模態(tài)缺陷條件下的深潛耐壓球殼極限強(qiáng)度

熊志鑫， 黃志權(quán)， 張道兵， 胡雄

(1.上海海事大學(xué) 海洋科學(xué)與工程學(xué)院，上海 201306； 2.上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，上海 201306)

潛器在水下工作時(shí)承受很大的深水壓力，其耐壓殼多采用球形結(jié)構(gòu)[1]。在研制大深度潛器的設(shè)計(jì)中，耐壓球殼結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與穩(wěn)定性分析是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一，受到越來越多研究人員的關(guān)注[2-3]。隨著研究的不斷深入和安全性能要求的不斷提升，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度問題由完善耐壓球殼研究深入到觀察窗[4]、含開孔[5]、考慮焊接效應(yīng)[6]、帶初始撓度[7]等缺陷的殼體研究。針對(duì)含有初始缺陷球殼的非線性失穩(wěn)方面的研究，主要是基于局部缺陷[8]和模態(tài)缺陷[9]展開。出于耐壓殼安全性考慮，模態(tài)缺陷往往被作為最差缺陷引入。歐洲標(biāo)準(zhǔn)明確指出，幾何缺陷的形狀應(yīng)取最差缺陷，即導(dǎo)致殼體屈曲載荷下降最快的缺陷[10]。在最差缺陷形狀未知的情況下，建議采用模態(tài)缺陷來分析殼體的屈曲特性。第一階線性屈曲失穩(wěn)模式往往被作為最差缺陷引入[11]，這在鋼結(jié)構(gòu)行業(yè)中也稱為一致缺陷模態(tài)法[12]。但是，對(duì)具有相近分立特征值殼體，存在多模態(tài)屈曲現(xiàn)象，第一階線性屈曲失穩(wěn)模式往往不是最差缺陷，高階線性屈曲失穩(wěn)模式也可能導(dǎo)致較低的屈曲載荷[13]。文獻(xiàn)[14]研究了多種缺陷形式對(duì)軸壓柱形殼體屈曲特性的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一階線性屈曲失穩(wěn)模式并非柱形殼體的最差模態(tài)缺陷。

為此，本文研究了基于前15階模態(tài)缺陷耐壓球殼的極限強(qiáng)度，比較了各階模態(tài)缺陷對(duì)應(yīng)極限強(qiáng)度的差值，并在210種不同隨機(jī)缺陷樣本的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上，研究各階模態(tài)缺陷計(jì)算對(duì)應(yīng)的可靠性。在可靠性較高的模態(tài)缺陷條件下，分析不同半徑厚度比對(duì)缺陷幅度的敏感度。

1 模態(tài)缺陷方法

工程分析結(jié)構(gòu)缺陷的常用方法是用一階屈曲模態(tài)模擬結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷，這種方法在確定結(jié)構(gòu)的缺陷敏感性時(shí)是十分有效的，但不一定是最差缺陷狀態(tài)。模態(tài)缺陷方法則是將特征值屈曲分析計(jì)算得出的前N(N是正整數(shù))階模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的N個(gè)初始缺陷的分布模式。分別計(jì)算這N個(gè)模態(tài)缺陷形態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界屈曲荷載，比較它們的大小，并進(jìn)行可靠度分析。本文以耐壓球殼的前15階屈曲模態(tài)作為研究對(duì)象展開分析。

1.1 計(jì)算模型

文獻(xiàn)[15]分析了一種鈦合金深潛耐壓球殼的極限強(qiáng)度，并得到了極限強(qiáng)度計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式。其所采用球殼模型的參數(shù)為：內(nèi)徑D=2 100 mm，殼厚t=10 mm，材料彈性模量E=1.148×105MPa，泊松比υ=0.3。

建立上述球殼的有限元模型，模型單元為減縮四邊形單元S4R，單元網(wǎng)格大小為50 mm，共得到23 330個(gè)單元節(jié)點(diǎn)和7 776個(gè)四邊形單元。邊界條件使用簡支的三點(diǎn)約束6自由度的方法，在x軸上的2個(gè)節(jié)點(diǎn)分別添加條件約束y軸和z軸方向的位移即T2=T3=0，在y軸上的1個(gè)節(jié)點(diǎn)添加條件約束x軸和z軸方向的位移即T1=T3=0[9]。

