福建杉木樹冠外輪廓和樹冠體積相容性模型

吳丹子， 王成德， 李 倞， 劉 敏

（1. 北京林業大學 園林學院， 北京100083； 2. 北京林業大學 信息學院， 北京100083； 3. 北京林業大學城鄉生態環境北京實驗室， 北京100083）

樹冠外輪廓模型是指以樹木樹冠任意位置處半徑為因變量， 以冠幅、 冠長、 樹高或胸徑等因子為自變量的函數， 用來模擬樹冠形狀變化規律的數學表達式［1］。 樹冠外輪廓模型不僅能夠估計樹冠任意位置處的樹冠半徑和推導計算整個樹冠體積， 而且可以驅動林分樹木樹冠三維可視化模擬。 此外， 樹冠形態與樹冠體積對于間接估算樹木樹冠部分生物量具有重要意義［2］。 為了描述樹冠外輪廓形態變化規律和推導計算樹冠體積， 國內外學者常利用以下方法預測樹冠相關變量， 包括簡單幾何形狀模擬、 經驗模型方法、 樹冠輪廓模型積分法、 激光掃描方法等。 早期學者們利用規則幾何體描述樹冠外輪廓二維形狀， 常采用如下公式定義樹冠形狀：RCR=（1-RDH）k， 其中：RCR表示相對樹冠半徑，RCH為從樹冠基部到任意位置處樹冠長度與最大樹冠長度的比，k的取值決定了其幾何形狀， 當k為0、 0.5、 1.0、 1.5 時分別表示圓柱形、 拋物線形、 圓錐形或凹面形等， 該模型被廣泛應用于道格拉斯杉Pseudotsuga douglasii［3］、 西部鐵杉Tsuga heterophylla［4］、 火炬松Pinus taeda［5］、 華北落葉松Larix principis-rupprechtii［6］等樹冠形狀模擬和體積計算研究中。 PRETZSCH 等［7］、 SADONO［8］將樹冠分為 “陽冠” “陰冠” 兩部分， 分別采用拋物線體和圓錐體表示。 由于樹冠形狀并不是簡單規則形式， 不同樹種樹冠形狀并不相同， 樹冠體積大小與冠幅、 冠長、 胸徑、 樹高等林木因子之間存在相關關系， 研究者針對不同樹種利用經驗模型方法構建冪函數、 指數函數等多種形式樹冠體積模型， 如楠木Phoebe zhennan［9］、 樟子松Pinus sylvestrisvar.mongolica［10］、杉木Cunninghamia lanceolata［11］、 長白落葉松Larix olgensis［12］、 歐洲赤松Pinus sylvestris和云杉Picea asperata［13］、 黑荊樹Acacia mearnsii［14］， 也有研究者通過構建枝條長度、 角度、 半徑等枝條屬性經驗方程間接預測樹冠半徑和模擬樹冠形態變化規律， 如李鳳日［15］、 LI 等［16］、 GILMORE 等［17］、 姜立春等［18］， 但是存在樹冠枝條測量困難且誤差較大問題。 三維激光掃描等技術的發展， 不僅提供了快速數據獲取方式，而且能夠更加準確獲取樹冠數據［19-21］， 但由于數據獲取成本高、 處理困難、 數據量大等限制了它的使用。 除了以上方法， 為了更加準確預測樹冠體積， 一些學者利用多項式［22］、 冪函 數［23］、 修正Beta曲線［24］、 連續分段函數［25］等曲線形式描述樹冠外輪廓形態， 并將樹冠曲線圍繞樹干軸旋轉得到的旋轉體， 通過對旋轉體積分推導計算樹冠體積［26-28］。 該方法只需要簡單林木因子就能夠準確模擬樹冠形態與樹冠體積。 目前， 樹冠外輪廓模型積分法計算體積研究， 一般將樹冠外輪廓與樹冠體積模型單獨進行研究， 分別擬合不同模型方程得到2 套模型參數； 由于外輪廓與體積方程之間存在內在相關性， 采用傳統最小二乘方法分別求解模型參數， 不能保證2 個模型誤差同時最小， 無法滿足模型參數估計的漸進無偏性、 有效性和一致性。 通過對樹冠輪廓模型積分推導得到樹冠體積方程， 將2 個方程聯立構建一致性方程組， 能夠有效解決以上模型參數估計存在的問題。 目前一致性方程組的研究主要集中在樹干削度與材積一致性方程組研究方面［29-30］， 關于利用樹冠外輪廓與樹冠體積一致性模型方面研究還未見報道。 本研究以福建地區杉木人工林為研究對象， 采用似乎不相關回歸方法， 構建以最大樹冠半徑與相對冠長為自變量的樹冠外輪廓和樹冠體積一致性方程組模型， 研究構建的模型能夠用于驅動樹木樹冠三維可視化模擬， 直觀地反映不同生長條件下樹冠生長活力及林木個體間樹冠重疊程度， 指導林分撫育間伐活動， 同時為通過樹冠體積間接推算樹冠生物量提供新思路。

