基于改進TLS-ESPRIT算法的相干定位信號波達方向空間平滑

胡茂廳，楊福興，鄧中亮，劉 鋆

(北京郵電大學智能通信、導航與微納系統實驗室，北京 100876)

0 引言

在波達方向(Direction of Arrival，DOA)估計算法中，常見的算法有很多種，例如多重信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法、最大似然(Maximum Likelihood，ML)算法、最大熵(Maximum Entropy，ME)算法、旋轉不變信號參數估計技術(Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques，ESPRTIT)算法等，算法的優良性決定了DOA估計精度，進一步決定了角度定位的誤差。

其中ESPRIT算法[1]最早由Roy、Paulra和Kailath等提出。由于在參數估計等方面的優勢，ESPRIT算法應用廣泛。該算法主要研究由陣列的移不變特性而引起的信號子空間的旋轉不變性，利用旋轉因子估計DOA。與DOA估計算法中常見的MUSIC算法相比，ESPRIT算法不需要構造空間譜，減少了計算量，魯棒性強，分辨率高；但在實際應用中只能用陣列輸出采樣值的相關函數來估計信號輸出的協方差，不能用在根據陣列的移不變性分解得到的子陣長成的相似的信號子空間計算中[2]。后來學者在ESPRIT算法的基礎上，又提出了基于最小二乘(Least-Squares，LS)準則，引入一個與子陣張成子信號空間正交的矩陣以解決上述問題。后來在LS-ESPRIT算法的基礎上提出了基于總體最小二乘(Total Least-Squares，TLS)準則的TLS-ESPRIT算法,提高了估計準確性[3]。

考慮由于傳播環境的復雜性，入射到實際陣列中的強相關或相干源信號是普遍存在的。而且對于強相關或者相干信號，這些基于特征分解類算法都無法有效進行DOA估計，因此研究有效的解相干算法是當前陣列信號處理領域的一個重要的研究方向[4-5]。

常見的解相干處理方法有最大似然方法、Toeplitz矩陣重構類算法及空間平滑類預處理方法等。最大似然方法[6]是通過概率密度模型來進行相干源信號處理的，具有較好的解相干效果，但是它最終需要非線性多維搜索來實現DOA估計，計算量巨大。Toeplitz矩陣重構類算法[7]的最大優點是沒有陣列孔徑的損失，但是它在矩陣重構過程中沒有充分考慮到信號的先驗信息，所以在信號源功率不相同的場合，其估計精度會相對變差。空間平滑類方法最早是由Evans[8]等提出，隨后經Shan等[9]改進，成為一種常用且有效的解相干預處理方法。這種解相干方法是以犧牲陣列的有效孔徑為代價，為了減少陣列孔徑的損失，Pillai等[10]在前人的基礎上提出了一種雙向空間平滑算法，即前后向平滑算法。旺晉寬等[11]在ESPRIT算法的基礎上利用空間平滑進行DOA估計(M-ESPRIT算法)，解決了相關信號源無法進行DOA估計問題，但其估計DOA的準確性受外界參數影響較大，準確性較低，且平均誤差較大。

針對上述問題，本文將雙向空間平滑方法與TLS-ESPRIT算法相結合，提出了一種基于改進TLS-ESPRIT算法的空間平滑方法(SS-TLSESPRIT)。該方法首先對輸出相干信號源進行空間平滑，然后把計算得到的子陣協方差應用在TLS-ESPRIT算法，使其最大限度利用信號子空間的信息。

1 陣列信號數學模型

設有一個天線陣列，它由M個具有任意方向性的陣元按等間距排列，構成K個具有相同中心頻率ω0、波長為λ、陣元間距為d=λ/2的空間窄帶平面波(M>K)，分別以角θ1,θ2,θ3…，θk入射到該陣列，如圖1所示，則第M個陣元的輸出為

nM(t)σ2

(1)

其中，sk(t)為入射到陣列的第k個源信號；nm(t)為第M個陣元的加性噪聲，方差為σ2；θk為第k個源信號的DOA；λ為信號源波長。定義θk的 方向向量為

圖1 信號接收模型Fig.1 Signal reception model

(2)

則陣列輸出信號可寫成如下矩陣形式

X(t)=AS(t)+G(t)

(3)

式中

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T
A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]
S(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T
G(t)=[g1(t),g2(t),…，gM(t)]T

根據式(3)可得陣列輸出信號協方差矩陣為

R=E[X(t)XH(t)]=ARsAH+σ2IM

(4)

式中：Rs=E[S(t)SH(t)] 為信號協方差矩陣；IM為M階單位陣。

2 本文方法

2.1 空間平滑技術

空間平滑技術(Spatial Smoothing Techni-ques, SST)是處理強相關或相干信號的有效方法，其基本思想是將具有相同子陣列流型的均勻線陣分成若干個相互重疊的子陣列，然后再將各子陣列的協方差矩陣相加平均后以取代原來意義上的協方差矩陣，從而使得矩陣的秩恢復到等于信號源的個數[9-10]。

