光子對撞機產生正負電子對的數值方法

李昂 余金清 陳玉清 顏學慶

1) (海軍工程大學核科學技術學院, 武漢 430033)

2) (北京大學物理學院, 核物理與核技術國家重點實驗室, 北京 100871)

光子對撞產生正負電子對的Breit-Wheeler過程, 是由能量直接產生物質的過程, 在物質的起源與光子物理理論的研究中有著極為重要的作用.隨著激光與物質作用產生g光源品質的提升, 使得在實驗室首次觀測雙光子對撞的Breit-Wheeler過程成為可能.針對光子對撞機的數值模擬方法, 本文提出了一種基于嚴格的雙光子對撞動力學過程的計算電子產額與動力學參數的數值方法.在對Breit-Wheeler過程的模擬中, 根據光子的運動規律將光子劃分為定量的區塊, 檢測區塊的對撞, 然后在區塊內部以動力學原理檢測光子是否發生對撞, 該方法可以有效提升計算模擬的效率.同時, 該方法與已經發表的理論結果進行了比較, 發現該計算結果與理論結果高度一致.應用這一數值方法, 能夠為Breit-Wheeler過程給出較為精確的模擬結果, 也可以為未來gg對撞機的實驗設計提供參照.

1 引 言

根據愛因斯坦質能方程和量子電動力學理論[1?3], 在一定條件下光子(能量)可以轉化成物質如電子對、夸克對等[4], 這對研究物質的起因有著舉足輕重的作用, 與之相關的理論研究始于20世紀30年代, 然而直到1997年, 美國SLAC實驗室才首次在試驗中觀測到多光子碰撞產生正負電子對的過程[5].而對于兩個高能光子的互作用過程,也就是常說的光子對撞機[6], 到目前為止實驗中還未觀測到.在光子對撞機中, 光子的互作用過程發生的次數與光子數目和光子-光子截面成正比, 與光子束的脈沖寬度、兩束光子束的交叉面積成反比[7].在實驗中, 不能觀測到光子的互作用過程是由于已有g射線源的流強和亮度還達不到實驗要求.相對于傳統加速器產生的g射線源, 激光與物質相互作用產生的光子射線源脈沖流強高、亮度高等特點[8], 這使得單脈沖產生更多的正負電子對成為可能.

光子亮度的表達式B=np/(t·θ·π·r2· 0.1%BW),式中np是光子數目, 光子束脈寬t的單位是秒, 光子束發散角θ的單位是毫弧度, 光子束的半徑r的單位是毫米, 0.1%BW是中心波長0.1%譜寬范圍內的光子數目.從上式可以看出光子亮度主要由以下參數決定: 光子數目、脈沖寬度、光子束源尺寸(焦斑大小)和發散角.對于飛秒激光產生的超強輻射源, 其脈沖寬度與激光脈寬同量級, 焦斑大小近似于激光焦斑, 幾微米到十幾微米.由于產生的光子數目與激光強度正相關[9], 可以通過提升激光強度來獲得更多的光子數目, 然而受限于當前和未來一段時間的激光技術, 激光強度不可能無限制提升.因此, 增大g射線的光子亮度切實可行的方案是減小光子束的發散角[10].在已經報道的結果中光子束發散角 (半角)均大于 20°[11?15], 存在巨大的提升空間.近年來, 國內、外的相關團隊已經開展了關于激光與物質相互作用產生高準直光源的一系列理論研究.這其中包括中科院上海光機所提出的采用微型等離子體波導的系列方案[16,17], 相關方案可以在波導中輻射高亮度、高準直度的x射線光源; 國防科技大學和南華大學、西北師范大學的相關研究團隊在超強激光產生高品質gamma源和正電子源方面做了大量的基礎性研究[11,18?26]; 中科院物理所和上海交通大學相關研究團隊, 也在超準直射線源方面做了大量工作[27?30]; 美國德克薩斯大學奧斯汀分校的研究團隊提出了復合靶方案[12],該方案可以有效提升能量為MeV光子的產額和準直度, 優化后的g光子束發散角是30°左右; 北京大學[10,31?34]以及深圳大學[35]的相關理論團隊研究了超強PW激光與通道等離子體相互作用以改善g光源的準直性, 其PIC粒子模擬結果證明了通道等離子體可以有效改善g光源的準直性.

