彎曲型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型分析及TMD減振設(shè)計(jì)

王菁菁 ，張 超，李浩博

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

目前，我國(guó)高層建筑結(jié)構(gòu)的發(fā)展極其迅速，不僅數(shù)量多，而且層數(shù)多、高度大、形體越來越復(fù)雜。高層建筑結(jié)構(gòu)的有限元模型通常很大，對(duì)這種模型進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)需要較高的計(jì)算機(jī)配置和大量的運(yùn)行時(shí)間。因而，模型簡(jiǎn)化對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析非常重要。

國(guó)內(nèi)外比較常用的簡(jiǎn)化模型為剪切型層串模型，它適用于強(qiáng)梁弱柱型框架結(jié)構(gòu)[1]。而對(duì)于高層建筑結(jié)構(gòu)，其整體彎曲變形的特點(diǎn)不容忽視，采用剪切型模型不能很好地反映其實(shí)際結(jié)構(gòu)的變形特點(diǎn)[2]。不合理的簡(jiǎn)化模型必然會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差，也會(huì)影響基于結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)進(jìn)行的減振裝置設(shè)計(jì)。因此，有學(xué)者提出了采用彎剪型層間模型、剪切型-剪彎型組合模型等對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型簡(jiǎn)化和動(dòng)力響應(yīng)分析[3-4]。

本文擬基于高層建筑結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形的特點(diǎn)，采用彎曲型模型，對(duì)某32層辦公樓進(jìn)行模型簡(jiǎn)化和動(dòng)力響應(yīng)分析。首先，將辦公樓主體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一個(gè)32自由度的集中質(zhì)量模型；然后，對(duì)彎曲型模型和剪切型模型的固有頻率和振型進(jìn)行了對(duì)比分析；最后，分別以彎曲型模型和剪切型模型為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damper，TMD）減振設(shè)計(jì)，再將所得TMD附加于彎曲型主體結(jié)構(gòu)，并對(duì)比結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。結(jié)果顯示，所得動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果合理準(zhǔn)確，應(yīng)采用彎曲型模型對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型簡(jiǎn)化。

1 主體結(jié)構(gòu)

本研究中采用的主體結(jié)構(gòu)為一32層的辦公樓，其平面圖和立面圖見圖1。

圖1 主體結(jié)構(gòu)的平面圖和立面圖Fig.1 Structural plan and elevation map of the primary structure

該辦公樓的總高度為129 m，其鋼框架-核心筒結(jié)構(gòu)的樓面尺寸為48 m×48 m，除首層的高度為5 m外，其他各層的高度均為4 m。該建筑的前六階固有頻率依次為0.24,0.73,1.33,1.94,2.58,3.21 Hz。采用結(jié)構(gòu)分析和工程設(shè)計(jì)軟件ETABS建立主體結(jié)構(gòu)的高精度有限元分析模型。

通過實(shí)際工程監(jiān)測(cè)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于100～300 m的高層鋼結(jié)構(gòu)建筑，其基本模態(tài)阻尼比為0.4%～1.0%。隨著荷載的不斷增加，結(jié)構(gòu)阻尼呈非線性增加，并且會(huì)迅速達(dá)到一個(gè)峰值，許多結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)峰值約為0.5%。此外，高階模態(tài)阻尼比約為前一階模態(tài)阻尼比的1.3倍，但由于高階模態(tài)參與系數(shù)非常小，低階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)更為重要[5-8]。考慮到以上因素，本研究中主體結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)阻尼比均取1%。

2 模型簡(jiǎn)化

在本研究中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析的重點(diǎn)不是結(jié)構(gòu)構(gòu)件的應(yīng)變和應(yīng)力，而是層間位移。因此，可以采用簡(jiǎn)化的主體結(jié)構(gòu)模型，即采用集中層質(zhì)量模型來簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，控制裝置可以通過彈簧和阻尼單元與主體結(jié)構(gòu)相連。本研究所采用的主體結(jié)構(gòu)模型，是基于原ETABS模型進(jìn)行簡(jiǎn)化后得到的，其荷載和響應(yīng)可以通過ETABS模型準(zhǔn)確導(dǎo)出，最終將主體模型簡(jiǎn)化為僅在一個(gè)水平方向上運(yùn)動(dòng)的32自由度的集中層質(zhì)量模型。

在簡(jiǎn)化的32自由度模型中，可以快速得到其質(zhì)量矩陣，每層質(zhì)量即為每層柱的總軸力減去相鄰上層柱的總軸力再除以重力加速度，但是模型的總剛度矩陣形成較為復(fù)雜。根據(jù)觀察到的細(xì)長(zhǎng)柔性結(jié)構(gòu)的彎曲特性，層間位移和層間剪力不僅與相鄰層有關(guān)，而且與建筑物的其他層有關(guān)。剪切型結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為三對(duì)角矩陣，而彎曲型結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為非奇異滿秩矩陣。

