奧林匹克數學的“誤區”“價值”“局限”與“思考”

張麗玉，牛偉強，熊 斌

奧林匹克數學的“誤區”“價值”“局限”與“思考”

張麗玉1，2，牛偉強3，熊 斌1，2

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．上海市核心數學與實踐重點實驗室，上海 200241；3．鄭州師范學院 數學與統計學院，河南 鄭州 450044）

奧林匹克數學是一門特殊的數學教育課程．人們對奧數的理解存在一些誤區，并非每一個學生都適合學習奧數，學習奧數的目的也不是為了獲獎，奧數優勝者更不一定會成為數學家．奧數是數學資優生教育的重要方式，也是選拔科學研究人才的有效手段．盡管奧數有不菲的教育價值，但是奧數也有一定的教育局限．奧數教育的對象、內容、時間都不可過度，奧數教育應充分重視數學思維能力的培養，數學資優生的教育不應僅限于奧數，大學數學預科課程也應成為資優生的重要選擇，奧數優勝選手的高等教育一定要因材施教．

奧林匹克數學；奧數的認識誤區；奧數的教育價值；奧數的教育局限

1 問題提出

2018年5月3日《人物》雜志發表了對兩屆國際數學奧林匹克金牌得主付云皓的訪談文章——“奧數天才墜落之后”，文中發出了一種“傷仲永”式的感慨，哀嘆“天才墜落”．不久，受訪人做出回應，在知乎網站發表了“在腳踏實地處，付云皓自白書”．隨后大量的報刊媒體和公眾相繼就這一事件發表評論．有人哀嘆“奧數天才墜落”，有人表示“腳踏實地地奮斗為何被惋惜”，也有人懷疑“奧數天才當老師是‘墜落’嗎”，還有人質疑“是奧數天才的墜落，還是媒體的墮落”，等等．這兩篇文章的出現引發了人們關于奧林匹克數學的價值以及數學資優生職業發展的激烈爭論．原因在于，一方面許多報刊媒體對奧數獲獎者稱贊有加，甚至冠以“數學天才”，期望很高；另一方面人們發現不少奧數獲獎者工作之后并沒有取得人們期望的成就．這一矛盾引發了人們對奧數以及奧數獲獎者職業發展的大量疑問和困惑．研究者認為，奧林匹克數學是數學教育特別是資優生教育的一個重要研究領域，面對公眾的疑問和困惑，數學教育界有必要也有義務澄清人們對奧林匹克數學的認識，給公眾一個滿意的解釋和答復．

2 奧林匹克數學的認識誤區

奧林匹克數學簡稱為奧數，又叫做競賽數學，它是一門面向中小學生的數學競賽教育課程．而“數學奧林匹克”這一叫法最初來源于蘇聯數學界類比古希臘體育競賽稱呼當時的中學生數學競賽，1959年第一屆國際數學奧林匹克在羅馬尼亞舉行，是為國際中學生數學競賽的開端[1]．盡管中國早在20世紀50年代末部分城市就已經開始舉辦中學生數學競賽，并且“中國數學奧林匹克”“全國高中數學聯合競賽”等競賽活動早已聲名遠播國內外，但是社會媒體以及廣大家長對奧數的認識仍比較膚淺和片面，甚至還存有很多錯誤的認識和理解．

2.1 每個學生都適合學習奧林匹克數學

隨著奧數影響的擴大，特別是媒體關于奧數冠軍的大力宣傳，每個家長多多少少都會對奧數有些初步的認識．然而，大多數家長對奧數缺乏足夠的了解，只是看到別人家的孩子在學習奧數，于是盲目地送自己的孩子學習奧數，卻根本不考慮自己的孩子是否適合學習奧數．這些盲目的做法導致了奧數特別是小學奧數學習對象過度擴大化，也是導致奧數遭到質疑和批評的主要原因．目前已有一些學者在實證研究的基礎上分析小學生大面積參與奧數學習的根源，并提出了一些較有針對性的建議[2]．事實上，奧數從本質上來說是一種英才教育，是面向少數數學學有余力的資優生的教育．對于這個認識，相關專家甚至明確表示大約只有5%的學生適合學習奧數[3]．可見，奧數是一種小眾性的教育，遠非每一個學生都適合學習奧數．如果一個學生連學校基本的數學都沒有掌握，那么就根本沒有必要學習奧數．如果學校的數學課程學有余力且數學興趣濃厚，希望進一步提高自己的數學能力，那么不妨嘗試一下學習奧數．

