三維光晶格在鐿原子光鐘中的應用研究

張夢亞，譙 皓，彭成權，孫常越，齊啟超，周 敏，徐信業

(華東師范大學精密光譜科學與技術國家重點實驗室，上海 200062)

0 引言

自從1955年第一個連續的銫頻率標準問世以來，它一直發揮著時間頻率標準的作用[1]。現在,一些新開發的銫噴泉頻率標準報道頻率不確定度為10-15。而隨著科學技術的進步，光鐘顯示出巨大的發展潛力[2]。光鐘的時鐘頻率高出微波鐘5個數量級，能達到更好的光鐘穩定度，以及更低的光鐘不確定度[3]。

光鐘對物理學研究、計量科學研究和高科技研究均有非常大的推動力，光鐘的關鍵技術在全球定位系統(Global Positioning System，GPS)[4]、高速通信和深空探測等研究領域具有重要的應用價值。精確的光學原子鐘具有改變秒定義的潛力，可以在各種科學和技術應用中提高測量精度和傳感器分辨率[5]。

并且在近年來，隨著飛秒激光頻率梳的發展，直接測量光學頻率已成為現實。光梳與窄線寬激光器相結合，使第一代基于中性原子的光學原子頻率標準和時鐘成為可能。為了追求更好的原子鐘已經推動了諸多研究領域的發展，例如提供了更好的量子態控制和量子科學的新見解。

現今使用的7個基本國際單位中，時間單位“秒”的測量精度是最高的[6]。時間和頻率是倒數的關系，頻率可由時間推導得出。光鐘的性能指標可分為兩方面：穩定度(Stability)和不確定度(Uncertainty)。死時間的存在限制了光鐘的穩定度。除此之外，鐘探詢光頻移、環境因素如磁場和溫度變化等均會影響光鐘系統的穩定度。國際上一般使用阿倫偏差(Allan Deviation)來評價光鐘的穩定度[7]。

目前，本小組實驗上鐿原子光鐘通過同步比對2臺光鐘，得到單臺光鐘的穩定度為2.9×10-15/τ1/2，在經過5000s時間的平均后，穩定度優于4×10-17。通過同步比對2臺光鐘研究系統頻移，得到了其中單臺光鐘的系統不確定度為10-16量級，與理論期望值還差2個數量級。

目前實驗上所使用的一維光晶格光路比較簡單，實施起來比較容易。當冷原子被囚禁在中心區域，受重力的影響，一般通過在z方向上外加一個磁場來抵消重力場的影響[8];此外，磁場還提供了一個量子化軸。但是，這種方案不可避免地存在原子間的碰撞問題[9]。通過三維光晶格，可以實現少數原子占據每個格點的布局，從而大大降低了原子間碰撞導致的光頻移[10]。2018年美國天體物理聯合實驗室(Joint Institute for Laboratory Astrophysics，JILA)小組鍶原子費米簡并三維光晶格已達到低于10-18的系統頻移。

1 冷鐿原子光晶格鐘

1.1 冷鐿原子光鐘

光鐘由3個主要的部分構成:第一部分是光學頻率標準，即囚禁在光晶格中的冷原子產生的光學躍遷頻率(圖1);第二部分是窄線寬超穩激光光源，它的作用類似于能夠產生非常穩定的周期信號的振蕩器;第三部分是光梳，它的作用類似于一個精度相當高的光學齒輪，將光波頻率和可計數的微波頻率相連[11]。目前存在了兩種類型的光鐘[12]：單離子時鐘和光晶格鐘。在光晶格鐘中，數千個中性原子被捕獲在光學勢中[13]。光晶格鐘已經實現了非常低的系統不確定度[14]。

圖1 鐿原子用于光鐘的原子能級躍遷圖Fig.1 Energy level transition spectra of ytterbium atomic optical lattices

冷鐿原子光鐘實驗裝置由真空系統、激光和探測系統等組成。激光系統中包含399nm一級冷卻光、556nm 二級冷卻光和極化光、759nm 晶格光、649nm & 770nm 泵浦光，以及578nm鐘探詢光和邊帶冷卻光等。其中本文主要討論晶格光759nm激光由一維方向變為三維方向對光鐘不穩定度性能的影響。

1.2 冷鐿原子光鐘的一維光晶格頻移

目前在實驗上所用的759nm光晶格激光由Coherent相干公司的鈦寶石激光器提供，鈦寶石激光器輸出的激光功率為4.0W，實驗上使用光纖送至真空腔內，激光功率最大為1.1W(圖2)。

圖2 冷鐿原子759nm晶格光實驗光路Fig.2 Experimental optical path of 759nm lattice light for cold ytterbium atom