1 研究區域與數據收集

福建省位于中國東南沿海地區（23°33′～28°20′N， 115°50′～120°40′E）， 地勢東南低西北高， 地形多丘陵少平原， 不同區域氣候相差較大， 其中東南沿海屬南亞熱帶氣候， 東北與西北區域屬中亞熱帶氣候， 年平均氣溫為15.0～22.0 ℃， 年平均降水量為1 400～2 000 mm， 土壤類型主要包括紅土壤、 黃土壤、 山地草甸土壤， 主要用材樹種有杉木、 馬尾松Pinus massoniana、 巨尾桉Eucalyptus grandis×E.urophylla等。 杉木為杉科Taxodiaceae 喬木， 幼樹樹冠尖塔形， 大樹樹冠圓錐形， 為中國長江流域、 秦嶺以南地區栽培最廣、 生長快、 經濟價值高的用材樹種。

研究數據來自于福建省順昌縣大歷和嵐下林場布設的杉木人工純林臨時樣地， 選擇不同齡組、 林分密度和立地條件類型設置標準樣地， 共設置98 塊30 m × 20 m 的樣地， 每個標準地內選擇3～5 株樹木，共413 株杉木。 測量每株樹木胸徑（D）、 樹高（H）、 冠幅（CW）、 最大冠長（LCL）、 枝下高（HCB）， 樹冠長度（CHi）以及相應樹冠半徑（CRi）， 其中：i（i=0.10、 0.25、 0.50、 0.75、 0.90）表示從樹冠基部到樹梢頂端的相對位置。 樹冠因子測量如圖1 所示， 該裝置由透明繪圖板、 三腳架以及照準裝置組成， 具體使用方法如下： ①根據相似三角形原理， 在距離所測樹冠一定距離位置處（通常距離1 倍樹高）， 將該繪圖板固定在三腳架之上保持板面垂直于地面， 然后通過透明板觀察樹冠， 往后移動三腳架， 保持透明板與地面垂直， 直到通過透明板能夠觀察到整個樹冠。 ②用筆將樹冠外輪廓繪制在透明板之上， 首先繪制樹冠枝下高位置處的點A、 樹冠頂端的點B以及最大樹冠位置處的點C與點D， 然后從A點開始到B、C點，將樹冠輪廓繪制出來。 并將透明板上的樹冠輪廓草圖復制到有計算網格方格的透明硫酸紙上。 ③利用測高儀器和皮尺分別測量該樹冠的冠長L（LCL=A′B′）和冠幅（CW=E′F′）， 計算樹冠冠長測量值A′B′與繪圖紙上AB之間比值以及樹冠冠幅測量值E′F′與CD之間比值， 根據這2 個比值在繪圖紙上分別計算樹冠冠長0.10、 0.25、 0.50、 0.75、 0.90 位置處對應的樹冠長度和半徑值。 為了盡可能減少樹冠測量誤差， 應從多個方向觀察樹冠， 取測量均值。 通過以上調查方法收集到杉木樹冠調查數據情況如表1 所示。

圖1 杉木樹冠測量因子示意圖Figure 1 Schematic diagram of crown measurement factors of C. lanceolata

