基于復形法的結構可靠性指標求解方法

夏雨 龍嘉欣 余穎燁 劉敬敏

摘要：為了解決在可靠度計算中涉及多維高階數值計算的極限狀態函數的梯度計算，首先使用單純形法構造初始復形，然后對復形進行尋優迭代計算。通過此方法求解可靠件指標，無需計算極限狀態函數的梯度，使計算變得更加簡單。通過算例驗證了此方法的效率和精度，同時通過工程實例也表明了此方法對實際工程具有一定的適用件。

關鍵詞：復形法;可靠形指標;單純形法

中圖分類號：TU31DOI：10.16375/j.cnkj.cn45-1395/t.2020.01.011

0引言

可靠性指標概念引入用于概率描述可靠度，在研究實際工程應用的計算方法時更加方便?？煽啃灾笜擞嬎惴椒ǖ奶岢鰵v經了從簡單到復雜或精確的過程，這些方法包含一次二階矩、二次二階矩、蒙特卡洛法、遺傳算法及其他方法。國內外學者在可靠度的計算上做了一些研究，韋益夫等使用改進移動最小乘二法的響應面來增加樣本點的權重并擴大影響域的范圍，進而讓更多的賦權樣本點參與擬合計算，可靠性指標的計算精度更高。羅建斌等將一些結構參數進行優化，得到新的響應面函數，提高計算結果的準確性。許家赫等提出了一種自適應調整權重的PSO算法與fmincon函數的混合算法，優化了模型，一定程度上減少了數值誤差。唐承等提出采用序列二次規劃方法來提高PSO的局部搜索性能，提高了PSO計算可靠性指標的精度。Keshtegar等提出的基于可靠性方法的MCS和M5Tree改進了用于評估可靠性分析中的性能函數，通過將復雜的隱式問題分解為更小的問題來提供處理復雜隱式問題，提高了可靠性分析的效率。shayanfar等將重要性抽樣與定向模擬相結合，圍繞設計點的方向進行采樣，此混合方法極大地減少調用極限狀態函數的次數，與以往的方法相比，更容易得到失效概率。

一次二階矩方法是目前可靠度分析最常用的方法。但是一次二階矩方法和二次二階矩方法都需要計算極限狀態函數的一階偏導數，然而有些極限狀態函數難以計算偏導數?？煽啃灾笜说挠嬎阒?，約束函數往往涉及到高階多維數值計算過程，約束函數的梯度計算變得困難。所以，通過引入復形法計算可靠性指標，省去了繁瑣的梯度計算，在求解可靠性指標上更為簡單、方便。

1 復形法的基本原理

可靠性指標的求解屬于約束非線性優化問題，本文選擇復形法來對其進行計算。此方法打破了以往需要求函數導數的常規，是一種不需要計算目標函數梯度的直接方法，而它的下降方向是通過代入其所有復形的頂點計算目標函數值并進行比較來判斷的。

假設n個變量，這些變量將會產生n+1個頂點來構造初始復形。如圖1所示，圖中為兩個變量，那么3個頂點連接起來就構成了一個三角形。將這3個復形的頂點依次代入目標函數中計算，得到目標函數值并比較其大小。由此可以定義最差點X_h為目標函數值最大的點，次差點X_g為目標函數值次大的點，最好點X₁為目標函數值最小的點，并且其變化趨勢可以從目標函數值的大小進行大致的判斷。若X_c為除最差點X_h以外的每個頂點的形心，那么目標函數值的下降方向通常是由最差點X_h指向形心X的方向。所以在最差點X_h和形心X_c連線的延長線上取一點X_r，并使

X_r=X_c+α（X_c-X_h） （1）

這一個過程稱之為反射，在此過程中產生的X_r點稱為最差點X_h的反射點。α為反射系數，且一般取α>1.檢查反射點X_r是否滿足全部約束條件，若反射點X_r滿足要求，且

f（X_r）h） （2）則用形心X_c替換最差點X_h，新的復合形組成，完成了一次迭代。如果不等式（2）得不到滿足，則應該將反射系數減半。當反射系數減至很小的時候，應再次檢查目標函數值是否滿足不等式（2），如果目標函數值已滿足不等式（2），則新的復合形還是用反射點X_r替換最差點X_h進行構造;如果減到很小的時候（例如當α≤10^-5時），目標函數值仍然達不到式（2）的要求，則新的反射是將次差點X_g代替最差點X_h，通過新的反射，新的迭代過程就組成了。如果反射點X_r不在可行域內，也應該將反射系數α減半。如此反復進行迭代，直至目標函數值達到收斂準則的要求為止。