光晶格由光學駐波形成，在實驗中用一束來回對打并且聚焦的高斯光束構成一維的光晶格[15]。但是這個一維光晶格光的引入會使原子能級發生移動，光鐘產生頻移。因此首先需要對晶格光產生的光頻移進行分析，進而對該項頻移進行實驗測量(圖3)[16]。

圖3 測量光晶格頻移Fig.3 Measurement of optical lattice frequency shift

實驗中分別測量在#2 759進腔功率為0.98W、0.8W和0.6W不同759頻差下的相對頻移量，以2臺759頻差為0的數據點(即fcavity2-fcavity1=0)作為零點處理，根據公式：δv=-αU-βU2對數據進行二次函數擬合，其中β=-2.85×10-7Hz/Er2。

根據以上數據擬合得到極化率α，并對α進行線性擬合α=kx+b，結果如圖4所示。

圖4 光晶格數據擬合Fig.4 Optical lattice data fitting

擬合數據得到斜率k=1.39219×105Hz/(Er·MHz)，那么可以得到：α=1.39219×10-5×Δv+8.41255×10-5，因此可得到當α=0時的失諧量Δv=-6.043MHz，實驗中通過光梳測量#1 759的頻率fcomb=394798659.999924MHz。

fcavity1=fcomb-80MHz=394798579.999924MHz，

計算得到魔術波長為

fmagic=fcavity1+Δv=394798573.956924MHz

在晶格光勢阱深度為428Er的情況下,對應的頻移量為：δv=-αU-βU2=0.08595Hz，得到光晶格頻移的不確定度為1.65×10-16。

2 三維光晶格的理論依據

2.1 標量、矢量、張量光頻移和魔術波長

三維(3D)光晶格的實現可以大大減小光晶格頻移。然而與一維光晶格相比，在三維晶格中，晶格的光偏振不能在空間上均勻，特別是對于具有非零角動量的費米子同位素來說[17]。

激光頻率和激光功率并不是一直恒定不變的，由于激光頻率的測量誤差，導致激光頻率偏離魔術頻率從而產生光頻移[18]。相應地，雖然鐘探詢光功率很低，但是現階段由其光功率起伏引起的頻移以及頻率不確定度不能忽略。

電偶極近似下，可以得到實際鐘躍遷頻率為

v(λL,eL)=v0+vac≈v0-ΔαE1(λL,eL)E2/2h+

O(E4)

(1)

其中，λL為晶格光波長，eL為激光偏振方向,ΔαE1(λL,eL)=αe(λL,eL)-αg(λL,eL)。

如果只考慮電偶極作用，并忽略高階項的影響,通過調節晶格光波長λL和激光偏振方向eL，使得上下能級移動相同。當激光波長偏離魔術波長時，晶格光頻移主要是一階光頻移起到主導作用；但是當光晶格光在最佳波長位置時，二階光頻移(超極化率變化)將影響光鐘的頻率不確定度[19]。

在魔術波長的囚禁勢中，光強引起的光頻移近似為Δv=-Δω·I，而Δω=0時，則原子躍遷頻移和光強無關。對應到某躍遷譜線的頻移可寫成

(2)

其中，ωL是晶格光對應的角頻率。|ζFmF〉是一個超精細結構能態，ζ表示主量子數，則對應的原子動態極化率可表示為

(3)

2.2 Mott絕緣態和原子相互作用

在三維光晶格中，3個相互垂直的駐波激光束形成三維光晶格。原子的運動由它們在相鄰晶格位點之間的隧穿速率決定。

在討論Mott絕緣態之前,首先引入了玻色-哈伯德模型,它是討論超流態-Mott絕緣態量子相變的出發點。對于稀薄的堿金屬氣體,可只考慮2個原子間的s波散射,原子間的相互作用勢U(r)是短程相互作用,遠小于晶格常數,可近似用一個δ勢來代替

(4)

其中，as表示s波散射長度,m表示單個玻色原子的質量。對于單原子系統能量本征態是Bloch波函數,適當疊加的Bloch波可以構成一套Wannier波函數集w(r-ri),利用玻色-哈伯德模型表示哈密頓量

(5)

εi描述了對不同的格點處的能階,在本文中考慮它是一個常量的情況。隧穿矩陣元J是在格點i和格點j之間的躍遷矩陣元

(6)

粒子間相互作用由格點相互作用能U來描述

(7)

其中，相互作用勢U和隧穿矩陣元J都由生成光晶格的激光控制,U隨阱深Vlat的增加而增加。格點能可表示為

(8)

隧穿矩陣元可表示為

(9)

晶格中每個格點只有一個粒子,粒子之間的排斥使粒子從一個格點躍遷到另外一個格點受到抑制。在Mott絕緣態,存在一個能隙△,當隧穿矩陣元J≤U時，能隙等于格點相互作用能U。