光子對撞機可以分為兩個作用區域, 一個是兩個光子純粹的散射過程, 其典型代表就是上海光機所即將開展的真空雙折射實驗[36]; 另外一個區域則是兩個光子對撞產生帶電粒子的過程, 其典型代表就是Breit-Wheeler過程[5].目前唯一的實驗觀測是在1997年由斯坦福直線型加速中心(SLAC)實現的, 將數目為109的46.6 GeV高能電子束注入到強激光束中, 經康普頓散射產生的高能光子再與激光光子發生多光子的Breit-Wheeler過程[5].20000次重復實驗約能產生100個電子對, 但這一實驗觀測到的還不是雙光子Breit-Wheeler過程.法國波爾多大學的研究團隊[37]基于激光與鋁箔的相互作用產生的MeV光子束設計了一種實驗方案, 兩束光子在一定距離下進行對撞, 并利用PIC模擬計算出1012的光子在一定距離外對撞可得到103的電子.另外該團隊提出了一種特別的數值方法TrI LEns, 基于樹代碼對光子分組與檢索對撞[38], 對光子對撞過程實現了數值模擬; 帝國理工學院的研究團隊提出一種實驗方案, 以2 GeV的電子束打擊金靶, 韌致輻射產生g光, g光與熱黑體輻射空腔作用產生電子對.根據蒙特卡羅模擬, 計算出400 eV的空腔內可產生超過105的電子對[39].北京大學的研究團隊提出了利用兩束10 PW激光分別聚焦到窄管靶中產生高度準直的g光脈沖的實驗方案, 利用宏粒子模擬, 可能得到108的電子對產額[7].上述三個團隊提出的計算方案沒有考慮光子束的局域分布不均勻的情況, 而光子束的局域分布也非常有可能影響對撞后的結果.本文提出了一種全新的方法, 可以考慮光子束的實際分布, 同時簡化對不會發生對撞的光子的處理,在提升計算精度的同時還顯著提高了計算效率.

為了模擬g光束對撞產生正負電子的過程, 沿用北京大學的實驗設計方案, 該方案有較高的可行性, 在未來技術進步之后可以為光子對撞機的真正實現提供參考.本文的基本思想是: 將光子在空間中的分布劃分成不同的區塊, 然后以遍歷法檢測區塊之間可能發生的對撞, 這只需很少的計算即可完成; 對于判斷能夠發生對撞的區塊, 使用遍歷法搜索每一對光子之間的對撞, 最終給出對撞的電子對產額以及電子的動量、動能參數.這一算法的優點在于優先檢測區塊對撞可節省大量不必要的計算,而嚴格按照動力學原理的雙光子對撞檢測能夠給出最接近真實情形的結果.本文使用單能光子束對撞得到的電子動量分布驗證算法的正確性, 并基于106量級光子束對撞, 計算電子產額與動量分布.

2 Breit-Wheeler過程的動力學原理

這一過程的反應式為

設雙光子能量為Eg1,Eg2, 動量夾角為qp, 電子質量為me, 電子經典半徑為re, 光速為c.

能量閾值條件為[37]

其經典截面為[37]

假定兩個光子能夠滿足能量閾值條件(2)式與截面條件(3)式, 將其視為一個質心系, 為簡化推導, 設兩個光子的動量均位于x-y二維平面上,并令光速c= 1, 電子質量me= 1[40].根據實驗室系下的各光子動力學參數, 由洛倫茲變換得到雙光子質心系的對應參數, 在質心系中, 光子對撞產生的正負電子能量分別為質心能量的1/2, 電子動量分布則是各向同性的.得到質心系下電子動力學參數后, 再以洛倫茲變換得到實驗室系下的相應參數.設質心系下電子動量為, 在x,y方向的分量為, 電子總能量為; 實驗室系下電子動量相應地設為pex,pey, 電子總能量為Ee.

