設(shè)置支撐的Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析

李創(chuàng)第 王博文 昌明靜

摘要：為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計方法，基于虛擬激勵法和精細積分法，對設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行了系統(tǒng)研究。首先，對設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器進行建模并引入結(jié)構(gòu)動力方程中，構(gòu)造設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震系統(tǒng);然后，利用虛擬激勵法分析結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機地震激勵;最后，利用精細積分法解出五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)地震響應(yīng)方差。

關(guān)鍵詞：五參數(shù)Maxwell阻尼器;耗能減震系統(tǒng);非平穩(wěn)地震響應(yīng);虛擬激勵法;精細積分

中圖分類號：TU3113DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.01.008

0引言

地震從發(fā)生到結(jié)束的整個過程，一般都是非平穩(wěn)隨機過程。為了便于計算和分析，通常將這些非平穩(wěn)隨機過程中比較平穩(wěn)的一段視為平穩(wěn)隨機過程。因此，平穩(wěn)激勵是研究隨機振動的基礎(chǔ)，但是這種簡化有時候會使分析結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。平穩(wěn)隨機激勵主要有白噪聲激勵模型、Kanai-Tajimj譜地震激勵模型、Clougtl-Penizien模型、胡聿賢模型等，其中Kanai-Tajimj譜地震激勵模型具有符合地震動特點和表達式相對簡單的特點而受到廣大科研人員的研究。為此，非平穩(wěn)隨機地震響應(yīng)分析的研究具有十分重要的實際意義。

粘彈性阻尼器的力學性能研究很有必要，描述粘彈性阻尼器的力學模型主要有Maxwell、GHM、分數(shù)導數(shù)Kelvin等?；贛axwell模型，它可擴展到五參數(shù)Maxwell阻尼器模型，該模型在擬合粘彈性本構(gòu)關(guān)系試驗時具有高精度，為了提高精度和工程實際應(yīng)用，一般要考慮支撐的影響。

在非平穩(wěn)隨機地震激勵下，一般粘彈性耗能減震變頻結(jié)構(gòu)常用非擴階近似法等作為分析方法，但其精度和使用范圍受到限制，而虛擬激勵法已被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)、波傳播、剛性問題、偏微分方程的求解等眾多領(lǐng)域，也被應(yīng)用于沒有粘彈性阻尼器的結(jié)構(gòu)受非平穩(wěn)隨機激勵響應(yīng)的精確高效計算分析中，但是至今尚未應(yīng)用于含有粘彈性阻尼器的消能減震結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和抗震動力可靠性分析。因此，將此方法應(yīng)用于本文分析具有重要的工程意義。

鐘萬勰提出的精細積分法，對于計算機求解指數(shù)矩陣的精度有顯著的提高，能有效降低因精細劃分所引起的誤差;這種積分方法雖然不是提供解析解公式，但其數(shù)值計算結(jié)果卻是高度準確的。

為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計方法，基于虛擬激勵法和精細積分法，對設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行了系統(tǒng)研究。

1結(jié)構(gòu)運動方程

設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼耗能減震系統(tǒng)如圖1所示。在隨機地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)運動方程可

2基于虛擬激勵法的非平穩(wěn)隨機地震響應(yīng)分析

根據(jù)林家浩提出的虛擬激勵法，如果構(gòu)造虛擬地震激勵

T（τ）=e_Hτ（34）

Z_p（t）為方程（31）的特解。

3精細積分計算

3.1矩陣T（τ）的精細計算

將積分步長τ內(nèi)部細分為m=2^N等分：

△t=τ/m=2^-Nτ（35）

一般取N=20，于是△t≈10^-6τ，△t一般遠小于結(jié)構(gòu)的所有自振周期，將式（35）代入式（34）得：

以上兩式表明可按下列方式計算T_a1，T_a2，…，T_aN，從而得到T（τ）：

T_ai=2T_a，i-1+T_a，i-1T_a，i-1（39）

3.2HPD-L精細積分格式

假設(shè)在所有的時間段t∈（t_k，t_k+1）上荷載變化量都是線性變化的，可以表示為：

f₀（t）=r₀+r₁（t-t₀） （40）

式中，r₀與r₁是時不變向量，r₀是每個時刻上的初始值，r₁是每個時刻問的斜率，則方程（31）的特解為：

Zp（t）=（H^-1+It）（-H^-1r₁）-H^-1（r₀-r₁t_k）（41）

將式（41）代入式（33），獲得用于精確積分方法的HPD-L格式

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）+H^-1（r₀+H^-1r₁]-H^-1（r₀+H++-1r₁+r₁τ） （42）式中，τ=t_k+1-t_k，為積分步長。