表1 樹冠調查數據的基本概況Table 1 Summary statistics of measurements of tree variables

2 研究方法

2.1 樹冠外輪廓模型與體積模型

本研究收集整理了國內外文獻研究中常用于描述樹冠外輪廓形狀的模型方程， 具體形式如模型1、模型2、 模型3 以及模型4 所示。 其中： 模型1 被廣泛用于模擬多個樹種樹冠形態［3］， 該模型是否可用于杉木樹冠模擬需要進一步驗證， 其他3 個模型常用于模擬杉木樹冠［23］。 本研究將這4 個可積分模型方程作為聯立方程組中樹冠外輪廓模型的備選模型。 模型因變量為任意位置處樹冠半徑（CR）， 模型自變量為相對樹冠冠長（RCH）、 最大樹冠半徑（LCR）。

采用積分法計算樹冠體積， 從樹冠基部到樹木頂端積分樹冠外輪廓模型， 得到體積方程， 其中：VC為樹冠體積，LCL最大樹冠長度，CH為從樹冠基部到樹冠任意位置處樹冠長度， 推導得出樹冠體積模型方程。

式（5）～（8）中：RCH為相對冠長（RCH=CH/LCL， 樹冠基部為0， 樹冠頂部為1）；a0、a1、a2為模型系數。

2.2 似乎不相關非線性模型

假設定義如下非線性模型聯立方程組， 存在一組隨機變量Y1， …，Yn與自變量x1， …，xn之間滿足非線性關系， 如下：

其中：n個模型的同一次觀測模型誤差εi的各分量間是相關的， 即cov（εi）是非對角矩陣［17］。 這里多個方程之間存在聯系， 各方程的擾動項之間存在相關性， 同時估計多個方程能夠提高模型估計效率。

將樹冠外輪廓模型和樹冠體積模型兩兩聯立為方程組， 即2.1 中式（1）與式（5）、 式（2）與式（6）、 式（3）與式（7）、 式（4）與式（8）共4 個方程組。 每組的2 個方程擁有同一套參數， 對2 個模型共同進行擬合， 即解決非線性聯立方程組模型的參數估計問題。

為了保證參數估計的一致性和漸進無偏性， 利用SAS 統計軟件proc model 程序提供的似乎不相關回歸法（SUR）， 選擇SUR 法同時擬合樹冠外輪廓與體積相容性模型。 此外， 在林業模型擬合過程中， 模型誤差項之間可能存在異方差的問題， 本研究采用模型回歸函數自身作為權函數消除異方差［13］。

2.3 模型評價和檢驗指標

模型擬合和檢驗結果通過以下指標評價： 決定系數（R2）、 均方根誤差（RMSE）和平均絕對誤差（MAE）、平均偏差（MD）。 最優模型選擇根據R2最大，RMSE、MAE、MD絕對值最小的原則進行。 具體公式如下：

其中：yi為第i因變量實際值， y＾i為第i因變量預測值，yi為因變量實際值平均，n為樣本數。

3 結果與分析

3.1 平均斷面積求積法

樹冠體積數據可采用分層切割法處理得到。 本研究在對杉木樹冠進行調查時， 采用平均斷面積求積法， 將樹冠從樹梢到樹冠基部按照相對冠長分6 部分（0～0.10， 0.10～0.25， 0.25～0.50， 0.50～0.75， 0.75～0.90， 0.90～1.00）。 將樹冠最上部分看作圓錐體近似計算體積， 其他各部分采用平均斷面積法。 計算公式如下：

其中：Vc表示整個樹冠體積（m3）；Vi為第i部分樹冠體積（m3）；gi為第i區分段中央斷面積（m2）；li為第i分段長度（m）；g′為梢頭底端斷面積（m2）；l′為梢頭樹冠長度（m）；n為分段個數。

3.2 樹冠外輪廓-體積一致性方程系統的總體評價

利用SAS 軟件的proc model 模塊中似乎不相關回歸過程SUR 方法對樹冠外輪廓模型和樹冠體積預測模型的一致性方程組同時進行擬合， 表2 給出了不同模型擬合的統計量， 即決定系數（R2）、 均方根誤差（RMSE）。

表2 樹冠外輪廓-體積模型擬合結果Table 2 Fitting results of crown profile and crown volume models

