用Hirota雙線性方法構造一種(3+1)維高維孤子方程的多孤子解

彭亞麗,套格圖桑

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特010022)

1.引言

求解非線性發展方程的精確解,是孤子理論的重要研究內容之一.最近,對于非線性發展方程提出多種求解方法.比如：Hirota雙線性方法,是直接引進雙線性導數的概念,將非線性發展方程轉化成雙線性形式的發展方程.在此基礎上,利用多種函數變換與計算機代數系統相結合的方法,可獲得多種新解.這種方法,在高維非線性發展方程的求解與相關問題的研究中被廣泛應用.文[1]利用Hirota雙線性方法和試探函數相結合的方法,研究了一個(3+1)維非線性演化方程的求解與約化問題,獲得了新結論.文[2-4]利用Hirota雙線性方法構造了(3+1)維NLEE方程和(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程等非線性發展方程的Lump 解等多種新解.文[5-6]利用Hirota雙線性方法,研究了(3+1)維高維孤子方程的求解與解的性質問題.

文[5]利用Hirota雙線性方法,研究了高維孤子方程(1.1)的Lump解與線孤子解的相互作用等問題.文[6]利用B?cklund變換,獲得了高維孤子方程(1.1)的雙線性形式的B?cklund變換,由此獲得特殊的孤子解.

本文基于文[5-9],首先,通過一種函數變換與對數變換,將(3+1)維高維孤子方程化成雙線性方程.然后,用級數擾動法,給出了多孤子解.最后,用有理多項式試探函數法,獲得了怪波解,并分析解的性質.

2.(3+1)維高維孤子方程的多孤子解與怪波解

下列求解方程(1.1)的多孤子解：

在方程(1.1)中令

其中ξ=αx+βy+γt,而且α,β,γ是任意非零常數.

將(2.1)式代入方程(1.1)后得到如下方程：

方程(2.2)經對ξ積分可得到：

在方程(2.3)中設

其……