質心系下的正/負電子能量均為

由愛因斯坦相對論能量方程, 質心系下的電子動量大小為

正電子與負電子動量大小相等, 方向相反.

做出從質心系到實驗室系的洛倫茲變換, 可求得實驗室系下的電子動量值及能量值.記

對x軸,y軸方向的動量分量分別作洛倫茲變換, 合成后得到電子實驗室系下的動量為

電子的實驗室系能量為

正電子的動量、能量值的推導與負電子同理,因此可以通過上述物理推導獲得詳細的電子動力學參數.

3 單能光子對撞測試

本文使用的數值分析思想是, 以空間坐標為基準將光子分為一定數量的區塊, 給出區塊的運動參數, 首先以遍歷法判斷區塊的空間對撞以降低計算量, 對可能發生對撞的區塊遍歷其內部光子檢測對撞, 輸出所得電子的參數.這一數值方法的優勢在于, 區塊間對撞的檢測, 可大大降低遍歷法的計算量, 而完全建立在物理學原理之上的光子閾值、截面條件可滿足性的檢測, 能夠最大程度地提高計算結果的準確性.

為了檢測基于光子對撞動力學過程的計算結果是否合理, 重復文獻[40]中的一項工作, 將光子束取為單一能量2 MeV, 并且只具有橫向的動量,這樣的兩束光子束分別在180°, 60°條件下進行對撞.由于所有光子能量動量均完全相同, 只需要進行部分光子對撞即可反映電子動量的分布特征.由于這部分只考慮動力學過程, 無需考慮實際的產額, 在程序中增大光子截面以使單能光子對撞數增多, 取 104量級的光子進行對撞, 180°與 60°下分別得到約103, 102量級的電子對, 輸出負、正電子的動量分布圖1與圖2.

圖1 單能光子 180°對撞時 (a)電子動量分布; (b)正電子動量分布Fig.1.(a) Electron momentum distribution; (b) positron momentum distribution of 180° collision of single-energy photons.

圖2 單能光子 60°對撞時 (a)電子動量分布; (b)正電子動量分布Fig.2.(a) Electron momentum distribution; (b) positron momentum distribution from 60° collision of single-energy photons.

在180°對撞時, 質心系相對實驗室系沒有相對速度, 質心系與實驗室系中均應顯示產生的電子動量方向隨機, 電子能量恒為2 MeV, 因此實驗室系的電子動量分布圖應顯示為以原點為球心的球面分布, 具有良好的各向同性.電子動量的大小均相同, 約為 4 mec.在 60°對撞下, 質心系相對實驗室系有相對速度, 在質心系中電子動量方向應顯示各向同性, 電子能量恒為1 MeV; 而在洛倫茲變換后的實驗室系內電子動量將發生在βcm方向上的偏移, 電子能量大小受電子動量方向影響, 電子能量不為定值.因此實驗室系應顯示出電子動量以質心速度方向為軸呈橢球形分布.據(1)式計算得出電子動量大小分布于區間[–0.03,6.74]mec.圖1, 圖2 中pp的單位為 mec, 圖中顯示的計算結果與前述分析一致.

以上兩種對撞情形, 正電子的動量分布與負電子的幾乎完全相同, 因為它們遵守相同的動力學原理, 計算所得的圖像符合理論預期.同時通過對比法國波爾多大學的研究團隊所做的工作[40], 該團隊使用他們的算法, 同樣對單能光子對撞下的電子動量分布進行了計算, 得到的 180°、60°對撞的電子動量分布與該團隊相同算例下的結果是一致的,因此驗證了該程序中雙光子動力學模擬的準確性,證明了本文算法的高效率和可靠性.

