地圖上的數(shù)學(xué)猜想

■華興恒

在印制地圖時(shí)，為了便于區(qū)分，常把相鄰的國(guó)家或地區(qū)印成不同的顏色。當(dāng)然，如果每個(gè)國(guó)家或地區(qū)各用一種顏色，確實(shí)能達(dá)到區(qū)分的目的，可顏色太多，不僅給地圖的印制帶來(lái)麻煩，而且看上去也不美觀。由此產(chǎn)生了這樣一個(gè)問(wèn)題：至少需要幾種顏色才能將相鄰的國(guó)家或地區(qū)區(qū)別開來(lái)？

翻開中國(guó)地圖可以看到，湖北省被陜西、河南、安徽、江西、湖南、重慶六省、市包圍，按說(shuō)需要七種顏色來(lái)區(qū)別它們，可實(shí)際上這七個(gè)省、市中由于有好幾個(gè)沒(méi)有共同的邊界，因此只要四種顏色就可以區(qū)分省界。

人們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一張地圖上的行政區(qū)劃不管多么復(fù)雜，只需使用四種顏色著色，一般都能保證各省、市公共邊界地區(qū)為不同的顏色，這就是著名的“地圖四色問(wèn)題”，又叫“四色猜想”。

最早提出“地圖四色問(wèn)題”的是英國(guó)人費(fèi)南西斯·格斯里。1852 年，剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)的格斯里在英格蘭的地圖上進(jìn)行了著色實(shí)驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：要使有公共邊界的兩個(gè)區(qū)域顏色不同，3 種顏色太少，5種顏色太多，4 種顏色剛好！

格斯里想用數(shù)學(xué)的方法予以證明，未能如愿。為了尋求答案，他請(qǐng)教了著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根。摩爾根也沒(méi)有找到解決這個(gè)問(wèn)題的方法，于是他寫信向自己的好友——著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓請(qǐng)教。哈密爾頓收到摩爾根的信后，對(duì)“四色問(wèn)題”進(jìn)行了論證。但直到他逝世，這個(gè)問(wèn)題也沒(méi)有得到解決。

1878 年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊在該國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了一篇文章，將上述問(wèn)題歸納為“四色猜想”，并通報(bào)給倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)的會(huì)員們，以尋求證明方法。

一年后，一位名為肯普的律師兼數(shù)學(xué)家試圖用反證法證明“四色猜想”。他先假設(shè)一張地圖至少要用5 種顏色，然后證明結(jié)果與假設(shè)矛盾，從而說(shuō)明需要4 種顏色。但11 年后的1890 年，數(shù)學(xué)家赫伍德指出肯普的證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗z漏了一個(gè)重要的步驟，而這個(gè)步驟的計(jì)算量又十分龐大。于是，“四色猜想”變成一個(gè)懸而未決的問(wèn)題。

100 多年來(lái)，“四色猜想”成了困擾數(shù)學(xué)家們的世界難題之一。直到20 世紀(jì)中葉，電子計(jì)算機(jī)的誕生為該問(wèn)題的求解提供了技術(shù)條件和理論可能性。1976 年，美國(guó)伊利諾斯大學(xué)教授肯尼斯·阿佩爾和沃爾夫?qū)す侠酶咚儆?jì)算機(jī)證明了這個(gè)猜想，在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

據(jù)報(bào)道，阿佩爾和哈肯沿著肯普的思路編制了一個(gè)嚴(yán)密的計(jì)算機(jī)程序，對(duì)2 000多張不同構(gòu)型的地圖進(jìn)行模擬計(jì)算，用了3 臺(tái)高速計(jì)算機(jī)，花費(fèi)1 200 多個(gè)小時(shí)才獲得成功。

如今，仍有許多數(shù)學(xué)家繼續(xù)探究“四色猜想”，畢竟對(duì)他們來(lái)說(shuō)，探索的過(guò)程比問(wèn)題本身更加有趣。