2.2 學習奧林匹克數學的目的就是獲獎

數學是中小學公認的一門較為困難的科目，對大多數學生來說數學學習也并不是一件容易的事情，奧數的學習更是如此．盡管中國每年都有大批學生參加奧數學習，然而能夠學有所成并且最終脫穎而出的學生并不多，特別是能夠進入國家隊參加國際數學奧林匹克的學生更是極為有限．原因在于每年一屆的國際數學奧林匹克每個國家參賽的隊員都不會超過6人，而能夠獲獎的學生更是少之又少．因此，奧數學習的目的不能僅僅是為了獲獎，奧數學習更多的是對學生數學思維能力的發展，特別是對大多數不會獲獎的學習者來說，其目的更應該是發展學生的數學思維能力．因此，數學思維能力的發展應該引起奧數教育的重視．事實上，中國著名心理學家林崇德教授早已指出數學思維品質與數學能力密切相關，通過培養學生的數學思維品質能夠有效地提高學生的數學能力[4]．那種認為學習奧數目的就是為了獲獎的想法是十分功利的，也是極為狹隘不可取的．

2.3 奧數優勝者應成為數學家

盡管奧數優勝者尤其是奧數冠軍在數學方面通常具有一定的天賦和才能，但是能夠在奧數中獲得好成績不一定意味著能夠在數學研究中取得成功．原因在于數學競賽需要的能力與數學研究需要的能力存在很大的差異，數學競賽所需的能力只是數學研究能力的一小部分[5]．再說，奧數優勝者甚至奧數冠軍只是中學數學競賽獲獎者，他們讀大學時有很多專業可以選擇，并不一定會選擇讀數學，更不一定走數學研究的道路，從而成為數學家．例如，在一份關于1985—2003年中國奧數參賽選手職業情況的調查中，發現大約只有49%的奧數參賽者的職業與數學研究和教學有關[6]．事實上，即使大學生數學競賽獲獎者未來也不一定會成為數學家．例如，調查發現世界上最知名的大學生數學競賽——普特南數學競賽的獲獎者中成為數學家的比例也僅有60%左右[7]．可見，那種認為奧數優勝者就應該成為數學家否則就是墜落的想法是十分荒唐的．奧數優勝者為何不可以成為一名普通的數學教師？奧數優勝者對基礎數學教育的理解可能更為深刻，從事基礎數學教育培養未來的中小學數學教師其意義并不亞于數學研究．

3 奧林匹克數學的教育價值

關于奧數的教育價值，已有不少學者[8-11]進行了研究，論述了奧數對青少年發展的積極作用，如：激發數學學習興趣，促進數學能力發展，提高學生的素質，等等．然而，也有學者[12]對奧數的教育價值提出了不同的看法甚至質疑．這一事實表明數學教育界對奧數教育價值的認識并不一致．因此，有必要進一步深入探討奧數的教育價值．分析已有研究，發現大多學者都是從個人的角度論述奧數的教育價值，闡述奧數對學生個人發展的促進作用．然而，分析還發現從社會的角度論述奧數教育價值的研究相對較少，并且闡述奧數對社會發展價值的研究也不夠充分．研究者試圖從社會的角度進一步論述奧數的教育價值，闡述數學競賽在資優生教育和人才識別方面的價值，作為對已有研究的補充．

3.1 數學競賽是數學資優生教育的重要方式

數學資優生是國家寶貴的人才資源，是國家重要的潛在科學研究人才，他們的教育和發展應該引起國家和教育界的充分重視．事實上，資優教育特別是數學資優教育是國際資優教育研究的一個熱點領域．然而，中國的資優教育特別是數學資優教育并未引起人們足夠的重視．數學資優教育研究無論是理論還是實踐研究成果都很缺乏，對指導數學資優教育的實踐嚴重滯后．著名數學家和數學教育家波利亞指出：“將未來的數學家發掘出來是一件最重要的事情，假如他們選擇了一項錯誤的職業，那么他們的才能將遭到浪費．”[13]那么怎樣才能避免人才的浪費，特別是科學研究人才的浪費呢？研究者認為這需要制定因材施教的教育策略，給數學資優生充分的發展空間．普通的數學課程對資優生來說是遠遠不夠的，資優生沒有足夠的發展數學才能的機會和空間．因此，資優生必須要補充額外的數學教育．奧數在世界各國都是中小學數學教育的重要內容之一，對學有余力的中小學生也是一項發展自己數學才能的機會．這一事實表明奧數完全可以作為數學資優生教育的一種方式，供學有余力的學生額外學習，加速發展．

