考慮道路信息和轉向燈的可換道BML 模型1)

高慶飛 張 稷 盛 哲 董力耘,2)

?(上海大學力學與工程科學學院上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

?(上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室,上海 200072)

??(深圳市城市交通規劃設計研究中心有限公司深圳市交通信息與交通工程重點實驗室,廣東深圳 518021)

引言

交通擁堵是當前各大城市的頑癥.有效地解決交通擁堵問題,必須從整個道路交通網絡的角度出發,通過科學的交通誘導,合理分配并使用道路資源.隨著計算機技術的發展和計算能力的迅速提高,基于建模和仿真的動態交通流研究方法為解決城市交通擁堵問題提供了新的途徑.1992 年Biham 等[1]將真實道路網絡簡化為由正方形元胞組成的二維區域,提出了描述網絡交通流的元胞自動機模型,即Biham-Middleton-Levine (BML)模型.該模型可以再現自由流和全局堵塞兩種狀態,表明當車輛密度超過臨界密度后,會發生從自由流相到堵塞相的一階相變.該模型提出后,人們普遍認為該模型只存在自由流相和堵塞相.直到2005 年,D’Souza[2]在對系統尺寸更大的BML 模型進行研究時發現還存在一種中間態,在該中間態下自由流相和堵塞相可以同時存在.此后在BML 模型及其改進模型中發現新的交通流相成為一個引起廣泛興趣的問題.

在BML 模型中,每個元胞都是交叉路口,完全忽略了相鄰路口之間道路上交通流的演化過程.該模型引入同步交通燈,且交通周期T為1.車輛僅有兩個可能的運動方向(向東或向北),在初始時刻隨機產生,且最大車速為1.采取周期性邊界條件.每輛向東(北)的車只能沿水平(垂直)方向固定車道運動,即每個水平(垂直)道路上向東(北)的車輛數是守恒的.車輛運動采用并行更新方式.很明顯,BML 模型是最簡化的城市交通網絡模型.此后許多學者考慮到實際交通情況,對BML 模型進行了多方面的推廣和改進.在保證BML 模型每條車道上的兩個方向運動的車輛保持數目守恒的前提下,Chuang 等[3]在BML 模型中研究了失效的交通燈對道路通行能力的影響,發現低密度下,平均車速有所增大,而臨界密度減小.Sun 等[4]研究了交通燈周期T對BML 模型的影響,發現當T4 時會出現一種自由流相和堵塞相的共存相,并解釋了不同周期下系統相分離產生的原因.Xie 等[5]采用動態交通燈策略,通過考慮不同方向車輛的動態空間構型,利用局部車輛信息來控制城市交通,車輛可以自組織成帶裝結構的新型中間狀態.Ding 等[6]研究了BML 模型中違反交通燈規則的駕駛員對系統的影響,發現在自由流相中出現兩種不同斜率的條狀結構.Fukui 等[7]研究了BML 模型中兩個方向具有不同最大速度的兩種情況,發現了介于自由流相和全局堵塞相之間的兩種新交通流相.Ishibashi 等[8]研究了BML 模型的相圖,提出了中間擁堵流相的計算公式.利用該公式得到了自由流與阻塞流相之間的相邊界,其中流量達到最大值.Fukui等[9]還研究了最大速度為2 的BML 模型,發現系統臨界密度可以由文獻[8]中提出的流量公式擬合.Ding 等[10]研究了采用隨機更新方式的BML 模型,發現在開放邊界條件下系統也會出現一種自由流相和堵塞相的共存相.Kuang 等[11]將慢啟動規則引入四向行駛的BML 模型中,發現多自由流條紋和多堵塞條紋共存的新的相分離現象.Pan 等[12]提出了考慮合作意愿的BML 模型,提出了一種具有合作意愿的進化博弈方法來處理鄰居間的沖突,可以緩解交通網絡的壓力.Ding 等[13-14]還考慮了天橋的影響.

