關于函數與導數問題參數討論的探究

梁宏暉

[摘? 要] 分類討論參數取值可以簡化求解含參函數與導數問題，參數討論過程中可明確參數影響，確保結論準確. 文章將對分類討論方法進行剖析，結合實例深入探究參數討論解題的使用技巧，并開展解后反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 函數;參數;分類討論;單調性;極值;最值

■方法綜述

函數與導數是高考考查的重點，也是高中數學的重點問題，該類問題中往往含有一些變量或者參數，而變量或參數的取值會影響問題的結果. 在實際解題時常需要采用分類討論的策略，通過分類討論來細化問題，降低思維難度，達到化繁為簡的目的. 分類討論的基本原則為不重不漏，即統一分類標準，逐條討論，確保討論過程不重復、無缺漏.

實際上函數與導數問題中的分類討論策略滲透著數學的分類討論思想，實則就是一種將問題對象按統一標準分類、逐類研究討論的方法. 按照該思想方法解題時需要按照“設定標準→逐個討論→整合結論”的思路，即首先結合問題設定統一標準;然后對每一類進行深入討論，并得出相應的結論;最后對各類別的結論進行整合，得出最終結果.

利用分類討論方法可以高效解析函數與導數問題中因變量或參數引起的變化，常見的問題類型有含參單調性問題、含參函數極值問題、含參函數最值問題. 探討函數問題中變量與參數的分類討論策略，有必要對上述三大型問題進行探究.

■實例探討

分析單調性，求解函數極值、最值是含參函數與導數問題的常見形式，利用分類討論求解時除了需要嚴格遵守分類討論的思想內涵、使用技巧外，還需要結合問題特點，設問形式，下面具體探究.

1. 函數單調性中的參數討論

例1：已知函數f（x）=ex-lnx，定義在（0，+∞）上的函數g（x）的導函數g′（x）=（ex-a）（lnx-a），其中a∈R.

（1）試求證f（x）>0;

（2）試求函數g（x）的單調區間.

解析：本題目所涉函數f（x）為一般的組合函數，可確定函數的單調性，進而證明f（x）;函數g（x）中含有參數a，參數的大小與符號會影響到函數的單調區間，解析時需要對參數a進行討論.

（1）f（x）的定義域為（0，+∞），當00，lnx≤0，所以f（x）=ex-lnx>0;當x>1時，ex>1，■<1，而f′（x）=ex-■>0，所以函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，所以當x>1時，始終有f（x）>f（1）=e>0，即f（x）>0，得證.

（2）g（x）的導函數為g′（x）=（ex-a）·（lnx-a），a的大小將影響g′（x）的符號.

如果a≤1，則當x>0時有ex-a>0，由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得lnx-a>0，即x>ea，所以函數g（x）的單調增區間為（ea，+∞），單調遞減區間為（0，ea）;

如果a>1，則lna>0，結合（1）問可知f（a）=ea-lna>0，則ea>lna，所以由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得0ea，而由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）<0可解得lna

方法指導：利用分類討論解析含參函數單調性問題時，需要關注兩點：一是要討論函數的單調區間需要在函數的定義域內，二是分析參數對導函數符號是否有影響，可依據參數對不等式解集的影響進行討論，解析時合理利用不等式的性質和運算技巧.

2. 函數極值中的參數討論

例2：已知函數f（x）=-lnx-ax2+x（a≥0），討論函數f（x）的極值點個數.

解析：f（x）為含參函數，需要討論參數a對導函數f′（x）的存在、零點的大小和零點兩側的符號的影響.

由原函數可知f′（x）=-■-2ax+1（x>0），整理可得f′（x）=■（x>0，a≥0），當a=0時，f′（x）=■，分析可知x∈（0，1）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減;x∈（1，+∞）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增;所以當x=1時，f（x）取得極小值.

當a≥■時，Δ≤0，則f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減，故此時f（x）不存在極值.

當00，方程f′（x）=0有兩個不相等的根，設為x■和x■，可解得x■=■，x■=■. 分析可知當x∈0，■，x∈■，+∞時，f′（x）<0，此時f（x）單調遞減;當x∈■，■時，f′（x）>0，此時f（x）單調遞增;所以f（x）在x=x■處取得極小值，在x=x■處取得極大值.

綜上可知，當a=0時，f（x）有1個極值點;當a≥■時，f（x）沒有極值點;當0

方法指導：對于含參函數f（x）求極值問題，需要采用分類討論的策略，參數討論可以從如下三點切入：討論參數是否會影響f′（x）零點的存在;討論參數是否影響f′（x）零點的大小;討論參數是否影響f′（x）零點左、右兩側的符號. 另外在研究含參函數極值問題時需要注意可導函數f（x）在點x=x■處取得極值的充要條件，根據條件來展開分析.