由表2 擬合結果可知： 樹冠外輪廓模型擬合指標R2的對比結果為模型4＞模型3＞模型2＞模型1，輪廓模型擬合指標RMSE的對比結果為模型4＜模型3＜模型2＜模型1， 樹冠體積模型擬合指標R2的對比結果為模型4=模型3＞模型2＞模型1， 體積模型擬合指標RMSE結果為模型4＜模型3＜模型2＜模型1。 根據R2最大且RMSE相對較小的最優模型選擇標準， 不管從樹冠外輪廓還是體積模型結果來看， 模型4 顯示了較好的擬合結果， 最終利用模型4 來描述福建地區杉木樹冠外輪廓和樹冠體積。

3.3 相容模型檢驗

建模數據只能反映模型擬合的好壞， 不能反映模型的預測性能。 模型系統的獨立性檢驗是采用建模時未使用的獨立樣本數據， 對各模型系統的預測性能進行綜合評價。 基于表3 的參數估計值和檢驗數據， 利用SAS 軟件計算各模型系統樹冠外輪廓和體積的絕對誤差、 均方根誤差。 從表3 可以看出： 各樹冠外輪廓模型的檢驗指標R2對比結果為模型4＞模型3＞模型2＞模型1， 外輪廓模型RMSE對比結果為模型4＜模型3＜模型2＜模型1， 各樹冠體積模型檢驗指標R2對比結果為模型3=模型4＞模型2＞模型1， 體積模型RMSE對比結果為模型4＜模型3＜模型2＜模型1， 不管是從R2還是RMSE來看， 模型4均優于其他模型。 此外， 模型4 的檢驗指標MAE和MD絕對值最小， 真實值與預測值之間誤差最小， 進一步驗證了模型4 作為杉木樹冠外輪廓-體積模型的合理性。

3.4 模型殘差圖評價

模型擬合的總體評價反映了總體樹冠外輪廓和體積的變化， 不能反映各模型是否存在異方差性和無偏性， 評價這2 個指標最直觀的方法就是利用殘差分布圖。 為全面評價模型4 效果， 分別繪制模型4 加權前后的殘差分布圖。 圖2 為未增加權函數時相容模型的殘差圖， 左側為樹冠外輪廓模型殘差分布， 右側為樹冠體積模型殘差分布， 從圖2 可以看出： 殘差均存在明顯喇叭口形狀， 說明異方差問題顯著。 圖3 為增加權函數后相容模型殘差分布圖， 從圖3 可以看出： 加權后模型的殘差散點圖分布變得均勻， 說明權函數明顯消除了異方差。 進一步說明加權后模型4 顯示了較高的等方差性和無偏性， 效果較好。

表3 不同模型獨立性檢驗Table 3 Validation results of different crown models

圖2 未加權的SUR 方法擬合的相容模型殘差分布圖Figure 2 Residual distribution of models fitted by unweighted SUR method

圖3 加權的SUR 方法擬合的相容模型殘差分布圖Figure 3 Residual distribution of models fitted by weighted SUR method

4 結論

在樹冠模型研究方面， 許多學者利用規則幾何體模擬樹冠形狀并計算樹冠體積， 這類方法具有簡單方便特點， 但是不靈活且預測精度相對較低。 本研究以福建杉木為研究對象， 選擇4 種常用的樹冠外輪廓經驗模型模擬樹冠形狀曲線， 與簡單幾何體模擬方法相比， 能夠更加準確合理地描述樹冠形狀的變化， 而且方程形式更加靈活。

本研究通過樹冠外輪廓模型方程推導樹冠體積方程， 構建一致性的相容的非線性樹冠外輪廓-體積聯立方程組模型， 利用SAS 軟件模塊中的似乎不相關回歸過程（SUR）解決復雜分段聯立方程組模型系統的參數同時估計， 確保了2 個方程參數估計的一致性， 模型預測效果較好。 本研究構建的樹冠外輪廓-體積一致性模型方程， 可以預測樹冠外輪廓形態， 驅動林分樹木三維可視化并預估樹冠體積， 實現了樹冠外輪廓與體積模型之間互相推導， 同時也為進一步估測樹木地上部分生物量提供了理論依據。