如圖2所示，有一個由M個陣元構成的線陣，利用前向滑動方式劃分為L個子陣列，其中每個子陣列有N個陣元，即N=M-L+1。取最左邊的子陣陣列為參考陣列，則第l個前向子陣列的輸出為

=ANDl-1s(t)+nl(t),1≤l≤L

(5)

圖2 空間平滑示意Fig.2 Spatial smoothing representation

其中，AN為N×K維的方向矩陣，其列為N維的導向矢量aN(θi)(i=1,2,…,K)。

(6)

式中：IN表示N階單位陣。

前向空間平滑技術是通過求取各前向子陣列的協方差矩陣的均值來實現秩恢復的，即前向空間平滑協方差矩陣為

(7)

同理，可得后向空間平滑協方差矩陣為

(8)

前向空間平滑協方差矩陣Rf和后向空間平滑協方差矩陣Rb實質上互為共軛倒序陣，利用共軛倒序不變性，可得前后向空間平滑協方差矩陣為

Rfb=(Rf+Rb)/2

(9)

2.2 改進的TLS-ESPRIT(SS-TLSESPRIT)算法

2.2.1 ESPRIT算法模型

根據上文建立的線性信號模型，把陣列分為2個平移量為Δ的子陣Zx和Zy。2個子陣陣元的輸出信號可分別表示為(在這里設子陣陣元數為M個)

(10)

nyi(t),i=1,2,…,M

(11)

其中，sk(t)為子陣Zx和Zy接收到的第k個信號;θk為第k個信號到達方向;ai(θk)為第i個陣元對第k個信源的響應;c為電波的傳導速度，nxi(t)和nyi(t)為子陣Zx和Zy的第i個陣元上的加性噪聲。2個子陣列的每個陣元在t時刻的輸出信號矢量表達式為

x(t)=As(t)+nx(t)

(12)

y(t)=AΦs(t)+ny(t)

(13)

其中

x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T
y(t)=[y1(t),y2(t),…,yM(t)]T
s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T
nx(t)=[nx1(t),nx2(t),…,nxM(t)]T
ny(t)=[ny1(t),ny2(t),…,nyM(t)]T

A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]稱為方向矩陣。Φ為K×K的對角矩陣，稱為旋轉算子，由于子陣的移不變特性形成了2個子陣信號的旋轉不變性，即可以把子陣Zx和Zy聯系起來，Zy可以由Zx乘以一個旋轉算子得到。其對角元素為K個信號在任意一個陣元偶之間的相位延遲，表示為

Φ=diag{exp(jμ1),…,exp(jμk)}

(14)

其中

μk=ω0Δsinθk/c(k=1,2,…,K)

把2個子陣加以合并得

(15)

取t=t1,t2,…,tN的N個時刻的快拍組成2M×N數據矩陣，則式(15)可表示為

(16)

其中

Z=[z(t1),z(t2),…,z(tN)]
S=[s(t1),s(t2),…,s(tN)]
Nz=[nz(t1),nz(t2),…,nz(tN)]

2.2.2 信號輸出相關矩陣雙向平滑

陣列輸出信號矩陣Z的自相關矩陣為

(17)

自相關矩陣Rzz的特征分解為

(18)

其中，Es為信號子空間，EN為噪聲子空間。由于本文采用的是相干信號，受到相干信號的影響，Rzz奇異，即非滿秩矩陣。Rzz特征值中較大的特征值數K1即信號子空間的維數是小于信源數K個的。這樣無法進行TLS-ESPRIT算法計算。

解決方法：采用2.1節中式(9)雙向空間平滑技術，對陣列進行平滑，這里選用平滑的子陣陣元數N一定要大于K值(N>K)，即可得出平滑后的子陣自相關矩陣Rzzz，Rzzz中較大特征值數就達到K個值，即λ1≥…≥λK>λK+1=…λ2M=σ2，Rzzz實現滿秩。這樣就可以完成接下來的計算工作。

2.2.3 平滑后改進TLS-ESPRIT算法解算

設平滑后陣列信號輸出矩陣的協方差矩陣Rzzz中K較大的特征值對應的特征向量為Ess，其中，存在唯一非奇異的K×K維滿秩矩陣T，使得式(19)成立

(19)

根據信號陣列的移不變特性，可以將Ess分解為2個部分，即EX∈CN×K和EY∈CN×K，分別對應子陣Zx和Zy(這里的子陣是ESPRIT基礎算法模型中的2個子陣)，即

(20)

從式(20)中可以得出

EY=EXT-1ΦT=EXΨ

(21)

其中，Ψ=T-1ΦTΨ。至此可知，EX和EY張成相似的子空間，且矩陣Φ的對角線元素為Ψ的特征值。

(22)

(23)

所以，根據TLS準則，算法通過解以下最小值問題來獲得Ψ的最小二乘解。

定義矩陣F

(24)

使得V值最小

(25)

且滿足

FHF=I

(26)

定義了矩陣F，則Ψ的估計由式(27)給出

(27)