為了得到彎曲型剛度矩陣，可以采用等效剛度參數(shù)識(shí)別法[9]。首先，鎖定不相關(guān)的自由度，即另一水平方向上所有的自由度。然后，對(duì)結(jié)構(gòu)施加數(shù)組靜力荷載，并記錄在水平方向上所考慮的樓層位移。接下來，通過求解荷載-響應(yīng)方程，得到簡(jiǎn)化的剛度矩陣。由于剛度矩陣是對(duì)稱的，則n階對(duì)稱滿秩矩陣的總未知數(shù)為n(1+n)/2，其中n是結(jié)構(gòu)的自由度。在每組荷載工況下，記錄n個(gè)樓層的層間位移。因此求解荷載-響應(yīng)方程所需要的最小荷載工況數(shù)為(1+n)/2。為了保證最小二乘法結(jié)果的精度，最終的荷載工況數(shù)為(1.5～2)(1+n)/2。對(duì)于本研究的主體結(jié)構(gòu)來說，使用了32組荷載-響應(yīng)。值得提出的是，等效剛度參數(shù)識(shí)別法不僅可以被用于得到一個(gè)滿秩的剛度矩陣，同時(shí)可以被用于得到任意形式的剛度矩陣，是求解剛度矩陣的一般方法。剪切型剛度矩陣為三對(duì)角對(duì)稱矩陣，亦可以遵循上述過程形成。

簡(jiǎn)化模型與ETABS模型的固有頻率幾乎一致。此外，兩種模型的響應(yīng)在各種動(dòng)力荷載下均能很好地吻合，這表明用32自由度的集中層質(zhì)量模型可以精準(zhǔn)地表示原始高精度模型。圖2比較了兩種模型在地面加速度峰值為1.56 m/s2、持續(xù)時(shí)間為79.98 s的Kern地震（1952年）作用下的頂層位移變化情況。由圖2可以得知，兩種模型響應(yīng)之間的均方根誤差僅為6.48×10-6m。

圖2 32層主體結(jié)構(gòu)原始模型和簡(jiǎn)化模型的頂層位移響應(yīng)對(duì)比Fig.2 Top displacement response comparison between the original and condensed models of the 32-story primary structure

3 彎曲型與剪切型結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性對(duì)比

為了說明在高層結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中使用正確模型的重要性，本節(jié)將對(duì)剪切型模型和彎曲型模型的動(dòng)力特性和響應(yīng)特性進(jìn)行對(duì)比分析。

表1比較了剪切型模型和彎曲型模型的前六階固有頻率，以及兩種模型間的固有頻率百分差值，該差值以彎曲型模型的固有頻率為參照。

表1 彎曲型模型和剪切型模型的固有頻率及差值Table1 Natural frequencies and differences of curved model and shear-typed model

分析表1中的數(shù)據(jù)可以得知，剪切模型和彎曲模型兩模型的一階固有頻率基本相同。但是與一階頻率的相比，高階頻率的差異較大。隨著模態(tài)數(shù)的增加，兩種模型的固有頻率均依次增大，但是兩者間的差值逐漸減小。

圖3所示為剪切型模型和彎曲型模型前六階模態(tài)下的相應(yīng)振型比較。

圖3 主體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型的振型Fig.3 Mode shapes of the simplified model of the primary structure

由圖3可以得知，各模態(tài)下彎曲型模型和剪切型模型的振型非常相似。

由表1和圖3可以得知，相比于自由度較小的結(jié)構(gòu)，自由度較大的結(jié)構(gòu)，即高層建筑中，高階模態(tài)更容易參與結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

對(duì)兩個(gè)模型均設(shè)置每層1 m/s的初始速度，以研究其結(jié)構(gòu)響應(yīng)的差異。該初速度將產(chǎn)生1/129的平均層間位移比，約為我國(guó)抗震規(guī)范中8級(jí)中震下的層間位移比限值。圖4比較了剪切型模型和彎曲型模型在該初始速度作用下的最大樓層位移和最大層間位移。

圖4 彎曲型模型和剪切型模型的最大樓層位移和層間位移Fig.4 Maximum displacement and story drift of curved model and shear-typed model

由圖4可以得知，彎曲型模型中間層（7層到24層）的變形小于剪切型模型的，并且在彎曲型模型中，層間位移從7層到24層逐漸增大，而在剪切型模型中，層間位移分布較為均勻。通過以上對(duì)比分析可以得知，即使在非常簡(jiǎn)單的荷載作用下，彎曲型模型和剪切型模型兩種模型的動(dòng)力特性也有明顯的區(qū)別。值得強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，彎曲型模型與高精度模型的響應(yīng)情況非常接近。

4 彎曲型與剪切型TMD性能對(duì)比

不準(zhǔn)確的模型必然會(huì)影響基于結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)進(jìn)行的控制裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)。本節(jié)將以彎曲型模型和剪切型模型為主體結(jié)構(gòu)，分別附加TMD減振為例進(jìn)行說明。設(shè)TMD質(zhì)量為主體結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的1%，TMD的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)取相關(guān)文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)公式計(jì)算值的平均值，具體見表2。