3. 函數最值中的參數討論

例3：一酒企為了擴大生產，現決定新建一個底面為長方形MNPQ的室內發酵館，在發酵館內有一個無蓋的長方形的發酵池（圖1中的長方形ABCD），其中AD≥AB. 根據現有的生產規模，設定新建的發酵池容積為450m3，深2米. 如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，要求發酵池的總造價不超過65400元，回答下列問題.

（1）試求發酵池邊長AD的取值范圍;

（2）若建發酵館時要求發酵池的四周需分別預留兩條寬4米和b米（b為常數）的走道，試分析應如何設計發酵池的邊長可使發酵館的占地面積最小.

解析：本題目為應用分析題，需要結合模型來構建相應的解析函數，然后利用函數性質來確定結論，第（2）問可建立關于AD長的面積函數，其中必然含有參數b，求面積的最小值，顯然需要對參數b進行討論.

（1）根據題意可知矩形ABCD的面積為S=■=225m2，設AD長為x，則AB=■，由題意可知x≥■>0，從而可解得x≥15.

設建造發酵池的總費用為f（x），則f（x）=600（x+■）+45000≤65400，可解得9≤x≤25.

綜上可知，x的取值為x∈[15，25]，即AD的取值范圍為不小于15米，并且不超過25米.

（2）設發酵館的占地面積為S（x），由（1）問可知S（x）=2bx+■+16b+225，x∈[15，25]，則問題轉化為求函數S（x）在定義域[15，25]上的最小值，函數中同時含有參數b，需要對其加以討論.

由S（x）可得導函數S′（x）=■.

①當b≥4時，S′（x）≥0，則S（x）在區間[15，25]上單調遞增，所以當x=15時S（x）取得最小值，即AD=15米時發酵館的占地面積最小.

②當0

③當b∈■，4時，x∈15，■時，S′（x）<0，則S（x）單調遞減;當x∈■，25時，S′（x）>0，則S（x）單調遞增. 所以當x=■=■時，S（x）取得最小值，即AD=■米時發酵館的占地面積最小.

方法指導：對于函數應用型問題，求解的關鍵有兩步：一是建模，二是解析. 上述是關于幾何面積的函數問題，第（1）問實則就是函數單調性問題，利用求導來確定函數單調區間，然后確定參數的取值;第（2）問通過建模后問題轉化為解析含參函數的最小值，需要討論參數的取值，而在討論過程中需要分層推進，第一層求原函數的導函數f′（x），第二層分析參數對方程f′（x）=0的影響;第三層則需要確定參數取值對導函數f′（x）的影響，確定原函數f（x）的單調性，求解最值. 上述思路不僅適用于一般的含參函數與導數問題，同樣適用于與生活實際聯系緊密的函數應用題.

■解后反思

分類討論是求解含參函數與導數問題的常用策略，通過合理地討論參數的取值，可將問題轉化為一般的函數與導數問題，在實際教學中提出以下兩點建議.

1. 理解思想內涵，方法辨析思考

分類討論思想是高中階段需要重點掌握的思想方法，在含參函數問題教學中需首先引導學生理解該思想的具體含義，明晰使用步驟. 實際上該思想就是拆分綜合問題的一種技巧，可將復合問題化為眾多的小問題. 同時可應采用辨析思考的方式進行教學推進，以含參函數問題為例，教學中應引導學生按照“辨析分類緣由→思考分類依據→思考減少分類”，即首先明確參數對函數的單調性、極值點、最值情形造成的影響，然后結合參數對導函數零點存在性、零點大小的影響等因素來確定分類標準，同時思考是否可以減少分類項，優化解題過程.

2. 總結問題類型，積累解題經驗

上述呈現了含參函數的三大常見問題類型，涉及求函數單調性、極值、最值等，從中可知討論參數的取值將直接影響到解題的效果. 同時對于不同類型問題，參數討論、思路構建過程存在較大差異，但總體而言均需要經歷“求導函數”“確定單調性”兩個環節. 因此在實際應用時需要理解問題本質，歸納類型問題的解題步驟，總結參數討論的注意點，積累問題思路構建的經驗. 在實際教學中可以參考上述結合具體實例的方式，引導學生思考，指導分類討論的方法，幫助學生形成相應的解題策略，提升學生的數學思維.