3.2 數學競賽是選拔科學研究人才的有效手段

現代數學競賽源于1894年的匈牙利，匈牙利數學競賽的優勝者后來涌現出與其人口和面積不成比例的世界一流的數學家和科學家，數學競賽由此引起了歐美各國的重視，隨后在世界各地開始流行開來[1]．改革開放后，中國開始參與跨國數學競賽活動，特別是國際數學奧林匹克．國際數學奧林匹克是當今世界上最著名的中學生數學競賽，它的題目極具挑戰性，在世界各國數學教育界都有很大的影響力．國際數學奧林匹克的獲獎選手通常在數學方面具有特別的天賦和才能，在職業發展上不少獲獎選手后來選擇了數學研究，很多人最后成為了數學家，不少人已經在數學研究中取得了杰出的成績，甚至獲得了數學界的最高獎——菲爾茲獎．盡管中國的奧數獲獎選手尚未有人拿到數學界的最高獎，但是已經有不少人在國內外知名高校或科研院所拿到了教授或研究員職位．另外，一項實證研究發現作為世界上最知名的大學生數學競賽，普特南數學競賽的獲獎者——普特南會員成為數學家和科學家的比例高達77%，涌現出杰出科學家的比例更是超過10%[7]．這些事實充分表明數學競賽是識別和選拔科學研究人才的有效手段．

4 奧林匹克數學的教育局限

盡管奧林匹克數學在資優生教育以及科學研究人才識別方面極具教育價值，但是奧數作為一種競賽教育也存在一定的教育局限．因此，應該辯證地看待奧數的價值，既不能抹殺奧數的教育價值也不能忽視奧數的教育局限．

4.1 奧林匹克數學問題的局限

奧數中的問題基本上都是初等數學的內容，特別是代數和幾何，由于內容較為初等，很少涉及微積分等高等數學的思想和方法．因此，奧數中的問題往往技巧性較強，這就導致了奧數培訓的過程中師生過于重視解題技巧．然而，從本質上說數學玩的是概念而不是技巧[14]．可見，奧數問題與數學研究問題存在一定的差別．那么什么樣的問題才是“好的”數學研究問題呢？著名數學家陳省身認為“好的”數學問題是需要長時間思考的，需要幾天、幾個月甚至數年才能解決，而幾個小時就能解決的問題通常不會是好的數學研究問題[15]．這是因為數學研究中最重要的是思想方法，而只有通過長時間的思考才有可能創造出新的數學思想或數學方法．因此，奧數問題的局限需要引起人們足夠的重視，不可過度沉迷于奧數問題，以免耽誤今后數學研究事業的發展．事實上，數學問題的選擇對學生的學習極為重要，而不合適的問題有可能誤導學生，甚至給學生帶來錯誤的認識，影響學生今后的發展．

4.2 奧林匹克數學對象的局限

奧數與普通的學校數學有很大的區別．普通的學校數學教育的對象是全體在校學生，它面向的是每一位學生，這是因為每一個學生都需要獲得基本的數學知識，但是奧數教育的對象卻是少數數學資優生，至少是學校數學學有余力的優秀學生．這意味著奧數比學校數學的教育對象狹窄得多，其對象具有十足的小眾性．奧數從本質上來說是一種精英教育，它僅僅適合少數有數學天賦且數學興趣濃厚的優秀生．對于這個認識，已經有學者指了出來．例如，游安軍指出：“數學競賽不是基礎教育，更不能搞成普及教育，數學競賽應該是針對少數數學英才學生的一種英才教育．”[16]可見，奧數的對象具有一定局限性．奧數原是一種面向中學生的課外活動，但是由于升學等各種因素的影響，中國奧數教育的對象擴展到了小學生．在小學階段可能大部分學生還有能力和興趣學習奧數，但是到了高中階段參加奧數學習的學生就僅占很小一部分了，大部分學生則基本沒有能力也沒有必要學習高中奧數．

