軸力-彎矩相互作用恢復力模型開發與評估

補國斌，譚良斌，賓 佳

（1.湖南工業大學 土木工程學院，湖南 株洲 412007；2.湖南中天建設集團股份有限公司，湖南 株洲 412003）

1 研究背景

隨著基于性能抗震設計理論的不斷發展和完善，結構彈性與彈塑性時程分析方法在土木工程行業的實際工程和科研領域中得到了廣泛應用[1]。建筑結構彈性和彈塑性動力時程分析中，結構或構件的彈塑性分析模型可以基于樓層、構件、截面和材料4個不同的層次。從樓層到材料層次，隨著建模程度的逐級精細化，計算效率相應降低。其中，基于構件或截面層次的分析模型一般采用恢復力模型或稱滯回模型表征力與位移的滯回關系，主要包括折線形恢復力模型和曲線型恢復力模型[2-5]。但是，這些模型大多為平面恢復力模型，考慮多軸加載條件下變軸力-雙向彎矩相互作用的模型相對較少[6]。

考慮變軸力對彎矩的影響以及雙向彎矩的相互耦合作用，一直是基于截面層次恢復力模型的難題之一[7]。基于材料層次的單元模型，如纖維模型（fiber model）和多彈簧模型（MS model），雖然均能自動考慮變軸力與雙向彎矩的耦合作用[8]，但是它們對于龐大的高層和復雜結構而言，其計算效率較基于構件或截面層次的恢復力模型有較大程度的降低。并且因為鋼筋混凝土結構力學機理和變形性能的復雜性，有時候基于構件試驗擬合的構件或截面模型反而能夠更好地反映一些特殊復雜的結構受力行為[9]。中國《建筑抗震設計規范》2016版（GB50011—2016）明確指出：對復雜建筑結構進行多遇地震作用分析時，應該采用不少于兩個合適的力學模型進行分析和比較[10]。因此，開發具有足夠的精度、基于截面層次的變軸力-雙向彎矩相互作用模型，不僅能夠提高計算的效率，而且對建筑結構的彈塑性分析具有現實意義。

本文擬針對以上制約結構彈塑性分析技術發展的關鍵問題，開發軸力-彎矩相互作用恢復力模型（簡稱N-M模型），并介紹其開發的基本思路和原理。最后，以一具有實測震害記錄（加速度、速度和位移）的框架結構模型為對象，并與基于纖維模型（Fiber模型）的計算結果進行對比，綜合評估N-M模型在模擬結構非線性動力響應、開展振型分析和預測結構整體極值響應中的有效性。

2 軸力-彎矩相互作用模型開發原理

采用C++語言，基于金屬塑性理論（metal plastic theory），開發了軸力-彎矩相互作用模型，簡稱N-M模型。通過軸力-彎矩相互作用屈服線（N-M曲線）表征軸力和單向彎矩之間的相互作用，如圖1所示。圖1中N和M分別為構件的軸力和彎矩，C和T分別表示受壓和受拉狀態，下標c和y分別表示開裂和屈服狀態。B和B′代表大小偏心情況的界限受力狀態，Mm和Mm′表示開裂線與屈服線交點對應的彎矩。開裂線假定為直線，可通過彎矩為0

的點和開裂彎矩對應點兩點確定。屈服線可以假定為直線、多折線或拋物線形式，圖中右半部分和左半部分分別代表正負彎矩情況。可通過各種截面分析工具或規范公式確定特征點，再作出曲線[11]。

圖1 軸力-彎矩相互作用曲線Fig.1 Axial force-bending moment interaction curves

采用雙軸彎矩屈服線（M-M曲線）表征雙向彎矩的耦合關系，如圖2所示。圖2中，x和y表示加載的方向；p代表屈服或極限狀態；r表示轉角；ρ和ρ′分別表示前加載向量和后加載向量；Δρ表示位移增量向量。

圖2 雙軸彎矩相互作用曲線Fig.2 Bi-axial bending moment interaction curves

目前，N-M模型的源代碼已被添加進結構靜動力非線性分析程序CANNY[12]，程序基于試驗對比結果給定了默認的模型參數，以便于科研或者工程應用。關于該模型更詳細的原理可以參考CANNY程序說明手冊。

3 結構模型、地震動輸入和評估方法

3.1 結構模型

本研究采用美國 CSMIP（California Strong Motion Instrumentation Program）強震記錄數據庫[13]提供的有實測震害記錄的建筑，對N-M模型進行評估。該建筑建于1966年，為鋼筋混凝土框架結構，其平面和立面示意及1994年Northridge地震中加速度測點布置如圖3所示，圖中除截面尺寸單位為英寸外，其余單位均為mm。其中，Ch.1～Ch.16表示樓層不同位置處測點，各測點的加速度、速度和位移時程見文獻[14]。該建筑先后經歷了1971年San Fernaddo地震、1987年Whittier地震和1994年Northridge地震。在前兩次地震中，該建筑發生了輕微的損傷，并且進行了一定程度的加固修復。在1994年Northridge地震中，發生了較為嚴重的破壞，各柱出現了不同程度的剪切破壞（見圖4）。

圖3 結構平立面及加速度測點布置Fig.3 Layout of structural plan,elevation and acceleration measuring points

