“相交線與平行線”錯解剖析

嚴正

“相交線與平行線”是我們初步接觸幾何知識的章節(jié)，除學習相關知識之外，還要學習一些方法，比如：如何理解定義和定理，如何應用定義和定理解決問題等.這種從知識到方法的過渡，既需要我們進行實踐練習，還需要適當適.時進行總結提煉.

我們要理解如何應用相交線與平行線的知識去解決問題，體會相交線中“三線八角”和平行線在解決與角有關的問題中所起到的作用.結合例題，我們分析如何添加輔助線，在操作的基礎上，提升我們對相交線與平行線的認識.

一、思維定式

例1已知直線a⊥b，b⊥c，則直線a與c的位置關系是什么？

錯解：a⊥c.

剖析：本題是一道很簡單的題目，但失分的同學卻很多，主要是受“若a=b，b=c，則a=c”的影響，很容易得出錯誤答案.其實只要我們畫一下圖很快就能得到正確的答案（如圖1）.

正解：a∥c.

點評：一定要注意克服思維定式，

二、考慮不周

例2 已知直線a//b //c，直線a與b之間的距離為2 cm，直線b與c之間的距離為3 cm，則直線a與c之間的距離為多少？

錯解：5 cm.

剖析：本題主要利用平行線之間的距離的定義作答.要分類討論：①當直線b在直線a，c之間時;②當直線a在直線b，c之間時，

正解：①如圖2，當直線6在直線a，c之間時，直線a與c之間的距離為2+3=5（cm）.

②如圖3，當直線a在直線b，c之間時，直線a與c之間的距離為3-2=1（cm）.

故答案是5 cm或1 cm.

點評：本題很簡單，考查的是兩平行線之間的距離的定義，即若兩直線平行，則夾在兩條平行線間的垂線段的長叫兩平行線間的距離.在解題時若考慮不周易漏解.

三、概念不清

例3下列圖形中，線段AD的長表示點A到直線BC的距離的是（? ）.

錯解：選A.

剖析：根據點到直線的距離是指垂線段的長度，弄清點A到直線BC的垂線段即可解答.

正解：線段AD的長表示點A到直線BC的距離的是選項D.故選D.

點評：本題考查了點到直線的距離的定義，注意該距離是指垂線段的長度，

四、識圖不準

例4如圖4.有下列判斷：①∠A與∠B是同旁內角;②∠1與∠A是同位角;③∠1與∠4是內錯角;④∠l與∠3是同位角，其中正確的是____.（填序號）

錯解：填“①③”.

剖析：準確識別同位角、內錯角、同旁內角的關鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

正解：∠A與∠B是同旁內角，①正確;

∠A與∠1是同位角，②正確;

∠4與∠1不是內錯角，③錯誤;

∠1與∠3是內錯角，不是同位角，④錯誤.

故答案為①②.

點評：本題主要考查了“三線八角”，在復雜的圖形中識別同位角、內錯角、同旁內角時，應當沿著角的邊將圖形補全，或者把多余的線暫時略去，找到“三線八角”的基本圖形，進而確定角的位置關系.

五、主觀臆斷

例5 如圖5，如果AB//EF，∠C=90°，那么α，β，γ的數量關系是____ .

錯解：α+β+γ=180°.

剖析：不能想當然認為α+β+γ=180°.此題應過點C作CM//AB，延長CD交EF于點N，如圖6，根據已有知識求出∠CNE=β-γ，根據平行線性質得出∠l=a，∠2=∠CNE.代人即可，

正解：過點C怍CM//AB，延長CD交EF于點N，則∠CDE+∠EDN= 180°，∠E+∠ CNE+∠EDN= 180°，所以∠CDE= ∠E+∠CNE，即∠CNE=β-γ.

∵CM//AB，AB//EF，

∴CM//AB//EF

∴ ∠ABC=α=∠1.∠2=∠CNE.

∵ ∠BCD=90°.

∴∠1+∠2=90°.

∴.α+β-γ=90°.

點評：本題考查了平行線的性質、三角形內角和定理及鄰補角知識的應用，題目比較好，難度適中，當然也可以像圖7那樣作CM//DG //AB，構造三對內錯角，由平行線的性質易得α+β-γ=90°.兩條直線平行，第三條直線與前兩條直線相交，產生“三線八角”，由此才能夠得出具有特殊位置關系的角之間所具有的數量關系：相等或互補.如果已知圖形結構完整，那么可以直接應用.如果已知圖形結構不完整，那么會出現兩種情況：要么缺少平行線中的一條，要么缺少第三條直線.如果想應用平行線的性質去解決問題，就要補全圖形，即添加輔助線，

數學是嚴謹的，學好數學要養(yǎng)成良好的習慣：言必有據、思考縝密、思路清晰.不可常犯概念不清、主觀臆斷、思維混亂的錯誤.

練一練

1.如圖8.測量運動員的跳遠成績，選取的是線段AB的長度，其依據是（? ）.

A.兩點確定一條直線

B.兩點之間直線最短

C.兩點之間線段最短

D.垂線段最短

參考答案：1.D