部分學者放松了BML 模型中對車輛運動的限制.Cuesta 等[15]在BML 模型中引入車輛的隨機轉向,并首次將雙向行駛規則擴展為四向行駛規則,不同運動方向的車輛數目不再保持不變.Nagatani等[16]將隨機轉向規則加以改進,規定車輛只有在遇到堵塞狀態時才會以一定概率進行隨機轉向.車輛可隨機轉向破壞了BML 模型每個方向車輛數的守恒性.盤薇[17]在采用隨機更新方式的BML 模型基礎上引入了繞路策略,當車輛遇到擁堵時,會改變行駛方向來繞過擁堵區,而繞過擁堵區域后則會再轉回原行駛方向.Li 等[18]研究了根據車輛信息控制車輛換道的BML 模型,發現系統可以在較大的密度范圍內保持中間態.雖然車輛可換道破壞了BML 模型中車道車輛數守恒,但是每個方向上車輛總數仍然不變.Moussa 等[19]首次考慮了車輛的起點和終點(OD),研究了車輛出行距離與出行時間之間的關系.Fang 等[20]在模型中設定了辦公區域,考慮了車輛從居住區到達辦公區域的不同路徑選擇對交通網絡的影響.這種車輛尋找路徑的方式更接近實際,車輛在行駛過程中會不斷改變運動方向.

對BML 模型的另外一個重要改進是考慮道路系統的實際網絡結構,逐漸從規則網絡過渡到不規則的真實路網.Chowdhury 等[21]在BML 模型的基礎上引入NaSch 模型[22]描述相鄰路口之間道路上的車流運動,提出了ChSch 模型.Scellato[23]建立了更接近真實交通網絡的雙向雙車道路網模型.Chen 等[24]在雙向雙車道模型中引入交通燈,發現只提供局部路段上游道路信息可以最大限度的提升系統的交通性能.Huang 等[25]研究了預信號在雙向四車道系統中的影響.Wu 等[26]在雙向四車道系統中發現周界流量控制策略可以改善系統的通行狀況.Ao 等[27]在類曼哈頓模型中加入自適應交通燈,顯著提高了車輛的平均速度和到達率.李浩等[28]在類曼哈頓城市系統中,引入考慮平均速度和最小費用的路徑選擇策略.

即使更實際的道路交通網絡是當前研究的熱點,類BML 模型仍然是一個活躍的研究領域.最近Hu等[29]將真實的城市交通路網直接映射到改進的BML 模型中進行擁堵預測,表明BML 模型研究實際交通網絡的擁堵仍可發揮重要作用.以往由于技術手段的限制,往往只能對局部路段交通流進行實測和建模[30-32],隨著大數據時代以及5G 時代的來臨,為城市道路網絡交通流的研究帶來了新的契機.駕駛員能夠實時得到大量的道路信息(例如車道中車輛的平均速度、車道的平均密度以及車道上車輛的平均通行時間等),從而能夠根據道路信息選擇道路,因此將道路信息作為車輛換道依據是十分必要的.本文將道路信息和轉向燈影響引入BML 模型中,提出了綜合考慮車道信息和前車轉向燈影響的換道策略,并在有(無)交通燈控制的BML 模型中研究該換道策略對系統臨界密度和通行能力的影響.

1 改進的BML 模型

1.1 BML-I 模型和BML-II 模型

在Biham 等的文章[1]中曾提出兩種滿足排斥體積效應的模型,本文稱為BML-I 模型(有交通燈)和BML-II 模型(無交通燈).在BML-I 模型中,交通路網用N×N的二維方形網格(元胞)表示,采用周期性邊界條件,其中引入了同步交通燈.每個元胞有3 種狀態:被一輛北向或東向行駛的車輛占據、或空置.在奇(偶)數時間步,當東(北)向行駛車輛前方相鄰元胞為空且交通燈允許其運動時,則向前行駛一格占據該元胞,否則該車輛保持靜止;北(東)向行駛車輛全部保持靜止.模擬結果顯示,隨著系統車輛密度的增加,該模型會發生由自由流狀態到堵塞狀態的一階相變.臨界密度記為ρc,當系統密度ρ <ρc時,系統處于自由流狀態,車輛平均速度=1;當系統密度ρ >ρc時,系統處于堵塞狀態,車輛平均速度=0.在BML-II 模型中,則取消了交通燈,北向和東向行駛車輛可以同時運動,當不同方向行駛的車輛試圖同時進入同一元胞而發生沖突.此時通常以等概率選擇其中一輛車進入目標元胞,而另一輛車則保持靜止.由于缺少交通燈的調控,不同方向行駛車輛之間的沖突會顯著降低系統的通行效率,從而導致BML-II 模型的臨界密度明顯小于BML-I模型.