由于2個原子間的格點排斥相互作用,一個格點上填充2個原子的態的能量要比原來填充一個原子的態的能級大U,因而要產生激發就需要能量U。所以在Mott絕緣態下,原子在格點之間的躍遷就被抑制了。

當格點之間的能量差等于U時就會出現隧穿。對于光晶格中的冷原子,當原子間相互作用排斥勢U足夠大以致使得能隙△>0成立時,則表明能譜中存在能隙，從而意味著Mott絕緣態的存在;反之當隧穿矩陣元J增加時,能隙寬度△減少,最終2個能帶在激發能譜中疊加,能隙消失,表明超流相的存在。根據以上分析,得到了超流相到Mott絕緣相轉變的條件為能隙Δ=0。

3 三維光晶格在鐿原子光鐘中的應用研究

3.1 應用于鐿原子的三維光晶格理論方案

對于費米子光晶格鐘，本小組選用171Yb原子，它具有最簡單的費米子結構，是研究費米原子光晶格鐘的理想原子。

3.2 鐿原子三維光晶格的構造

考慮到要構造鐿原子三維光晶格光鐘，目前討論了其實施的一般步驟。首先，可將鐿原子通過399nm MOT(磁光阱)冷卻，然后裝載到由三束759nm激光交叉形成的光偶極阱(Crossed Optical Dipole Trap，XODT)囚禁勢中。光偶極囚禁勢由聚焦的水平光和近豎直光形成，水平光為橢圓形，在水平和豎直方向選擇合適的束腰大小。豎直方向的束腰較小，束縛較強，可以抵抗重力勢；垂直方向和重力勢有個很小的夾角，為高斯光束，為了減小ac Stark頻移，此光為圓偏振。

在MOT光關閉之后，溫度為幾μK的大量原子被裝載到光偶極囚禁勢中。在MOT囚禁之后，通過短時間內指數減小囚禁深度進行蒸發冷卻，通過改變參數，蒸發冷卻后的原子數目約為104～105，溫度在幾十nK。最后，把費米簡并氣體絕熱地裝載到三維光晶格中，由于光晶格勢阱深度的增加，可以有效地抑制隧穿效應，同時壓縮多原子格點。

由于光晶格中原子溫度很低，可以通過飛行時間法測量多物質波干涉圖像來驗證。當緩慢增加晶格光勢阱阱深時，可以通過絕熱冷卻進一步降低原子溫度；還可以通過研究超流態到Mott絕緣態的量子相變，實現一個晶格格點一個原子，從而抑制了光晶格中原子的碰撞頻移。

量子相變的一個重要特征是達到臨界點時激發光譜的變化。當系統從超流態越過臨界點進入 Mott-絕緣態時，會表現出絕緣特性。在三維光晶格中，Mott絕緣態下將雙自旋簡并費米氣體加載到三維光晶格的基帶中，其中雙重占據位置的原子數量被抑制。在這種實驗條件下，原子數密度增大，原子間相互作用大大減弱，光頻移的不確定度降低。

表1所示為本實驗小組鐿原子光鐘各項頻移值以及相應的不確定度。從表1中可以看出，晶格光頻移引起的光頻移的不確定度較大，目前限制光鐘不確定度的主要因素正是晶格光頻移。

表1 鐿原子光鐘評估表Tab.1 Ytterbium atomic optical clock evaluation form

三維光晶格在鐿原子光鐘中的應用研究主要是為了減小晶格光頻移引起的不確定度。在三維光晶格內，簡并費米氣體中原子占據Mott絕緣態，阻止了多個原子占據光晶格中同一位置。這種單原子占據的特性逐漸降低了晶格中單個原子的相互作用。而且根據三維光晶格理論計算可知，若能實現鐿原子三維光晶格，隨著原子相互作用的逐漸變弱，可以增加光鐘中的原子密度，從而使光鐘的穩定性增強，光晶格頻移不確定度降低至10-18量級，這對于光鐘系統不確定度的提高有著至關重要的作用。

4 應用展望

隨著光鐘技術不斷向前推進，新的技術也推動整個領域蓬勃向前發展。冷鐿原子光晶格光鐘有著非常巨大的發展前景，三維光晶格這項工作為降低光鐘不確定度，提高光鐘性能開辟了新的可能性。

本文針對三維光晶格在鐿原子光鐘中的應用研究問題，分析討論了鐿原子光鐘三維光晶格的原理和結構，為實現三維光晶格所需要克服的困難提出了新的理論方案。下一步工作可以從以下幾個方面入手：

1)三維光晶格在鐿原子真空腔上的光路設計；

2)鐿原子Mott絕緣態的實現；

3)實現冷鐿原子光鐘三維光晶格，測量鐿原子光鐘光頻移的穩定度和不確定度。