一類具有Holling Ⅲ功能反應的時滯食餌-捕食系統(tǒng)正周期解的存在性

羅超良，侯愛玉，羅嘉程，劉清華，曾 彪

（1.湖南工業(yè)大學 理學院，湖南 株洲 412007；2.西安工程大學 城市規(guī)劃與市政工程學院，陜西 西安 710048）

0 引言

食餌-捕食者模型是生物數學中的一項重要研究內容，對食餌與捕食者相互作用的研究具有很高的理論價值與現(xiàn)實意義。近年來，很多學者對該模型進行了研究，并取得了較多的研究成果[1-7]。如文獻[1]研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應的非自治的食餌-捕食系統(tǒng)

周期解的存在性。

式中：x(t)為t時刻食餌總數；

y(t)為t時刻捕食者總數；

a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、g(t)、h(t)、m(t)都是周期為T的非負連續(xù)函數。

在多因素綜合影響下，不可避免地會出現(xiàn)時滯現(xiàn)象，這將會對生態(tài)系統(tǒng)的性質產生很大影響；同時，食餌數量增長速度與過去某時間的食餌數量及增長速度有關，捕食者數量增長速度也與過去某時間的食餌數量有關。基于此，本文考慮如下一類具有Holling Ⅲ功能反應非自治的時滯食餌-捕食系統(tǒng)：

式中：ρ、m、σ1、σ2都為常數，且ρ>0、m>0；

a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、h(t)、τ(t)是周期為ω的連續(xù)函數。

下面討論系統(tǒng)（2）正周期解的存在性。

1 主要結論

在主要結論之前，先給出下面3個引理。

引理1（Arzele-Ascoli定理）[2]集合列緊的充分必要條件是下列2個條件成立：

1）集合A是一致有界的，即存在正常數M，使得對于，恒有

2）集合A是等度連續(xù)的，即對，始終存在δ=δ(ε)>0，使得對于任意的t1,t2∈[a,b]，當時，就有，。

引理 2[2]如果f(t)、g(t)為區(qū)間[α,β]上的非負連續(xù)函數，則，使得

引理3（延拓定理）[2]設X、Y是兩個Banach空間，L是指標為零的Fredholm算子，是X中的有界開集，N∶X→Y在上是L緊的，若下列條件滿足：

i）對于任意的λ∈ (0,1)，方程Lx=λNx的解滿足；

iii）deg{JQN,ΩKerL,0} ≠ 0，其 中JQN∶KerL→ KerL；

則方程Lx=λNx在內至少存在一個解。

為研究方便，引入以下記號：

其中f(t)是連續(xù)的ω周期函數。

在給出主要結論之前，先作如下假設：

H2ρeB<1，其 中，

定理1假設H1～H4都成立，則系統(tǒng)（2）至少存在一個正周期解。

2 主要結論的證明

首先，考慮如下系統(tǒng)

于是，接下來只需證明系統(tǒng)（3）存在周期解。

令

設L∶X→Z，N∶X→Z，且

則系統(tǒng)（3）可以改寫成Lu=Nu，u∈X，ImL=

顯然，KerL=R2是Z的閉子空間，且dim KerL=codim ImL=2。因此，L是指標為0的Fredholm算子。

設P∶X→X，Q∶Z→Z，且

P和Q是兩個連續(xù)的映射，則

ImP=KerL，KerQ=ImL=Im(I-Q)。

此外，L的廣義逆算子滿足

則QN∶X→Z，KP(I-Q)N∶X→X分別為：

顯然，QN和KP(I-Q)N都是連續(xù)的。

令Lu=λNu，λ∈(0,1)，于是有

所以

由式（5）可知

由式（8）及u1(t)的周期性，可得

結合式（9）和（10），可得

所以

于是，由式（4）（5）和（13）可得

又由假設H2得

若，則(i=1,2)，使得

??

由式（5）（15）及基本不等式a2+b2≥2ab，有

于是

令ξ-τ(ξ)=δ+kω，δ∈[0,ω]，k為整數，則

結合式（15）（17）和（18）可得

因此

所以

又由假設H2得

所以

又因為系統(tǒng)

令β=β2+β5+β6+β7+β0，其中β0足夠大使得系統(tǒng)（20）存在唯一解，且

顯然，β不依賴于λ，則

即引理3中的條件i）滿足。

即引理3中條件ii）滿足。

所以引理3中條件iii）滿足。于是系統(tǒng)（3）至少存在一個正周期解，因此系統(tǒng)（2）至少有一個正周期解。證畢。

3 結語

本文研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應的時滯食餌-捕食系統(tǒng)正周期解的存在性。考慮到多種因素的綜合影響，不可避免地會出現(xiàn)時滯現(xiàn)象，這對生態(tài)系統(tǒng)將產生很大影響。于是，在原始模型基礎上加入了時滯因素，并利用Mawhin重合度理論中的延拓定理，得到了新系統(tǒng)正周期解的存在性條件。