4 實際光子束對撞過程模擬

這一部分, 我們研究兩束實際光子之間的對撞.為方便起見, 我們以超強激光與通道靶相互作用產生的超準直g光束[10]為例, 對光子的對撞過程進行模擬.具體模擬對象為兩束106量級的宏光子, 發散角為 3°, 對撞角為 170°, 光子束前端與對撞區域距離為70 μm, 第二束光子由第一束根據對撞角、對撞距離對稱、平移變換得到.以上參數與參考文獻[7]中的設置一致, 以便進行模擬結果的對照分析.

圖3給出了超強激光與通道靶相互作用產生得到的光子束的角-譜分布, 關于該光子束的更詳細信息可以參考文獻[10].我們對粒子模擬中獲得的宏光子[7]進行對撞計算, 計算中需要使用每個宏光子準確的位置、動量以及能量信息, 將以上信息導入本文使用的對撞模擬程序進行模擬, 就可以得到對撞后正負電子對的信息.

圖3 粒子模擬程序得到的光子束角-譜分布[7,10]Fig.3.Angle-spectral distribution of photon beams from particle simulator[7,10].

具體的模擬過程與參數設置如下: 第一, 讀取光子參數, 劃分區塊.根據設定的對撞角與對撞距離, 對稱變換出第二束光子, 將光子束以空間坐標相近為依據劃分為多個區塊; 這里劃分區塊有兩種不同方式, 兩種方式的區塊內光子數目也不同, 可以互相對照結果以證明方法的準確性; 方法一(后文統稱區塊分法一)的設置是: 每個區塊光子數量均為5000個.根據光子束的實際空間分布, 先根據y坐標大小劃分出幾個較大的區塊, 每個大區塊的光子數均相同; 之后對每個大區塊根據x坐標大小進行x方向上的劃分, 保證各小區塊的光子數為5000個.最后一個大區塊和最后一個小區塊的光子數目與其他區塊有所區別, 源于光子總數可能不是5000的整數倍.由于光子分布的不均勻性,各個區塊大小有所不同, 計算時根據區塊內所有光子的坐標來判斷區塊大小、邊界坐標、中心坐標,以保證計算的準確性.方法二(后文統稱區塊分法二)的思想是: 根據光子束的初始分布區域劃分出相同面積的一系列近似矩形的區塊, 這種情形下區塊內部光子數由光子的具體分布決定, 后續處理同區塊分法一.第二, 檢索區塊之間的對撞.這一步的主要目的是剔除大量不會對撞的光子, 減少不必要的計算量.在前一步的區塊劃分方式下每個區塊可近似為矩形, 區塊具有速度v, 取其為內部所有光子的平均速度; 進一步對兩束光子的各個區塊遍歷檢測整個運動過程中是否能發生空間上的相交,方法是, 設定各個區塊的中心坐標為區塊內全部光子的坐標平均值, 在將區塊近似視為矩形的前提下, 某兩個區塊中心坐標的距離極小值若低于兩矩形對角線長度之和的一半, 則認為兩區塊在空間上會相交, 即可判定發生對撞.事實上由于光子分布的不均勻性, 還可以將區塊相交的判斷閾值進一步縮小以提升計算速度.第三, 檢索光子的對撞.根據每個光子的初始坐標、動能、動量各項參數, 遍歷檢測對撞區塊的所有光子, 若兩個光子可同時滿足能量閾值條件與截面條件, 則判定發生Breit-Wheeler過程, 產生一對正負電子; 進而根據動力學原理計算正負電子的能量與動量.

