由一道“一題多解”的電路分析題想到的

姬芳芳，崔乃忠，張丹丹

物理科學與技術

由一道“一題多解”的電路分析題想到的

姬芳芳1，崔乃忠1，張丹丹2

（1. 唐山師范學院 物理系，河北 唐山 063000；2. 唐山工業職業技術學院 汽車工程系，河北 唐山 063000）

在電路課程教學中，電路的分析方法主要有支路電流法、網孔電流法、結點電壓法等，這些方法具有普適性。同一道電路分析題可用上述不同的方法求解，即“一題多解”。通過“一題多解”的討論，可以加深學生對不同方法的理解，培養學生的發散思維、創新思維，有效地提高學生對電路定理、電路分析方法的運用能力，進而提高教學質量。

電路課程教學；一題多解；電路分析方法

電路是電子與電氣信息類專業的一門基礎課程，主要內容涉及電路的基本概念、基本原理和基本分析方法[1,2]。在電路的課程學習中，“一題多解”有助于學生對電路分析方法的理解和掌握，能使學生舉一反三、觸類旁通，最后達到靈活運用[3,4]。但應注意的是，應用“一題多解”解題，要根據實際情況具體問題具體分析。

1 實踐

橋式電路又稱惠斯登電橋（如圖1），由4個電阻組成，這4個電阻叫做電橋的橋臂。利用電阻的變化可以精確測量物理量的變化。本文利用不同的電路分析方法對惠斯登電橋電路進行求解，對比不同方法的解題思路，總結各種方法的適用范圍。

對于比較復雜的直流電路，一般可以應用的電路分析方法及電路定理有：等效變換法、支路電流法、網孔電流法、結點電壓法、疊加定理、戴維寧定理、諾頓定理等。

圖1 電路圖

下面用支路電流法、網孔電流法、結點電壓法、戴維寧定理和諾頓定理五種方法解題，以期得出一些規律性的結論。

1.1 支路電流法

支路電流法是以電路中的各支路電流為未知量，直接應用KCL（基爾霍夫電流定律）和KVL（基爾霍夫電壓定律）列出各支路電流的方程并求解。

解 節點數＝4（a，b，c，d），所以可列4－1＝3個KCL方程，即式(1)~(3)：

支路數b＝6，所以可列6－3＝3個KVL方程，即式(4)~(6)：

聯立上述6個方程可得：

代入數據得：

此方法關鍵是確定節點數n和支路數b，以此為依據確定出KCL和KVL方程的個數。由該例可以看出，為了求解g，需要列出六個方程（因為有六條支路）構成方程組，求解過程復雜，且容易出錯。因此，支路電流法不適用于求解支路數較多的直流電路。

1.2 網孔電流法

網孔電流法是以假想的網孔電流為直接求解對象，以KVL為基礎，求出網孔電流，進而求出電路中各支路電流和電壓。

解 設網孔電流方向如圖2所示。

圖2 網孔電流法電路圖

對網孔Ⅰ可列方程8：

對網孔II可列方程9：

對網孔Ⅲ可列方程10：

此方法的關鍵是確定網孔電流，進而根據每個網孔列出KVL方程。對于該題，共有三個網孔，因此只需列出3個KVL方程，隨后再解出相應未知量。因此，對于支路數較多而網孔數不多的電路，可以采用網孔電流法解題。

1.3 結點電壓法

結點電壓法是以結點電位為待求變量，利用KCL、KVL列（結點電壓）方程求解。

解 選d為參考結點，并令其電位為零。電路如圖3。對于結點a可列方程11：

對于結點b可列方程12：

對于結點c可列方程13：

最后，由歐姆定律可得：

可以看出，結點電壓法和網孔電流法一樣，對于此類直流電路的分析求解更有效。

1.4 戴維寧定理

戴維寧定理指的是任意線性有源二端網絡對于外電路而言，都可等效為一個電壓源，其電壓等于二端網絡的開路電壓，其內阻等于把該網絡中獨立電源置零，求得無源二端網絡的等效電阻。該定理也稱為等效電壓源定理。