文獻(xiàn)[16]計(jì)算得出該耐壓球殼結(jié)構(gòu)在完善狀態(tài)下的極限強(qiáng)度為12.51 MPa。

1.2 計(jì)算結(jié)果

采用模態(tài)缺陷法，將上述耐壓球殼的前15階彈性屈曲模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷分布形態(tài)，對(duì)其進(jìn)行極限強(qiáng)度計(jì)算：1)進(jìn)行耐壓殼結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析，提取結(jié)構(gòu)前15階屈曲模態(tài)。2)參考相關(guān)規(guī)范和實(shí)際制造誤差，確定最大缺陷幅值[17]，并引入計(jì)算模型。3)采用弧長法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性屈曲分析。施加不同初始缺陷后，結(jié)構(gòu)的非線性屈曲計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 屈曲模態(tài)階數(shù)與對(duì)應(yīng)的極限強(qiáng)度(最大缺陷幅值為1.758 3 mm)Table 1 Buckling mode and ultimate strength (the maximum defect amplitude is 1.758 3 mm)

從表1可以看出，考慮1～15階屈曲模態(tài)缺陷后，耐壓球殼的極限強(qiáng)度在第5階模態(tài)缺陷條件下達(dá)到最大值為7.23 MPa，在第15階時(shí)最小值為6.20 MPa，分別為完善球殼的59.5%和51.0%。由上述計(jì)算結(jié)果可以看出：結(jié)構(gòu)對(duì)初始幾何缺陷較為敏感，極限強(qiáng)度較完善球殼大幅降低；按一致缺陷模態(tài)法施加的第1階屈曲模態(tài)并非結(jié)構(gòu)的最不利初始缺陷。因此，需要考慮前幾階甚至前幾十階的模態(tài)缺陷條件進(jìn)行比較，才能較準(zhǔn)確評(píng)估耐壓殼結(jié)構(gòu)的安全性。

2 不同模態(tài)缺陷的可靠度計(jì)算

為了評(píng)估上述若干階模態(tài)缺陷條件耐壓殼結(jié)構(gòu)的可靠性，引入隨機(jī)缺陷模態(tài)法[18]，求出極限荷載對(duì)應(yīng)的概率分布。

在工程設(shè)計(jì)中，隨機(jī)缺陷方法能夠較為真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的工作性能，所求的的極限荷載結(jié)果更能客觀地反映結(jié)構(gòu)的情況。假設(shè)耐壓球殼在生產(chǎn)制造中導(dǎo)致的缺陷遵循正態(tài)分布[19]，即是球殼有限元模型的各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在x、y、z3個(gè)方向的坐標(biāo)值符合各節(jié)點(diǎn)理論坐標(biāo)值的均值為μ，待求值σ為方差的正態(tài)分布。假定各節(jié)點(diǎn)的位移誤差為±δ，實(shí)際坐標(biāo)值為X1，理論坐標(biāo)值為X0，則符合正態(tài)分布的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值滿足如下分布：

(1)

通過坐標(biāo)位置偏差作為隨機(jī)缺陷引入原始模型，相繼建立210組球殼隨機(jī)模型用于非線性屈曲計(jì)算分析。對(duì)210個(gè)樣本進(jìn)行非線性屈曲計(jì)算，結(jié)果的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖1所示。其中，極限荷載最大值為7.83 MPa，最小值為5.58 MPa，均值7.22 MPa。

圖1 極限荷載值統(tǒng)計(jì)分布Fig.1 The statistical distribution of ultimate loads

由圖1可知，極限荷載值的統(tǒng)計(jì)直方圖符合正態(tài)分布特征。隨機(jī)缺陷模態(tài)法計(jì)算耐壓球殼的臨界屈曲荷載服從均值μ=7.22,方差σ=0.324 的正態(tài)分布規(guī)律。根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)可以對(duì)每一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界屈曲荷載進(jìn)行可靠度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 1～15階模態(tài)缺陷極限強(qiáng)度值的可靠度Table 2 Reliability of ultimate strength from the 1～15th order modal imperfections