3.3HPD-S精細積分格式

r₁與r₂是時不變向量，將式（44）代入方程（31）右端，可解得方程的特解為：

Z_p（t）=asin（ωt）+bcos（ωt） （46）

式中，

a=（ωI+H²/ω）^-1（r₂-Hr₁/ω） （47）

b=（ωI+H²/ω）^-1（-r₁-Hr₂/ω） （48）

于是得到精確積分方法的HPD-S格式：

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）-asin（ωt_k）-bcos（ωt_k）]+asin（ωt_k+1）+bcos（ωt_k+1） （49）

式中，τ=t_k+1-t_k。

4算例

如圖1所示，設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器單自由度減震系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=42500kg，剛度k=145.43×10⁵N/m，阻尼比S₀分別取0.02、0.04、0.08、0.20.五參數(shù)Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度k₀=0.36×10⁵N/m，支撐剛度k_b=1.5k，五參數(shù)Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為k₁=42.08×10⁵N/m，c₁=0.83×10⁵N·s/m;k₂=6.87×10++5N/m，c₂=2.15×10⁵N·s/m。x_f（t）的功率譜密度取Kanai-Tajimi譜：

調(diào)幅函數(shù)分別取為階躍型調(diào)制濾過白噪聲型調(diào)幅函數(shù)如圖2-圖7、Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)如圖8一圖13，計算參數(shù)取為：

g（ω，t）=g₁（ω，t）=1

g（ω，t）=g₂（ω，t）=e^-0.6t—e_-t

由算例可以得到：阻尼比對結(jié)構(gòu)響應(yīng)有很大的影響。

在階躍型和Shinozuka—Sato型非平穩(wěn)隨機地震激勵下，如圖2-圖4和圖8-圖10所示，可以得到：阻尼比越大，響應(yīng)方差越早達到峰值;伴隨著阻尼比的變化，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)方差則發(fā)生相反的變化。

在結(jié)構(gòu)的其他參數(shù)不發(fā)生變化的情況下，r_b分別取0.5、0.8、1.2、10、∞五種情況，支撐剛度k_b=r_bk，r_b為支撐剛度與結(jié)構(gòu)剛度的比值，阻尼比取S₀=0.1，研究支撐剛度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

由算例可以得到：支撐剛度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)有很大影響。

在階躍型和Shinozuka-Sato型非平穩(wěn)隨機地震激勵下，如圖5-圖7和圖11-圖13所示，可以得到：響應(yīng)峰值發(fā)生時間不隨支撐剛度變化而變化;伴隨著支撐剛度的變化，結(jié)構(gòu)的位移、速度響應(yīng)方差發(fā)生相反的變化，阻尼器受力響應(yīng)方差則發(fā)生相同的變化。

對于本算例，可任選其中一種積分格式計算，這里選取HPD-L精細積分格式計算。當支撐剛度k_b>10k的情況，按k_b=∞進行近似取值;當k_b較小時，按k_b的實際剛度取值。

5小結(jié)

為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計方法，本文基于虛擬激勵法和精細積分法，對設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼減震系統(tǒng)進行非平穩(wěn)響應(yīng)分析。

1）在階躍型非平穩(wěn)隨機地震激勵下，阻尼比越大，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差越提前達到穩(wěn)態(tài);在Shinozuka-Sato非平穩(wěn)隨機地震激勵下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)都存在峰值效應(yīng)，且阻尼比越大，峰值出現(xiàn)的時間越提前。

2）支撐剛度對粘彈性耗能結(jié)構(gòu)有重要影響，在支撐剛度較耗能結(jié)構(gòu)剛度很大情況下，支撐剛度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響效果不再增加，一般情況下，應(yīng)考慮有限支撐剛度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。在Shinozuka-Sato非平穩(wěn)隨機地震激勵下，結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力響應(yīng)峰值出現(xiàn)時間不隨支撐剛度變化而變化。

此方法具有求解過程簡單，效率高等優(yōu)點，為五參數(shù)粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)及其保護系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機地震激勵下的抗震動力響應(yīng)分析提供了參考。