圖4 戴維寧定理電路圖

解 斷開ab支路，電路如圖4所示。

如設d點為電位參考點，即d=0V，則根據分壓公式可得式15、16：

所以

即開路電壓為2 V。

圖5 等效電阻電路圖

求解等效電阻方程如式17：

原電路的戴維寧等效電路如圖6，則

由題知，應用戴維寧定理求解的主要步驟：

（1）斷開所求支路并求開路電壓；

（2）將獨立電源置零，求電路的等效電阻；

（3）畫出戴維寧等效電路；

（4）求解未知量。

圖6 戴維寧等效電路圖

由以上分析可知，利用戴維寧定理求解電路問題，核心是求解所求支路的開路電壓及等效電阻。該方法有固定的解題步驟，初學者容易掌握。

1.5 諾頓定理

諾頓定理指的是任意一個線性有源二端網絡，都可用一個電流為s的理想電流源和電阻eq并聯的電源來代替。s是有源二端網絡的短路電流，eq是將所有電源置零后所得無源二端網絡的等效電阻。該定理也稱為等效電流源定理。

圖7 諾頓定理電路圖

解 將ab支路短路，設短路電流ab，方向如圖7。由圖得：

根據分流公式可得：

根據基爾霍夫電流定律（KCL）有：

eq的求法和前面戴維寧定理的一致，所以eq仍為35/6W。

諾頓等效電路如圖8所示。

根據分流公式：

圖8 諾頓等效電路圖

應用諾頓定理與應用戴維寧定理解題方法及步驟類似，主要步驟為：

（1）短路所求支路并求短路電流；

（2）將獨立電源置零，求電路的等效電阻；

（3）畫出諾頓等效電路；

（4）求解未知量。

不同的是諾頓定理要求解短路電流，而戴維寧定理要求解開路電壓。

2 結論

對于給定電路分析題，可采用不同的電路分析方法求解，但不是所有的電路分析方法或電路定理都適用。支路電流法是電路分析方法的基礎性方法，但不適于求解支路數較多的電路。網孔電流法和結點電壓法適用性較強，大多數電路分析題都可以應用這兩種方法來求解。戴維寧定理和諾頓定理是“直奔主題”的電路分析方法，即：求某支路電壓或電流，就直奔（斷開或短路）該支路而去，有固定的解題步驟。

[1] 邱關源.電路(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006: 45-97.

[2] 李瀚蓀.電路分析基礎(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2006:62-151.

[3] 鄭尚彬,羅亞梅,唐碧華.淺談電路分析中的一題多解[J].教育教學論壇,2017,9(31):190-192.

[4] 黃玉梅.拓展思維一題多解[J].物理教師,2018,39(11): 90-92.

Consideration from a Circuit Analysis Problem of "Multiple Solutions to One Problem"

JI Fang-fang1, CUI Nai-zhong1, ZHANG Dan-dan2

(1. Department of Physics, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China; 2. Department of Automotive Engineering, Tangshan Polytechnic College, Tangshan 063000, China)

In the teaching of Electric Circuit Course, circuit analysis methods mainly include branch current method, mesh current method, node voltage method and so on. These methods have a universal application, that is to say, different methods can be used to solve a circuit analysis problem, that is, "multiple solutions to one problem". Through the method of “multiple solutions to one problem", students can deepen their understanding of different methods, train their divergent and innovative thinking, effectively improve their ability to apply circuit theorems and circuit analysis methods, and thus improve the quality of teaching.

the teaching of electric circuit course; multiple solutions to one problem; circuit analysis method

G424.1

A

1009-9115(2019)06-0043-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.06.011

唐山師范學院教改項目（2018001026）

2019-06-04

2019-06-10

姬芳芳（1984-），女，河南焦作人，碩士，講師，研究方向為機械工程。

（責任編輯、校對：侯 宇）