2.3 算法步驟

算法SS-TLSESPRIT的步驟歸納如下：

1)建立相干定位信號模型s(t)，加入高斯白噪聲，方差設為σ2，均值為0。

2)根據TLS-ESPRIT算法特性，劃分2個子陣，確定子陣的陣元數要大于信源數，這是為了確保第3步的實現。

4)計算

將E分解

3 仿真驗證

仿真1 對于信源為相干信號TLS-ESPRIT與平滑SS-TLSESPRIT算法的DOA估計對比

仿真中，采用陣元間距為半波長λ/2、陣元數M=12的均勻線陣，平滑子陣陣元為8，信號源為相干信號且信源數已知。信源數分別取2、3、4個，DOA分別是(0° 30°)、(-30° 0° 30°)和(-30° 0° 30° 50°)。仿真快拍數為500，信噪比取10dB。對于DOA分別用經典TLS-ESPRIT算法和SS-TLSESPRIT算法進行估計，如表1所示，為了真實看到DOA估計，取一次仿真實驗結果。

表1 不同信源和不同DOA估計算法對比Tab.1 Comparison of different sources and different DOA estimation algorithms

由表1可以看出，采用沒有平滑的TLS-ESPRIT算法不能對相干信號進行DOA估計；而加入平滑改進的SS-TLSESPRIT算法可以實現任意信號包含相干信號的DOA估計，具有有效性和高精度性，DOA估計誤差達到要求。

仿真2 2個相干信源SS-TLSESPRIT算法的DOA估計相關參數效果仿真

1)為了驗證算法的穩定性，在不同信噪比條件下對實驗進行1000次Monte Carlo仿真，并采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)來檢驗算法的有效性，RMSE值如式(28)所示。仿真數據：低信噪比和高信噪比都不易于工程實現，所以信噪比取-10dB～30dB之間，2個相干信源DOA取(0° 30°)，快拍數采用中等大小，取值500，如圖3所示。

(28)

圖3 DOA估計均方根誤差Fig.3 Root mean square error of DOA estimation

2)再次改變快拍數，觀察隨著快拍數的改變，DOA估計RMSE隨著信噪比的變化曲線，以此來驗證算法的優越性。快拍數分別取250、500和750，如圖4所示，可以看出，在相同信噪比情況下，隨著快拍數增加，DOA估計RMSE降低，說明了在實際應用中，DOA估計精度與采樣數有正向關系，增加一定量的快拍數可以降低DOA估計誤差，提高定位精度。

圖4 快拍數與DOA估計關系圖Fig.4 Quick shot number and DOA estimation diagram

3)改變仿真信源DOA間隔，觀察算法的DOA分辨能力。在不同DOA間距下，分別進行了1000次Monte Carlo仿真，觀察仿真效果，如表2所示。

表2 DOA間隔與RMSE之間的關系Tab.2 Relationship between DOA interval and RMSE

由表2可以看出，隨著DOA間隔增大，DOA估計精度提高，達到實驗要求；但是在DOA間距在8°以下時，DOA估計誤差開始增大，DOA估計成功概率降低。

值得一提的是，在實際應用中，信號多為混合信號，當信號中同時含有相干信號和獨立信號時，利用本文算法進行仿真，對于混合信號DOA的估計精度有很大的提高，精度提高到0.1°。

仿真3 SS-TLSESPRIT算法與M-ESPRIT算法的DOA估計對比[11]

在仿真2基礎上做算法對比，同時還是以RMSE值為評估參數，1000次Monte Carlo仿真，快拍數500，DOA取(0° 30°)，如圖5所示。SS-TLSESPRIT算法與M-ESPRIT算法對比，定位精度都得到了提高，特別是在低信噪比條件下本文算法提高效果明顯。

圖5 SS-TLSESPRIT與M-ESPRIT對比Fig.5 SS-TLSESPRIT vs. M-ESPRIT

從以上仿真結果中可以看出，算法的DOA估計準確性達到室內角度定位要求，與其他算法相比，定位精度得到了提高，能夠應用到單角度定位或者融合定位中去[12]，且DOA估計的穩定性和魯棒性都大大提高。

4 結論

對于相干定位信號DOA估計，提出了一種基于改進TLS-ESPRIT算法的雙向空間平滑方法。算法分析與實驗結果表明：

1)在TLS-ESPRIT算法的基礎上實現了相干定位信號的空間平滑。通過對算法中子陣陣列平滑，使輸出定位信號的協方差矩陣實現滿秩，平滑了秩虧損，解決了相干信號條件下基礎算法無法準確估計DOA的問題，加上改進TLS-ESPRIT算法，使得DOA估計的準確性大大提高。

2)SS-TLSESPRIT算法的各項仿真結果都達到理想效果。通過RMSE值對算法進行評估，再加上不同參數改變，都體現了算法的穩定性和良好性。穩定測量到精確的DOA值，對于室內角度定位提供了良好的數據基礎，為室內角度精確定位或者與TOA/TDOA/RSSI融合定位奠定了基礎。

3)本文提出的平滑算法在仿真效果方面，DOA分辨性能不夠，當相干信號源之間的角度較小時，算法會出現DOA估計分辨力下降；特別是復雜環境下，定位信號分辨力如果不夠，則更需要其他融合定位，因此還需待進一步完善。