表2 彎曲型模型和剪切型模型的TMD參數(shù)Table2 Parameters of TMD for curved model and shear-typed model

分析表2中的數(shù)據(jù)可以得知，所得兩個(gè)TMD的阻尼系數(shù)均約為1.2×105N·s/m，而彎曲型TMD和剪切型TMD的剛度系數(shù)分別約為1.5×106N/m和1.7×106N/m。此處剛度系數(shù)間的差異是由兩種模型基本固有頻率不同造成的。

將彎曲型TMD和剪切型TMD分別附加于彎曲型主體結(jié)構(gòu)中。圖5和圖6比較了在1 m/s的初始速度下，第一個(gè)振動(dòng)周期和第四個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)樓層位移的均方根和層間位移。

由圖5和圖6可以得知，由于在脈沖荷載作用下初始時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大，且TMD此時(shí)尚未發(fā)生有效振動(dòng)。因此，在第一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，彎曲型TMD系統(tǒng)、剪切型TMD系統(tǒng)以及無控的彎曲型系統(tǒng)的響應(yīng)差異并不明顯。然而在第四個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，TMD已經(jīng)發(fā)生了作用，此時(shí)彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)的最大樓層位移和層間位移響應(yīng)均比無控的彎曲型系統(tǒng)的響應(yīng)小，彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)頂層位移值分別約為0.09和0.21，表明彎曲型TMD系統(tǒng)的頂層位移小于剪切型TMD系統(tǒng)頂層位移的50%，且在第10層處彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)的層間位移值分別約為0.000 5和0.006，表明在第10層處彎曲型TMD系統(tǒng)的層間位移小于剪切型TMD系統(tǒng)層間位移的10%。以上結(jié)果表明，彎曲型TMD系統(tǒng)明顯優(yōu)于剪切型TMD系統(tǒng)。

圖5 第一振動(dòng)周期內(nèi)彎曲型TMD和剪切型TMD系統(tǒng)的樓層位移均方根與層間位移Fig.5 RMS displacement and story drift of curved TMD and shear-typed TMD systems during the first oscillation

圖6 第四振動(dòng)周期內(nèi)彎曲型TMD和剪切型TMD系統(tǒng)的樓層位移均方根與層間位移Fig.6 RMS displacement and story drifts of curved TMD and shear-typed TMD systems during the fourth oscillation

5 結(jié)論

本文基于高層建筑結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形的特點(diǎn)，用彎曲型模型對(duì)某32層高層建筑結(jié)構(gòu)辦公樓進(jìn)行了模型簡(jiǎn)化和動(dòng)力響應(yīng)分析，同時(shí)，對(duì)彎曲型模型和剪切型模型的差異進(jìn)行了對(duì)比分析。

1）彎曲型模型與剪切型模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性對(duì)比結(jié)果表明，兩類模型的動(dòng)力響應(yīng)存在較大的不同，前六階固有頻率下，兩模型的振型非常相似。在自由度較大的結(jié)構(gòu)，即高層建筑中，高階模態(tài)更容易參與結(jié)構(gòu)振動(dòng)。當(dāng)彎曲型模型與剪切型模型均設(shè)置每層1 m/s的初始速度時(shí)，彎曲型模型中間層的變形小于剪切型模型的，且在彎曲型模型中，層間位移從7層到24層逐漸增大，而在剪切型模型中，層間位移分布較為均勻。可見，即使在非常簡(jiǎn)單的荷載作用下，兩種模型的動(dòng)力特性也有明顯的區(qū)別，但是彎曲型模型與高精度模型的響應(yīng)情況非常接近。

2）彎曲型TMD與剪切型TMD性能對(duì)比結(jié)果表明，在第一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，彎曲型TMD系統(tǒng)、剪切型TMD系統(tǒng)，以及無控的彎曲型系統(tǒng)的響應(yīng)差異性并不明顯；然而在第四個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，因?yàn)門MD的作用，彎曲型TMD系統(tǒng)的頂層位移小于剪切型TMD系統(tǒng)的頂層位移的50%，并且在第10層處，彎曲型TMD系統(tǒng)的層間位移小于剪切型TMD系統(tǒng)的層間位移的10%，這表明彎曲型TMD系統(tǒng)明顯優(yōu)于剪切型TMD系統(tǒng)。

由以上結(jié)論可以得知，采用剪切型模型對(duì)彎曲特性顯著的高層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析，會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確等問題的發(fā)生，而基于剪切型模型進(jìn)行振動(dòng)控制設(shè)計(jì)，其有效性將大大降低。因此，不建議或者應(yīng)謹(jǐn)慎使用剪切型模型對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振裝置設(shè)計(jì)，而應(yīng)采用彎曲型模型對(duì)彎曲性顯著的高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型簡(jiǎn)化，這樣才能使所得動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果合理準(zhǔn)確。