由表2可以看出，第1階、10階、14階和15階模態(tài)缺陷具有99%以上的可靠度，其中第15階模態(tài)缺陷的可靠度最高，達(dá)到99.94%。

3 缺陷敏感性分析

當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)的初始缺陷后，其非線性屈曲的分析變得更為復(fù)雜。結(jié)構(gòu)對(duì)初始缺陷的敏感性分析將有助于進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的屈曲性能。本文第1節(jié)是基于標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范允許的最大缺陷作為幅值分析了最大幾何缺陷對(duì)極限強(qiáng)度的影響程度。但是，工程制造中可能存在更多其他缺陷值情況。因此，需要計(jì)算不同的缺陷幅值對(duì)耐壓殼的影響，進(jìn)一步明確耐壓殼失穩(wěn)的機(jī)理，為耐壓殼的設(shè)計(jì)提供參考。

3.1 缺陷幅值對(duì)臨界屈曲荷載的影響

為分析缺陷幅值對(duì)臨界屈曲壓力的影響，在確定厚度t和半徑Rm后，對(duì)每類球殼設(shè)置不同的缺陷幅值，再計(jì)算得到每個(gè)缺陷幅值對(duì)應(yīng)的臨界屈曲壓力。計(jì)算結(jié)果的曲線如圖2所示。圖2中分析計(jì)算選取的厚度t為10、15、20、 25、 35、45、55、65、75、85, 95、105 mm，共12組。缺陷幅值為0.1、0.3、0.5、0.7、1、2、4、6、8、10 mm，共10組。

從圖2所示的曲線可以看出，隨著缺陷幅值的不斷增加，結(jié)構(gòu)的臨界屈曲壓力值近似均勻下降，沒有出現(xiàn)跳躍的現(xiàn)象，且不同厚度耐壓球殼的臨界屈曲荷載呈現(xiàn)近似的線性關(guān)系。不同厚度對(duì)應(yīng)的耐壓殼臨界屈曲壓力值下降的幅度值可以作為進(jìn)一步作為結(jié)構(gòu)敏感性分析的參考因素。因此，觀察缺陷幅值較小的0.1～1 mm曲線段，由12組不同厚度t從小到大增加時(shí)，臨界屈曲壓力降低的幅度是逐漸減小的。由此可見，當(dāng)耐壓殼的厚度增加時(shí)，其對(duì)結(jié)構(gòu)的敏感度是降低的。

圖2 耐壓球殼缺陷幅值δm與臨界屈曲荷載Pcr關(guān)系Fig.2 Relationship between imperfection amplitude δm of pressure spherical hull and critical buckling loads Pcr

3.2 厚度半徑比對(duì)臨界屈曲荷載的影響

基于不同的缺陷幅值，建立厚度半徑比(t/Rm)與臨界屈曲壓力值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以量化表達(dá)不同尺度耐壓球殼對(duì)某幅值模態(tài)缺陷的敏感程度。同樣分析Rm保持不變，球殼厚度t從10～105 mm的12組耐壓殼，可以得到相關(guān)的臨界屈曲壓力曲線，為含缺陷的耐壓殼設(shè)計(jì)提供參考。如圖3所示，共有10根曲線，每根曲線含有12個(gè)計(jì)算點(diǎn)。

圖3 耐壓球殼t/Rm值與臨界屈曲壓力Pcr的關(guān)系Fig.3 Relationship between t/Rm of pressure spherical shell and critical buckling pressure