1.2 改進的BML-I 模型和BML-II 模型

在BML 模型中,車輛只能按照自身原有的方向行駛,一旦遇到擁堵只能原地等待,對車輛的行駛有很大的限制,與實際情況有較大差別,因此應放松車輛行駛限制,允許車輛采取換道措施.此外在真實交通中,司機可以通過獲取當前道路信息來調整行駛路線.Wang 等[33]在兩條路徑的選擇中提出了將車輛通過路段所用時間、車道平均速度以及車輛分布狀況作為反饋信息的三種道路信息反饋策略.李娟等[34]分析了目標車道上的車輛和換道車輛之間的相互作用,發現車輛之間信息互換可以提高系統的平均速度,能夠更充分地利用道路資源.基于上述考慮,本文提出了一種根據道路信息確定車輛是否換道的換道策略.

本文首先改進了BML-II 模型,稱為mBML-II 模型.該模型換道策略如下.

以東向行駛車輛為例,其換道行為如圖1 所示.圖中黑色方塊為所研究的向東行駛車輛,此時由于前方相鄰元胞被其他車輛占據,若要繼續前進則需進行換道.在進行換道前,司機需要判斷相鄰車道是否可以換道.若司機想進行換道,首先圖中由“×”標記的元胞必須為空,否則車輛無法進入該車道,其次由“+”和“0”標記的元胞都不能被北向行駛的車輛占據,否則車輛換道后將無法繼續前進.北向行駛的車輛換道條件與此類似.

圖1 東向車輛換道示意圖Fig.1 Sketch of lane-changing behavior for an eastbound vehicle

當滿足換道條件后,司機再根據前車轉向燈和道路交通信息綜合判斷是否進行換道.在本模型中,北向行駛車輛換道時考慮左側車道,東向行駛車輛換道時考慮下側車道.在進行換道時,首先根據當前車道與目標車道信息,并考慮轉向燈的狀態后將這些交通信息量化如下

其中,ρ0表示當前車道的密度,即當前車道上車輛總數目與該車道長度之比,ρ1表示目標車道的密度;v0表示當前車道的車輛平均速度,即當前車道上運動車輛(包括離開當前車道的車輛)的總數與該車道上車輛總數之比,v1表示目標車道的車輛平均速度;τ 表示目標車道前方同向行駛車輛的轉向燈狀態,當τ=0(1)時表示前方車輛無(有)轉向行為,且=1-τ.c為系數,在本文中取c=2.m0和m1分別表示當前車道和目標車道的交通信息量化值.

在得到當前車道和目標車道的交通信息量化值后,根據如下公式計算出車輛的換道概率

其中,P1代表車輛換至目標車道的概率.當r

對于BML-I 模型做類似的改進,相應的模型稱為mBML-I 模型.在mBML-I 模型中,僅增加了同步交通燈,其余部分與mBML-II 模型相同.

2 模擬結果與對比分析

本文對4 種不同系統尺寸(包括16×16,32×32,64×64 和128×128)進行了模擬.模擬時間根據系統尺寸做相應調整:當系統尺寸為128×128 時,每個樣本共運行106個時間步,取后105個時間步作為統計時間.每個密度下重復計算20 次,再取速度的平均值.

2.1 mBML-II 模型的模擬結果與分析

首先給出BML-II 模型、mBML-II 模型以及BML-I 模型在不同系統尺寸下的速度?密度關系圖.從圖2 中可以看出這三種模型隨著系統密度的增大,都會發生從自由流到堵塞的一階相變,且相變的臨界密度ρc會隨著系統尺寸的增大而減小.在ρ<ρc時,3 種模型都處于自由流狀態,系統平均速度=1;在ρ >ρc時,BML-II 模型以及BML-I 模型處于堵塞狀態,系統平均密度接近于零,而mBMLII 模型由于引入了換道機制,車輛在遇到堵塞時會通過換道繞過堵塞區域,所以在較高密度下平均速度仍有波動.值得注意的是,mBML-II 模型在最小的系統尺寸(16×16)下,已經表現出明顯的一階相變特征,而BML-I 和BML-II 模型都有一個相當大的相變過渡區域.當系統尺寸較小時,mBML-II 的臨界密度與BML-I 模型接近,但隨著系統尺寸的增大,臨界密度明顯減小,但仍比BML-II 模型有明顯增大.