圖4 柱剪切破壞Fig.4 Shear failure of columns

該結構模型的詳細信息，如材料、荷載、設計條件和配筋等信息，見文獻[14]。

3.2 地震動輸入

地震動輸入如圖5所示。其中TX、TY、TZ和RZ分別為x，y，z平動方向和繞z軸轉動方向。采用加速度時程輸入方式，對應的加速度測點編號見圖5。

圖5 地震動輸入Fig.5 Seismic input

3.3 評估方法

基于前文論述的N-M模型和地震動記錄，采用CANNY程序建立3.1節中所示的結構模型，并且進行動力非線性時程分析，同時也進行低周反復荷載作用分析。將時程分析結果與震害記錄進行對比，以評估N-M模型模擬結構動力響應的有效性。對于振型分析和整體極值響應數據，因為震害記錄中未提供或者記錄不全面，故采用基于N-M模型的結果和當前廣泛應用并且精度較高的纖維模型計算結果進行對比分析。

4 軸力-彎矩相互作用模型的評估

4.1 時程分析結果與震害記錄對比

圖6和圖7分別為N-M模型工況與實測記錄下頂層x方向和y方向的加速度、速度和位移時程的記錄結果。

圖6 頂層x方向時程對比曲線Fig.6 Time history comparison curves of roof in x direction

由圖6可以得知，頂層x方向的加速度、速度和位移時程數值結果與實測記錄數據具有良好的吻合度，且加速度時程曲線的吻合度最高。x方向的頂層位移時程與實測記錄有些許差距，可能的原因是該建筑結構先后經歷了1971年的San Fernaddo地震和1987年的Whittier地震，有輕微的累積損傷，而分析中并沒有考慮這兩次地震的影響。且結構在前兩次地震損傷后進行了一定程度的加固，本次模擬中因無法準確估量故也未考慮加固的影響。

圖7 頂層y方向時程對比曲線Fig.7 Time history comparison curves of the roof in y direction

由圖7可以得知，頂層y方向的加速度、速度和位移時程數值結果與實測記錄數據同樣具有良好的吻合度，且加速度時程曲線的吻合度最高。對比圖6和圖7中的相應曲線可以得知，y方向的時程曲線吻合度相對于x方向的更優。因地震工程的復雜性，從土木工程應用的角度，可以確定圖6和圖7已經達到高度吻合的水平。

4.2 振型分析結果

因CSMIP沒有提供結構的周期和頻率等振型數據，故采用目前廣泛應用且精度較高的纖維模型（Fiber模型）對3.1節所述結構建立數值模型。所得N-M模型和Fiber模型工況的振型分析數據如表1所示。表中，T表示結構的周期，相對誤差以纖維模型為判定基準。

表1 振型分析結果對比Table1 Comparison of modal analysis results

由表1可知，N-M模型工況和Fiber模型工況下結構的振型方向完全一致，振型結果非常接近，最大相對誤差不超過10%。因而，N-M模型在振型分析中具有較高的精度。

4.3 結構整體響應極值

因部分樓層未布置加速度測點或測點破壞，無法對各樓層響應極值進行全面對比，故采用Fiber模型工況與N-M模型工況進行對比。圖8所示為兩種模型工況下最大層間剪力的結果比較。

圖8 兩模型的最大層間剪力比較Fig.8 Comparison of maximum inter-story shear forces between the two models

由圖8可以得知，兩模型工況下各層x向和y向的最大層間剪力均較為接近，最大相對誤差分別為8.0%（x方向，第7層）和5.5%（y方向，第7層），均未超過10%，表明N-M模型具有較高精度。

圖9所示為兩種模型工況下最大層間位移角的結果比較。

由圖9可以得知，兩模型工況下各層層間位移角均在1/50（框架結構彈塑性位移角限值）以內。且各層x方向和y方向最大層間位移角均較為接近，最大相對誤差分別為7.2%（x方向，第3層）和8.9%（y方向，第4層），均未超過10%，也表明N-M模型具有較高精度。

4.4 低周反復荷載作用下力與位移的關系

分別采用N-M模型和Fiber模型，以控制頂點位移為加載準則，對模型進行低周反復荷載作用分析。加載控制的位移分別為0.1,-0.1,0.2,-0.2,0.3,-0.3,0.4,-0.4,0 m，每步位移增量為0.002 m。圖10所示為低周反復荷載作用下兩模型4～5層層間剪力和層間位移關系對比（即僅取中部樓層作為代表樓層進行比較）。

圖10 兩模型的力與位移關系比較Fig.10 Comparison of force-displacement relationbetween the two models

由圖10可以得知，兩模型的層間剪力和層間位移關系總體吻合良好。兩者骨架曲線和加卸載剛度基本一致，但是N-M模型的峰值點數值略小于Fiber模型的對應值。Fiber模型模擬的捏縮滑移效應比N-M模型的模擬效果略微明顯。

5 結論

本文研發了軸力-彎矩相互作用恢復力模型（N-M模型），介紹了其基本原理，并采用有實際震害記錄的框架模型進行模型的可靠性評估，可得出如下結論：

1）研發的N-M模型采用C++語言編程，基于金屬塑性原理，可通過軸力-彎矩相互作用曲線表達軸力和單向彎矩的相互作用，采用雙軸彎矩屈服線表達雙向彎矩的耦合影響。

2）N-M模型在預測和模擬結構動力非線性時程反應（加速度、速度和位移等）、振型分析和動力響應極值和低周反復荷載作用下的響應方面，均具有較高的可靠度，與實測震害記錄或成熟的纖維模型計算結果相比，相對誤差均在10%以內。

3）N-M模型相對于纖維模型，具有力學機理更明確、編程實現更簡單、計算更可靠、計算效率更高等優點，可在結構非線性分析中進一步完善和加以推廣應用。