2改進后的復形法及可靠性指標的計算

在標準正態空間中，坐標原點到極限狀態面的最短距離為可靠性指標β的定義。根據此定義，把計算可靠性指標轉化為最優數學模型如下：

⑦若單純形的所有頂點都滿足：

g（x）≤0（10）則停止迭代并輸出最好點x₁及目標函數值g（x₁），完成初始復形的構造（如圖2所示）。

（II）進行復形法的迭代計算

①目標函數為求解可靠性指標β，約束函數則為結構的功能函數g（x），目標函數值是通過復合形各個頂點的代人，從而找出目標函數的最大值β（x_t）及最差點x_t：

β（x_t）=max{β（x_m）（m=1，2，…，n+1）] （11）找出次差點x_b：

β（x_b）=max{β（x_m）（m=1，2，…，n+1;但m≠t）} （12）找出最好點x_w：

β（x_w）=min{β（x_m）（m=1，2，…，n+1）} （13）

②計算除最差點x_t外其他各頂點的形心x_c：把形心x_c代人約束函數g（x）≥0中，檢查其可行性。

③如果形心x_c滿足約束條件，則沿著（x_c-x_t）方向求得反射點x_r，由式：

x_r=x_c+α（x_c-x_r） （15）式中的反射系數α≥1，可以取α=1.3.如果反射點x_r不滿足約束條件，則應將α值減半之后，計算新的反射點x_r，如此反復計算，直到計算所得到的反射點x_r滿足所有約束條件為止。如果反射點x_r不滿足結構功能函數的所有約束條件，則返回步驟（I）重新構造初始復形。

④把反射點x_r代入目標函數中得到β（x_r），如果

β（x_r）<β（x_t） （16）時，則新的復形是由反射點x_r替換最差點x_h而組成，完成一次迭代后并轉入步驟①，否則轉入步驟⑤。

⑤如果

β（x_r）>β（x_t） （17）則將α值減半之后，反射點x_r重新計算。這時如果β（x_r）<β（x_t）且反射點x_r滿足所有約束條件，則轉入步驟④。反射點x_r不滿足所有約束條件，則應再將α值減半之后，如此反復計算，得出反射點x_r和目標函數值β（x_r）。如果經過多次減半α值后，并使α值已經縮小到了給定的一個很小的正數ζ（例如ζ=10^-5）以下，仍然得不到滿足要求的反射點x_r和目標函數值β（x_r）時，則可將最差點x_t換成次差點x_b并轉入步驟②。然后重新進行新的迭代計算，直到得到的反射點x_r和目標函數值β（x_r）滿足計算精度為止，如圖3所示。即當復合形已經收縮到很小的值時，各頂點的目標函數值均滿足

3算例分析

3.1算例1

假設指數型功能函數

g（x）=exp（0.2x+1.4）-x₂其中，變量x₁和x₂均服從標準正態分布，即x_i～N（0，1）（i=1，2），求解可靠性指標。

圖4是此算例的迭代過程，采用本文方法無須計算功能函數的梯度，得到了驗算點（-1.6798，2.8981），并最終計算得到的可靠性指標為β=3.3497.由表1可以看出，本文方法與其他基本方法計算得到結果是一致的，證明了本文方法的可靠性與實用性。

3.2算例2

似設功能函數具有如下形式：

計算結果及復形法尋優迭代過程如表2、圖5所示，從表2、圖5中可以看出，此二維高階隨機變量問題屬于高非線性問題，HL-RF法和經典響應面法因其非線性程度太高而不收斂，但本文方法不僅避開了梯度的計算，而且準確的得到了驗算點和可靠性指標。從計算結果表明，本文方法在高非線性功能函數計算得到的精度表現良好且非線性越高表現越好。

3.3工程實例

其中，基本隨機變量ω——分布荷載，E——彈性模量，I——慣性矩，均服從正態分布且相互獨立，其分布參數如表3所示。

先用單純形構造初始復形，然后用復合形進行數值迭代計算，得到驗算點和可靠性指標。計算結果如表4所示。不難看出，本文方法計算得到的驗算點與HL-RF法相差不大，可靠性指標與失效概率與其他方法計算得出的結果一致，而且本文方法無需計算功能函數的梯度。對于多維非線性問題功能函數的可靠性指標求解，本文方法的計算結果精度很高。Monte carlo法的隨機性比較大，所以相對于其他方法的精度也會比較低。而本文方法在隨機性上做了一定的優化，使得驗算點更靠近失效面，并且在實際T程中具有一定的適用性，隨著功能函數非線性程度越高，在計算效果方面更顯著。

4 結論

一般的結構可靠性指標的求解往往會涉及梯度計算，而本文提出了一種結合復合形建立最優化的數學模型來求解可靠性指標，在此計算過程無需計算任何函數的梯度，使得可靠性指標的求解更加簡單、方便。通過幾個算例的計算，表明了本文方法在求解多維高非線性問題的可靠性指標時的有效性以及在精度上的優越性，在工程中具有一定的適用性。