計算得出, 兩種區塊分法產額相同, 均為8 ×102, 產額比例為1/104.為驗證程序中所使用的動力學計算的正確性, 需要分析電子動量方向的分布規律并與文獻[7]中的結果進行比較.由于電子產額量級較小, 達不到類似于大量抽樣的隨機試驗中獲取統計規律的效果, 因此有必要獲取更大的產額來分析比較.將所有對撞截面增大109倍, 計算得到的產額增大至1 × 104, 產額增大的量級遠小于截面增大的量級的原因是: 經數據分析, 截面條件要求的光子距離過小, 而170°對撞下絕大多數雙光子的距離最小值處于遠高于截面條件要求的距離范圍, 因此在較小的截面范圍內, 滿足截面條件的光子對數量與截面的變化不構成線性關系.在1 × 104電子產額下, 負電子的動量極角分布 (與正電子的動量極角分布幾乎完全相同)如圖4所示, 根據動力學原理分析, 對撞的情形以光子能量分類主要有三類: 1)高能光子與低能光子的對撞:質心動量近似等于高能光子的動量, 而高能光子的動量極角根據其所屬的光子束, 分別近似等于0°或 170°.在這種情況下, 電子動量在洛倫茲變換時, 受高能光子的影響較大, 動量極角將同樣接近0°或 170°.且由于能量閾值條件易于滿足, 低能光子的數量較多, 導致高能光子與低能光子對撞的事件相對較多, 對應了圖4中存在大量極角接近0°或170°的電子.2)高能光子與高能光子的對撞:由于高能光子本身數量較少, 因此高能光子與高能光子對撞的概率較低, 事件較少.3)低能光子與低能光子的對撞: 這一情形在對撞角接近180°時滿足能量閾值條件的概率較大, 因此低能光子與低能光子的對撞主要在這一情形下發生, 質心動量趨近0, 因此對撞出的電子動量基本呈各向同性, 對應圖4中極角遠離0°或170°的電子數量分布較平均.以上情形導致了電子動量方向顯示出圖4中的分布規律.將這一極角分布結果對比文獻[7]中的模擬結果, 可驗證二者的極角分布保持一致, 證明了算法的正確性.同時, 兩種區塊分法的產額相同,電子動量分布趨勢也相同, 說明了只要檢索區塊對撞時保證正確檢索到可對撞的區塊, 那么分區塊的方式是不會影響到最終結果的.這與算法的預設一致.

圖4 106 光子 170°對撞電子動量極角分布 (a) 區塊分法一; (b) 區塊分法二Fig.4.Polar angular distribution of electron momentum from 170° collision of 106 photons: (a) the first block division; (b) the second block division.

改變光子束的對撞角, 其余條件不變, 計算電子的產額, 得出的兩種區塊分法下電子產額變化趨勢如圖5所示, 不同分法下的產額也相同.隨對撞角變小, 電子產額迅速降低.變小的原因其一, 據(2)式對撞角變小導致雙光子質心系能量降低, 滿足能量閾值條件的光子對數目減少, 使得電子產額降低; 其二, 對撞角變小后, 光子對滿足截面條件的概率降低.因此接近180°的正對撞是提升電子產額的較佳選擇.由于本文沒有嚴格考慮光子的權重, 因此沒有和文獻[7]嚴格比較絕對產額, 但對于不同對撞角, 正負電子對的相對產額的變化趨勢是一致的.通過上述與相關文獻的直接比較, 證明了該模擬方法的有效性.

圖5 電子產額隨光子束對撞角的變化趨勢Fig.5.The trend of electronic yield with the collision angle of photon beam.

在光子對撞機中, 正負電子對的產額與對撞區橫截面的大小成正比, 而在對撞中兩束光子束也無法做到完全對撞, 因此有必要研究對撞區域的偏移帶來的影響.在這一部分中, 將兩束光的對撞角固定為170°, 改變另外一束光的縱向偏移值.上述光子束的束腰寬度約為10 μm, 令其中一束光子在y方向上進行5 μm范圍內的偏移, 步長取為1 μm,其余條件均不改變, 計算對撞產額.結果如圖6所示.

圖6 電子產額隨光子束偏移量的變化趨勢Fig.6.The trend of electronic yield with the offset of photon beam.