4.3 奧林匹克數學目標的局限

國際數學奧林匹克的目標是“激發青年人的數學才能，引起青年對數學的興趣，發現科技人才的后備軍，促進各國數學教育的交流與發展”[17]．奧數教育原本的目標十分美好，但在中國的現實卻離目標有一定的差距，中國中小學生參加奧數教育不乏有一些功利性．調查發現中國小學生學習奧數的人數眾多，有些學生學習奧數的目的與獲獎或升學有一定的關系．然而，數學競賽中能夠獲獎的僅僅是一小部分極為優秀的學生，對大多數學生來說學習奧數不可能獲獎．事實上，小學奧數教育的過度功利性也正是引起社會媒體批評的一個主要原因．此外，奧數對中小學生數學能力的發展也有一定的局限．北京大學數學教授許晨陽認為數學研究中需要許多不同的數學能力，數學競賽培養的能力只是其中的一部分，盡管適度的訓練可以在某種程度上發展學生的數學能力，但是過度的訓練卻有可能阻礙學生數學研究所需能力的發展[5]．因此，奧數優勝選手很有必要認識到奧數存在的不足，并且能夠跳出奧數的圈子，盡快進入并適應高等數學的學習和研究．

5 奧林匹克數學的實踐反思

奧林匹克數學一方面具有重要的教育價值，另一方面也有自身的教育局限．那么奧林匹克數學怎樣才能既發揮應有的教育價值又克服自身的教育局限呢？根據對奧林匹克數學教育的實踐與反思，研究者認為奧林匹克數學教育應該特別注意以下幾個方面，從而更好地促進數學資優生的成長與發展．

5.1 奧林匹克數學教育的對象及內容和時間都不可過度

首先，奧數是針對中小學生的一種特殊的數學教育，它可以作為有數學天賦和數學興趣的優秀學生的課外數學教育．因此，奧數教育的對象需要注意不要隨意擴大化．其次，奧數的教育內容主要是競賽需要的知識和方法，這些題目具有一定的局限性，沉迷于奧數題目有可能阻礙日后數學的進一步學習，不利于學生數學研究能力的發展．再次，參加數學競賽需要付出極大的精力進行備考，這對于中小學特別是高中正常的教學秩序肯定會產生不小的甚至是不可忽視的影響．因此，奧數學習的時間需要把控好．最后，學生是否有必要多次參加國際數學奧林匹克是一個值得討論的問題．雖然從為國爭光的角度來說值得一試，但是從奧數選手個人職業發展角度來說存在不小的風險．對于這個認識，北京大學數學科學學院的許晨陽教授曾對自己從事奧數的學習經歷做過深刻的反思，他認為如果學生已經無法從奧數學習中獲益，那么最好是中斷奧數學習，這樣或許對今后學生職業的發展更為有利[5]．

5.2 數學思維能力培養應成為奧林匹克數學教育的目標

一般來說，奧數教育不能把獲獎作為教育的目標，這是因為能夠得獎的畢竟只是少數優秀的學生，對大多數學生來說很難在奧數比賽中獲獎．奧數教育應該注意培養學生的數學興趣，防止過度的訓練磨滅學生的數學興趣，不利于奧數學習者特別是優勝選手今后數學事業的發展．因此，奧數教育的目的應該是為了進一步發展學生的數學思維能力而不是在競賽中獲獎．數學思維能力特別是數學創造性思維能力的培養應成為奧數教育的主要目標．中國著名心理學家林崇德認為數學思維能力的發展是提高學生數學能力的有效手段，他指出可以通過培養學生數學思維的靈活性、數學思維的批判性、數學思維的獨創性、數學思維的深刻性以及數學思維的敏捷性來提高學生的數學思維品質，從而提高學生的數學能力[4]．事實上，奧數中很多題目非常適合用于訓練資優生的數學思維品質，對發展資優生的數學思維能力極為有利．學校數學通常是一類常規的數學問題，奧數作為一類非常規問題對發展學生的數學思維能力可以發揮不可替代的作用．

