：為什么三角形的內角和是180度？同理，為什么任意的凸邊n形的內角和是180(n 2)度呢？

學生們的討論之后得出的一些觀點：

結論一：一個直角是90度，那矩形內角和是360度。所以把矩形分成兩個三角形，所以三角形內角和是180度。

反駁：不對。只能說明直角三角形內角和是180度。

結論二：把矩形拉成平時四邊形，再分成兩個三角形。這樣的到的就是普通的斜三角形。

反駁：不對。按問題描述，必須說明任意三角形的內角和都是180度才行。

一個學生的證明方法：

步驟一：畫出任意的三角形，凸四邊形，凸五邊形，凸六邊形等等，測量出每一個圖形的所有的外角和，都約為360度。

步驟二：由于任意的凸n邊形的所有外角及內角和是180n度，所以內角和是180(n 2)度。

依然存在的問題：為什么測量得到有限個凸n邊形的外角和是360度，就能說明任意的凸n邊形的外角和就一定是360度呢？這種做法，和“測量有限個三角形得到三角形的內角和是180度”沒有本質差別。

步驟三：能否用歸納法證明任意的凸n邊形的外角和一定是360度？

反駁：證明過程中需要用到三角形的某一個外角等于它的不相鄰的兩內角和這個定理。而這個結論的證明似乎要用到三角形的內角和是180度。在做一些證明時，往往會在過程中已經不經意地用到了需要證明的結論，這是很常見的邏輯錯誤。

這節(jié)課沒有得到最后的結論，而且使同學陷入了原來“有些數學問題看似簡單，但是卻得不到合理的結論。”的苦惱，一直問“那該怎么辦呢？”。

一般來說，數學上的公理是不需要證明的，比如“1+1=2”，因為這就是2的定義；再比如歐幾里得的有關平面幾何的五條公理（包括公理5：若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內角之和小于兩個直角和180度，則這兩條直線在這一邊必定相交），也是默認成立無需證明的。其他任何定理、命題、推論都可以通過公理以及已經證明成立的定理來證明。事實上，三角形內角和問題，在平面幾何的發(fā)展過程中，我們由公理5推導出“若平行的兩條直線與第三條直線相交，則內角之和等于兩個直角”，再推導出“兩直線平行，則內錯角相等”，再推導出“三角形的內角和是180度。”

1.6 數學文化

我們早就意識到數學是一門非常重要的基礎學科，有些家長怕自己孩子的數學從小落后于別人，甚至從幼兒園起就會選擇許多數學繪本給孩子開拓眼界，用游戲的方式培養(yǎng)孩子對數學的興趣。父母都希望孩子能夠首先對學習產生興趣，接下來能夠發(fā)自內心地熬過寒窗讀書的辛苦，實現自己的理想。筆者認為，與其告訴孩子學習是快樂的，不如用講故事的方式展示給他們看，歷史上的基礎學科工作者，為了得到我們今天看到的一點點進步付出了多長時間的不求回報的努力。

比如，數學家歐拉。他在59歲左右雙目失明了。但是在此之后的17年，他依舊靠著強大的記憶力和心算能力，做出了很多重大貢獻。他能夠記住那個時代里所有重要的研究成果，能夠復述年輕時候的工作筆記，甚至能夠直接心算高等數學。此外，為了能讓丈夫安心工作，他的妻子也為歐拉的成就做出了極大的貢獻，撫育了家里的13個孩子及孫輩。

比如，天文學家第谷布拉赫。他是最后一位也是最偉大的一位用肉眼觀測的天文學家。1576年到1599年，第谷在丹麥與瑞典間的汶島的天文臺（丹麥國王為他建造的世界上最早的大型天文臺）工作20多年，取得了一系列重要成果，創(chuàng)制了大量的先進天文儀器。在1577年通過對兩顆明亮的彗星的觀察，他得出了彗星比月亮遠許多倍的結論，這一重要結論對于幫助人們正確認識天文現象，產生了很大影響。

比如，俄國女數學家柯瓦列夫斯卡婭。她從小喜愛、擅長數學，有父親的支持可以堅持學習，可是當時的俄國不允許女性接受高等教育。通過婚姻，她跟隨丈夫來到德國，但是依然不被允許進入大學課堂。于是，她憑借出色的數學基礎和熱愛數學的堅韌精神，得到了數學家魏爾斯特拉斯課堂外的單獨輔導。最后雖然柯瓦列夫斯卡婭本人沒有在大學里上過一節(jié)課，但是卻因為她的優(yōu)秀論文得到了博士學位，也隨后成了斯德哥爾摩大學的一位數學老師。

2 結論

笛卡爾的《方法論》告訴每個一個學習數學乃至其他學科的人：

（1）凡是我沒有明確地認識到的真理，我絕不把它當成真的接受；

（2）要研究的復雜問題，盡量分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決；

（3）小問題從簡單到復雜排列，先從容易解決的問題著手；

（4）問題解決后，再綜合起來檢驗，看是否完全，是否將問題徹底解決了。

這幾條基本的想法，看似平淡無奇，其實凝聚了前人千百年來的智慧，值得今天每一個科學工作者當做座右銘來恪守。

數學成績很多時候成為當作用來判斷一個學生聰明或者笨的標準，這是不合理的，因為很多孩子的數學思維從一開始就被禁錮住了，他們的發(fā)散性思維被簡單地用“錯”而否定了，這是我們義務教育的弊端。

數學發(fā)現并不是在基本公理上簡單的邏輯推理演繹，而是在證明和反駁的過程中不斷修正和完善的體系。今天學生們的看似幼稚的想法、做法，正是千百年來數學工作者們思想的必經之路。即使如數學這樣建立在公理體系上的邏輯學，也不是完全確定的，仍然有極大的未知等待探索。不輕易否定孩子的思路，尊重他們的奇思妙想，引導他們開拓思維，是數學工作者的初心。