根據計算結果可以得知, 在兩束光子趨于完全對稱之時, 有最大的電子產額; 由于Breit-Wheeler過程的截面非常小, 隨著光子束初始位置的變化,先前能對撞的光子不再滿足截面條件, 且會有新的滿足截面條件的光子出現對撞; 隨著光子束的平移, 兩束光子在空間上的有效對撞橫截面積減小,更多的光子無法與另一束光子作用, 因此電子產額下降; 一定程度上可認為有效對撞橫截面積和實際參與對撞的光子數量N0成正比, 而從概率的角度分析, 電子產額N近似有N～N02的關系, 則產額N隨有效對撞橫截面積S的變化趨勢可以近似地用N～S2的關系來描述.由于光子本身各類參數分布復雜以及Breit-Wheeler過程的截面非常小帶來的敏感性的緣故, 計算結果與N～S2的關系略有偏差, 但基本上可以認為符合物理規律.因此,我們的計算結果也進一步說明了光子的空間位置分布對對撞會帶來一定的影響, 在之前其他研究者的工作中, 均不能考慮光子的實際空間分布.

根據前文的詳細分析, 這一工作能夠總結出以下幾點光子對撞結果的物理意義: Breit-Wheeler過程存在較高的能量閾值和極低的截面, 且截面對光子參數敏感性較高, 因此該過程的發生概率低,絕大多數距離較遠的光子之間都不會發生這一過程; 該過程的事件數受對撞角、光子能量、光子的空間分布等參數的影響較大.由于光子束本身的能量分布特征, 據前文已有的基于雙光子動力學的分析, 兩束能量分布相同的準直光子束進行正對撞時, 高能光子 (幾個 MeV)與低能光子 (< 1 MeV)之間滿足能量閾值條件的事件相對多, 進而能夠發生較多的對撞, 基于動力學原理, 這類對撞產生的電子動量主要受高能光子的動量影響, 電子束準直性較好.此外, 高能光子與高能光子、低能光子與低能光子對撞的事件數較少, 這兩類對撞產生的電子動量方向較隨機, 其分布趨近于各向同性.當光子束從近似完全對稱到發生空間上的相互偏移導致光子束對稱性變差時, Breit-Wheeler過程的電子產額會受其影響而下降.根據前文分析, 光子束的偏移會導致光子束有效對撞橫截面積S的下降,一定程度上, 電子產額N與S的關系可以用N～S2近似描述, 由于光子的具體空間分布而不能嚴格用N～S2來描述.

另外從理論計算與實驗設計上進行一定的深入討論: 其一, 若模擬三維空間下的運算, 可以仍然沿用先前從x、y方向劃分近似矩形的區塊的兩種分區塊方式, 進行類似的整個流程的計算; 如果光子束在z方向高度值較大, 可以在z方向上也對區塊進行劃分, 使計算更精確.其二, 從實際實驗的角度考慮, 觀測Breit-Wheeler過程產生的電子時, 需要排除其它來源的電子的影響, 以文獻[7]中的實驗設計為例, 高能激光轟擊微通道結構靶獲得g束流, g束流中含有多種干擾Breit-Wheeler過程觀測的噪聲正電子, 通過文獻[7]中的精確計算, 發現噪聲水平比Breit-Wheeler信號水平低3個數量級以上, 不會對Breit-Wheeler過程的探測造成干擾.在已有這一可行實驗設置的基礎上, 本文立足于提出一種更簡單且可靠的數值方法, 可以為即將到來的光子對撞機提供有力的理論參考.

5 結 論

本文通過理論推導與數值模擬的方法對光子對撞Breit-Wheeler過程生成正負電子對這一物理過程進行了分析.這一過程涉及大量光子的對撞,需要對計算加以簡化, 盡可能避免計算原本不會發生對撞的光子對.本文利用分區塊宏光子思想, 進行基于動力學原理的遍歷法數值模擬, 在顯著提升計算效率的同時還提高了計算準確度.分區塊方法能夠有效考慮光子束的實際空間分布, 也有利于盡可能多地檢索、剔除大量不會對撞的光子以提升計算效率; 基于動力學原理對可能對撞的光子區塊做遍歷檢測計算, 能夠給出最可信的電子產額等結果.通過與國內外相關團隊所研究的單能光子束對撞、實際光子束對撞的計算做對比, 得到了高度一致的結果, 證明了這一數值方法的有效性.它可以為即將到來的光子對撞機提供有力的理論參考.