圖2 BML-II 模型、mBML-II 模型以及BML-I 模型在不同系統尺寸下的速度?密度關系Fig.2 Speed-density curves of BML-II model,mBML-II model and BML-I model at different system sizes

圖3 給出系統尺寸為128×128 時,3 種模型的速密關系曲線,此時系統尺寸較大,呈現出明顯的一階相變特征,且過渡區較小.從圖中可以看出BML-II模型的臨界密度約為0.1,mBML-II 模型的臨界密度約為0.15,BML-I 模型的臨界密度約為0.35.可以發現mBML-II 模型相比于BML-II 模型,臨界密度提升了50%.由此可見,引入換道策略可以提升交通網絡的通行能力,在一定程度上改善交通狀況.但是相比于BML-I 模型,mBML-II 模型的臨界密度依然較小,可見交通燈依然是改善交通狀況更有效的策略.

圖3 系統尺寸為128×128 時三個模型的速密變化曲線對比Fig.3 Comparison of the velocity-density curves in three models(when the system size is 128×128)

圖4 為系統密度ρ=0.2 時,3 種模型不同時刻下的車輛時空分布圖.由圖3 可知,當ρ=0.2 時,BMLII 模型和mBML-II 模型均處于堵塞狀態,而BML-I模型處于自由流狀態.

由圖4(a)可知,對于BML-II 模型,當t=100 s時,系統中已經產生了多處局部擁堵;當t=1000 s時,系統演化為全局擁堵,產生了從右上角到左下角延伸的擁堵帶,常呈現樹枝狀分叉結構.對于mBMLII 模型,當t=100 s 時,系統自發演化成與水平軸成135?的條狀分布.當t=1000 s 時,系統中產生了與水平軸成45?的局部擁堵區域,此時系統處于局部自由流與局部擁堵共存的狀態.隨著時間的延長,堵塞帶逐漸擴展,當演化時間繼續延長時,系統將處于全局擁堵狀態,產生了一條與水平軸成45?的擁堵帶.通過對比,可以看到在BML-II 模型中,全局擁堵狀態下的堵塞帶界限分明,不同行駛方向的車輛被明顯區分開,僅有極少數車輛混雜在不同方向的車隊中,而在mBML-II 模型中,由于引入了換道規則,全局擁堵狀態下產生的堵塞帶并沒有明顯界限,不同行駛方向的車輛混雜在一起;對于BML-I 模型,由于尚處于自由流范圍,系統自發的形成了與水平軸成135?的有序條帶,見圖4(c).

下面進一步討論共存相的產生和演化機制.本文所引入換道策略允許車輛選擇路況更好的道路,但在換道過程中,換道的車輛可能會導致局域密度增大.如圖5 所示,在左下角處產生了車輛分布的密集區,在此區域內車輛易產生換道.由于車輛的換道行為,在該密集區內會產生與自由流的有序條帶方向相反的倒鋸齒結構,且此處車輛換道位置被占據,無法通過換道而進行解鎖.當系統密度較高的情況下,如果自鎖未能及時解開,當進入擁堵區的車輛多于離開的車輛時,擁堵區不斷向上游(右下方)傳遞,局部擁堵最終發展為全局擁堵,如圖4(b)所示.當系統尺寸足夠大的時候,一旦出現局部擁堵后,最終演化為全局擁堵的概率顯著增大,因而在mBML-II 模型中出現的自由流和局部堵塞共存相不能長時間保持,臨界密度也會進一步減小.

圖4 密度為0.2 時,BML-II 模型、mBML-II 模型以及BML-I 模型在不同時刻下的車輛空間分布圖Fig.4 Space distributions of vehicles in BML-II model,mBML-II model and BML-I model at different times

圖5 mBML-II 模型在尚未形成完全擁堵時的車輛空間分布圖Fig.5 Spatial distribution of vehicles in mBML-II model before the global congestion occurs

2.2 mBML-I 模型的結果與分析

下面研究在mBML-I 模型中道路信息和轉向燈對相變的影響.如圖6 所示,隨著密度的增大,mBMLI 模型同樣發生從自由流到堵塞相的一階相變,臨界密度隨系統尺寸的增大而減小.和BML-I 模型(參考圖2(c))不同的是,即使在系統尺寸很小時,系統也發生明顯的一階相變,相變的過渡區域更窄,且不隨系統尺寸的增大而明顯改變.與mBML-II 模型相比,雖然臨界密度也隨系統尺寸的增大而減小,但是減小的幅度較小,與BML-I 模型的臨界密度接近,表明mBML-I 模型的性質與BML-I 模型類似.