由圖3可知，隨著厚度半徑比(t/Rm)的不斷增大，耐壓殼的臨界屈曲壓力也在呈現(xiàn)斜線增長，且每根斜線間具有相似的斜率和均勻的間距。為進(jìn)一步細(xì)化研究缺陷對(duì)耐壓殼承載能力的影響，比較相同的厚度半徑比時(shí)，不同對(duì)應(yīng)缺陷幅值對(duì)應(yīng)的耐壓球殼臨界壓力差值。此處的不同缺陷幅值主要是缺陷幅值為0.1 mm(δ=0.1)和10 mm(δ=10)。圖4是上述12組臨界壓力差值曲線。圖4中，縱坐標(biāo)值ΔPcr即是表示臨界壓力差值，具體計(jì)算表達(dá)為ΔPcr=Pcr(δ=0.1)-Pcr(δ=10)，Pcr(δ)為含缺陷幅值為δ的臨界壓力值。由圖4可以得出，臨界壓力差值曲線大致可以分為3段：在t/Rm<0.033時(shí)，隨著t/Rm值的增大，ΔPcr值也是逐漸增大且差值幅值較大，結(jié)構(gòu)對(duì)缺陷的敏感度是逐漸增強(qiáng)的；在0.033≤t/Rm<0.06時(shí)，ΔPcr值隨著t/Rm值的增大反而減小，且其降低幅度相對(duì)變小，結(jié)構(gòu)對(duì)缺陷的敏感度是逐漸減弱的；0.06

圖4 t/Rm值對(duì)應(yīng)的臨界屈曲壓力差值ΔPcrFig.4 Critical buckling pressure difference for different t/Rm of spherical shell

3.3 厚度半徑比對(duì)臨界屈曲荷載相對(duì)值的影響

為進(jìn)一步研究不同的缺陷幅值相對(duì)完善球殼的影響，計(jì)算不同厚度半徑比(t/Rm)得到臨界屈曲壓力值，并取臨界屈曲壓力值Pcr與理想完善球殼的彈性屈曲壓力值Pperfect的比值Pcr/Pperfect為縱坐標(biāo)，得到相對(duì)值曲線圖，如圖5所示。

圖5 球殼的半徑厚度比與相對(duì)極限強(qiáng)度的關(guān)系Fig.5 Relationship between t/Rm of spherical shell and Pcr/Pperfect

由圖5可知，不同缺陷幅值的臨界壓力相對(duì)值走勢比較相近，整體上呈現(xiàn)相對(duì)值降低的形態(tài)。隨著t/Rm值的增大，所有相對(duì)值曲線的變化率也是在不斷減小的。隨著缺陷幅值的增大，不同缺陷幅值的比值差值是變小的，且最后均定格在0.15～0.2。一些曲線在t/Rm值為0.015 處出現(xiàn)拐點(diǎn)，反映出結(jié)構(gòu)對(duì)缺陷幅值的敏感性存在特殊點(diǎn)，在該點(diǎn)時(shí)，相對(duì)值取得極大值，這在設(shè)計(jì)中需要特別引起關(guān)注。除此以外，隨著厚度的不斷增加，耐壓球殼對(duì)缺陷的敏感性是不斷降低的，直至最后缺陷值幅度的影響甚微。

4 結(jié)論

1)耐壓球殼采用結(jié)構(gòu)的第1階屈曲模態(tài)并非最差初始幾何缺陷分布形態(tài)。為找到最差的初始缺陷，可以采用結(jié)構(gòu)的前若干階屈曲模態(tài)作為初始缺陷進(jìn)行比較。然后，采用樣本數(shù)較大的隨機(jī)模態(tài)法可以合理評(píng)估其各階模態(tài)缺陷對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果的可靠度。

2)初始缺陷對(duì)耐壓球殼有較大的影響，考慮最大幅值為平均半徑的1/20的初始幾何缺陷后，結(jié)構(gòu)的極限強(qiáng)度最低僅為完善球殼的51%左右。

3)隨著缺陷幅值的增大，不同厚度球形耐壓殼結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷不斷下降，其下降趨勢呈現(xiàn)近似的線性關(guān)系。如果結(jié)構(gòu)的厚度半徑比的逐漸增大，耐壓殼結(jié)構(gòu)承載能力會(huì)則變得相對(duì)穩(wěn)定，缺陷幅值對(duì)其極限強(qiáng)度的影響將逐漸減弱。