5.3 大學數學預科課程和奧林匹克數學教育應互為補充

數學資優生的教育方式應該是多樣化的，不應該局限于奧數教育．大學預科課程、數學競賽教育以及專家個別輔導都是數學資優教育的方式．可見，奧數僅僅是數學資優生數學教育的一種方式，數學資優生還應該有其它的數學教育方式．數學學有余力的學生特別是數學資優生如果學習興趣不在奧數，那么也可以開設一些其它的數學拓展課程．例如，目前歐美一些國家知名中學廣泛開設的大學數學預科課程可以作為奧數教育的額外選擇．事實上，數學資優生應該盡快走到科學的前沿，而不是僅僅局限在初等數學的范圍，原地打轉．美國一些頂尖的數學與科學中學為資優生開設了豐富的大學先修課程，這些課程的開設符合資優人才的教育需求，取得了良好的教育效果[18]．近年來，大學先修課程逐漸引起國內學者的注意，已有學者呼吁大學數學先修課程應該成為高中優秀學生的重要選擇[19]．數學資優生的教育不僅要重視數學教育還要重視物理、計算機等相關學科的學習，這對數學資優生全面發展，預防學習偏科等問題有重要意義．

5.4 奧林匹克數學優勝選手的高等教育一定要因材施教

奧數優勝選手是一類特殊的人才，這些人才通常在數學和科學方面具有特別的天賦和才能，極有可能在未來成為數學家或科學家．因此，為了更好地促進奧數優勝選手的發展，這些特殊人才的培養有必要施以特殊的教育．奧數優勝選手的高等教育很有必要根據相應人才的特點因材施教，只有這樣才能減少低成就資優生的數量，減少乃至杜絕“傷仲永”現象．奧數優勝選手可以通過特殊的途徑升入大學，希望大學對這些學生施以恰當的教育，促進這些特殊人才的發展．事實上，不少研究表明低成就資優生產生的一個重要原因就是沒有得到適當的教育．然而，不幸的是中國關于低成就資優生的研究相當匱乏，關于奧數優勝選手長期的跟蹤研究更是罕見．因此，因材施教應該引起中國數學資優教育工作者的充分重視，特別是關于低成就資優生的研究亟待加強．最后，評價奧數優勝者的職業成就應該等到奧數優勝者充分發展，甚至達到職業的頂峰，然后才可以通過長期的縱向研究，從而更好地評判奧數的價值以及奧數優勝者的職業成就．

6 結語

奧數是面向資優生的一種特殊的數學教育．盡管奧數教育在中國發展的過程中出現了一些不盡如人意的現象，但是這并不能成為批評甚至否認奧數教育價值的原因．那種一刀切，禁絕奧數的想法并不能解決奧數教育中出現的問題．研究者認為目前亟需做的不是批評奧數，而是深入研究奧數，探索奧數教育的規律，使奧數真正回歸到資優生教育的軌道上來．事實上，已有學者指出奧數教育的關鍵在于優秀的教師．一個優秀的教師能夠判斷一個學生是否適合學習奧數，并且能夠為學生提供合適的奧數教育．目前，奧數教育中出現的諸多亂象根源主要有兩個，一是奧數培訓機構、家長甚至學生功利性太強[20–21]，另一個是合格的奧數教師嚴重匱乏[21]．這兩個原因導致了大量不合適的學生在學習奧數或者少數合適的學生卻沒有得到相應的奧數教育．因此，如何解決這兩個問題，特別是培養大批合格乃至優秀的奧數教師應該引起數學教育界的重視和思考．

[1] 朱華偉．從數學競賽到競賽數學[M]．北京：科學出版社，2009：6–7，43–51．

[2] 周一妍，蔡怡文．為何只有5%的中國學生適合學奧數[EB/OL]．（2017–04–06）[2018–06–10]．http://www.sohu. com/a/132252441_639570．

[3] 賈隨軍，王尚志，呂世虎，等．中小學生奧數學習的現狀調查研究——以“北京市”“蘭州市”“重慶市”為例[J]．數學教育學報，2018，27（3）：97–102．

[4] 林崇德．學習與發展——中小學生心理能力發展與培養[M]．4版．北京：北京師范大學出版社，2017：281–326．

[5] 許晨陽．數學競賽有何意義？數學競賽對我數學研究的影響[EB/OL]．（2017–02–08）[2018–06–10]．http://blog.sina. com.cn/s/blog_4ee63ce90102xg7z.html.