圖6 mBML-I 模型在不同系統尺寸下的速密關系曲線Fig.6 Speed-density curves of mBML-I model under different system sizes

圖7 密度為0.5 時,BML-I 模型、mBML-I 模型在不同時刻下的車輛空間分布圖Fig.7 Spatial distributions of vehicles in BML-I model and mBML-I model at different times(ρ=0.5)

圖7 為系統密度為ρ=0.5 時,兩種模型在不同時刻的車輛空間分布圖.此密度已經超過臨界密度,最終都會形成全局擁堵.對比圖4(a)與圖4(b)未形成全局堵塞的車輛空間分布可以發現,mBML-I 模型形成的局部堵塞帶邊界較為光滑,而在BML-I 模型中則較為粗糙,在橫向和縱向分別產生了許多細小的長條狀擁堵.在形成全局擁堵后的時空圖中,這種現象更加明顯.這是由于添加換道規則后,處于細小長條狀擁堵處的車輛會選擇換道然后繼續行駛.與圖4(b)產生全局擁堵的時空圖相比,mBML-I 模型在形成全局擁堵后,北向車輛與東向車輛之間有明顯的分界線,不會產生mBML-II 模型中不同方向車輛混雜的現象,見圖4(b).總體而言,mBML-I 模型和BML-I 模型的定性性質類似.這表明當考慮交通燈時,換道雖然可以改變局部行為,但不能改變系統的全局特征,它主要由交通燈所確定.

圖8 分別為BML-I 模型和mBML-I 模型在小系統尺寸(16×16),密度ρ=0.4 時不同時刻的車輛空間分布圖.該密度略低于臨界密度.從圖中可以看出,當t=100 s 時,由于隨機初始分布的影響,兩種模型車輛分布均呈現無規律的混亂狀態.隨著時間t的不斷增加,這兩種模型均會朝著與水平軸成135?的條帶狀演化,但演化所需要的時間不同.mBML-I 模型會更快趨于規則的車輛空間分布狀態,而BML-I 模型在t=10 000 s 時車輛的空間分布仍較為隨機,難以觀察到明顯的規則斑圖.這也是BML-I 模型平均速度略低于mBML-I 模型的原因(比較圖2(c)和圖6).由此可見,引入換道規則有利于系統更快達到規則有序的分布,從而導致系統的相變區域變窄.

圖8 密度ρ=0.4 時,mBML-I 模型和BML-I 模型在不同時刻下的車輛空間分布圖,從上至下依次為t=102 s,104 s,5×104 sFig.8 Spatial distribution of vehicles in mBML-I model and BML-I model at different times(ρ=0.4 and t=102 s,104 s,5×104 s)

從圖9 中可以明顯看出當系統尺度足夠大時,BML-I 模型和mBML-I 模型的臨界密度非常接近.這說明交通燈在地面道路網絡中起著關鍵的作用.在有交通燈控制的系統中,換道策略雖然能夠影響系統中車輛演化過程,但并不能有效改善整體交通狀況,因而無法有效提高臨界密度,但是mBML-I 模型中的過渡區域更窄.在現實交通中,當密度過大時,交通擁堵必然發生,即使換道行駛,依然難以避開擁堵.

圖9 系統尺寸為128×128 時,BML-I 模型與mBML-I 模型的速密曲線Fig.9 Speed-density curves of BML-I model and mBML-I model when the system size is 128×128

3 結束語

本文對BML 模型進行推廣,引入了綜合考慮轉向燈影響和車道信息的換道機制,并在周期性邊界條件下進行模擬.模擬結果表明對于mBML-II 模型,由于添加了換道機制,相比于BML-II 模型,系統的臨界密度明顯增大,交通運行狀況有較大改善.同時發現存在一種新的自由流和局部擁堵的臨時共存相.當密度超過臨界密度后,局部擁堵將逐漸擴展直至形成全局擁堵,而當密度較小時,局部擁堵則會消融并演化為自由流;對于BML-I 模型,添加換道機制后,系統臨界密度并沒有明顯改變,雖然局部車輛運動的特征有所改變.總體而言,引入換道機制以后,系統由自由流狀態到堵塞狀態的相變過渡區域明顯變窄,即使在最小的系統尺度下依然呈現出明顯的一階相變特征,這與BML 模型有較大差異.對于較小尺度的系統,無交通燈的mBML-II 模型的臨界密度已接近有交通燈的BML-I 模型,說明引入換道機制的效果明顯,但對于系統尺寸較大的情況,其臨界密度要明顯小于BML-I 模型,這是因為在更大的系統中,局部擁堵更有可能發展成為全局擁堵.如何避免由于換道引起的副作用,更有效地提高交通網絡通行能力,還需要做進一步的研究.