[6] 何偉．“奧數天才”付云皓們，都去哪兒了[EB/OL]．（2018–05–15）[2018–06–10]．https://www.thepaper.cn/newsDetail_ forward_2122996．

[7] 牛偉強，何憶捷，熊斌．普特南數學競賽的歷史與啟示——一項實證研究[J]．數學教育學報，2020，29（1）：76–80．

[8] 沈文選．奧林匹克數學研究與數學奧林匹克教育[J]．數學教育學報，2002，11（3）：21–25．

[9] 張維忠．數學“奧賽”：價值、問題與對策[J]．全球教育展望，2004，33（5）：73–76．

[10] 朱華偉．試論數學奧林匹克的教育價值[J]．數學教育學報，2007，16（2）：12–15．

[11] 熊丙章，劉麗穎．論素質教育觀下的數學競賽[J]．數學教育學報，2013，22（6）：66–68．

[12] 周玲．數學競賽在中國的實踐質問其教育價值[J]．數學教育學報，2010，19（5）：28–30．

[13] 波利亞．數學的發現——對解題的理解、研究和講授[M]．劉景麟，曹之江，譯．北京：科學出版社，2006：305．

[14] 李邦河．數的概念的發展[J]．數學通報，2009，48（8）：1–3．

[15] 張孝達，陳宏伯，李琳選．數學大師論數學教育[M]．杭州：浙江教育出版社，2007：55–57．

[16] 游安軍．也論中國數學競賽的教育性質——與羅增儒先生商榷[J]．數學教育學報，2009，18（1）：48–51．

[17] 熊斌．奧數無奈被“綁”被“異化”[J]．湖南教育（C版），2009（7）：27–28．

[18] 程紅兵．誤讀美國教育：中國英才教育批判——訪美國托馬斯·杰弗遜科技高中[J]．人民教育，2011（17）：17–20．

[19] 王尚志，胡鳳娟．大學數學先修課與優秀高中學生的發展[J]．數學教育學報，2017，26（3）：5–9，14．

[20] 倪明．問題出在“太功利”上[J]．湖南教育（C版），2009（7）：26–27．

[21] 付云皓．從首個IMO季軍談起[EB/OL]．（2018–04–15）[2018–06–10]．http://www.sohu.com/a/228329770_ 100131496．

On the Myths, Values, Limitations, and Reflections of Mathematical Olympiads

ZHANG Li-yu1, 2, NIU Wei-qiang3, XIONG Bin1, 2

(1. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China;3. School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Henan Zhengzhou 450044, China)

Mathematical Olympiads entail a special kind of mathematics education curriculum. There are some myths with respect to Mathematical Olympiads. For example, not every student needs or is suited to Mathematical Olympiads. The goal of Mathematical Olympiads is not necessarily winning prizes. High performers in Mathematical Olympiads are not necessarily going to become research mathematicians. Mathematical Olympiads are an important approach to nurture mathematically talented students, but they also serve as an effective means to identify those with potential and talent in scientific research. Although Mathematical Olympiads have important educational value, they also have limitations. The content and the time dedicated to preparing for Mathematical Olympiads should not be excessive. Instead, the focus of preparing for Mathematical Olympiads should be on the students’ development of mathematical thinking. In addition, mathematically gifted students should not be limited to just learning mathematics for Mathematical Olympiads. Instead, some college-level mathematics courses should also be an important option for mathematically gifted students. In addition, the higher performers in Mathematical Olympiads should be placed into appropriate college-level mathematics courses based on their prior mathematics knowledge and thinking when they enter college.

Mathematical Olympiads; myths about Mathematical Olympiads; value of Mathematical Olympiads; limitations of Mathematical Olympiads

G421

A

1004–9894（2020）03–0099–04

2020–03–01

上海市核心數學與實踐重點實驗室課題——數學實踐（18dz2271000）

張麗玉（1974—），男，江西南昌人，華東師范大學博士生，主要從事數學方法論與數學教育研究．

張麗玉，牛偉強，熊斌．奧林匹克數學的“誤區”“價值”“局限”與“思考”[J]．數學教育學報，2020，29（3）：99?102．

[責任編校：周學智、陳雋]