預應力條件下系統顫振對磨削工件表面形貌的影響研究

（東北大學，沈陽 110819）

預應力磨削加工是通過在工件兩端施加預應力，從而實現集工件表面質量與殘余應力的宏觀控制于一體的新型磨削工藝[1]。在預應力磨削加工過程中，砂輪上的磨粒通過與工件表面材料的切削、劃擦以及耕犁作用，實現對工件表面微觀幾何形貌的獲取[2-3]。然而，基于應力剛化效應，預應力會引起砂輪與工件間法向接觸剛度的改變，由于接觸剛度是衡量磨削加工過程中系統穩定性的關鍵參數[4]，因此系統的顫振強度也會受到影響，從而改變加工工件的表面質量。加工完成的工件表面質量會直接影響工件表面的應力分布、接觸摩擦學、疲勞極限等力學性能[2-3]，因此，有必要對影響預應力加工過程中工件表面形貌的主要因素進行更為深入的研究，以獲得良好的工件表面質量。

近年來，為了能夠直觀準確地預測工件表面形貌，許多關于表面形貌的研究逐漸展開。盛曉敏等人[5]對比了氧化鋁和氧化鋯兩種工程陶瓷在高效磨削下的工件表面波紋度，發現在高速磨削中，工件表面質量主要受系統強迫振動的影響。陳東祥和田延玲[6]基于Johnson變換和線性濾波技術生成砂輪表面，然后結合磨削過程運動學理論及干涉條件，求得工件表面形貌。Zhou[7]等基于砂輪磨粒正態分布，預測了磨削后工件的表面形貌。Liu[8]通過考慮磨粒的形狀特征，建立了工件表面形貌的仿真模型。總體來看，以上研究都是基于磨粒與工件的交互作用建立的數學模型，其考慮影響形貌的因素均局限在磨粒與工件間，并未考慮磨削系統的動態效應對工件表面的影響規律。Cao等[2]雖然建立了砂輪受迫振動下磨削工件表面形貌的數學模型，但砂輪中、低速加工狀態下的受迫振動往往可以通過砂輪的動平衡實驗進行控制，而預應力磨削加工過程中的系統顫振是工件表面材料去除過程中不可避免的振動形式。顫振作為系統內部的自激振動，直接作用于工件表面，而預應力的施加則可以通過影響砂輪與工件間的法向接觸剛度而引起顫振強度的改變，這必然會影響加工工件的表面質量。因此，有必要深入研究預應力條件下系統顫振對工件表面形貌的影響規律，以獲得較高的微觀幾何精度。

以往關于系統振動對加工工件表面質量的研究主要集中于諧波振動的影響，對于實現磨削系統內部自激振動的宏觀控制，并同時對加工工件微觀表面質量進行研究，鮮見報道。為了研究預應力條件下系統顫振對工件表面微觀幾何精度的影響，本文建立了多因素耦合數學模型。首先，建立了系統磨削過程動力學模型，其中磨削力幅值通過解析模型獲得，動態部分通過數值模型獲得。然后，基于動力學模型的計算結果，建立了砂輪及工件表面形貌的數學模型，得出了不同動態參數及顫振強度下工件表面形貌的分布規律。最后，通過與磨削實驗結果進行對比，驗證了模型的可行性，進而證明了預應力條件下系統顫振對工件表面形貌的影響規律。

1 磨削系統動力學建模

1.1 砂輪系統時域動態建模

為了研究磨削系統顫振強度與磨削后工件表面形貌的具體關系，建立了兩自由度磨削系統動力學模型：

式中：下標g、w分別代表砂輪和工件；M、C、K分別代表質量、剛度和阻尼系數；Fn是砂輪與工件的法向磨削力，由靜態法向磨削力和動態法向磨削力決定。其中，靜態磨削力Fns來源于磨粒和工件三種作用形式的積累，這三種作用形式分別為：切削作用、耕犁作用、滑擦作用。三種對應的磨削力可以通過解析法進行求解，對于動態磨削力Fnd，可以通過當前的數學模型進行數值計算來獲取。因此，Fns和Fnd計算公式如式(2)所示[9-10]：

式中：bs為砂輪與工件的有效磨削寬度；Cd為動態磨粒密度；lc為接觸弧長；Kn是砂輪與工件的接觸剛度；α0為砂輪與工件的重疊系數；ap是砂輪在工件表面的切削深度；γ0為切削比；Tg為砂輪的轉動周期。由于砂輪的靜態磨削力Fns是由單磨粒靜態磨削力Fnstotal進行積分求和獲得，因此應先對單磨粒靜態磨削力進行建模求解。單磨粒的靜態磨削力依照作用形式的不同，可分為切削力Fnchip、耕犁力Fnplow、滑擦力Fnrub。這三種磨削力之和即為當前磨粒的靜態磨削力。需要注意的是，當前磨粒的靜態磨削力受未變形切削厚度的影響，數值不斷變化，因此，需要對當前磨粒的靜態磨削力進行期望計算，求出單磨粒的靜態磨削力期望值E(Fnstotal)后，再進行總磨削力的計算。其中，不同作用形式下單磨粒磨削力與未變形切削厚度具體關系如圖1所示。

求得系統的靜態磨削力與動態磨削力后，可獲得當前磨削系統的時域磨削力，如圖2所示。隨著時間的進行，磨削力先波動性增長，然后振動逐漸平穩，磨削過程趨于穩定。然而，整個過程中磨削力的波動勢必會導致工件表面形貌分布的不一致性。工件表面不一致性的影響可以用滲透量來衡量，滲透量反應了當前磨削系統的動態特性，是由砂輪和工件的相對位移決定的，即：

對砂輪與工件間的動態相對位移進行計算，并同時改變砂輪與工件間的接觸剛度，可得相對位移的時域分布情況，如圖3所示。通過對比可以看出，不同接觸剛度下的磨削系統振動情況存在一定差異性。具體表現為：隨著接觸剛度的增大，砂輪與工件間產生單位變形的作用力增大，從而使砂輪與工件間相對位移的平均幅值增大。基于以上分析，可以看出，接觸剛度可作為衡量砂輪與工件間顫振強度的依據。同時，接觸剛度可通過改變顫振強度來影響磨削系統的穩定性。

1.2 砂輪系統頻域動態建模

磨削系統顫振較強時，砂輪時域振幅及頻域各分頻幅值波動較大。這將引起系統的動態穩定性變差，從而很大程度上影響加工零件表面質量與加工效率。因此，為了衡量系統幅值的波動程度，需對磨削系統的穩定性進行動態建模，以獲得磨削加工過程中系統的動態穩定程度。此外，在加工參數確定時，需將系統的穩定程度用一動態參數進行評定，即砂輪與工件間的接觸剛度。通過接觸剛度的大小來衡量系統的穩定程度，進而衡量顫振的劇烈程度。對式(1)進行Laplace變換可得：

式中：ξ為阻尼比；nω為系統固有頻率。對動態磨削力部分進行Laplace變換可得：

結合式(5)，并將實部與虛部分離可得：

通過頻域動態建模可以看出，磨削加工過程中砂輪與工件間接觸剛度并不是恒定的，而是與系統各項參數相關。當接觸剛度過高時，產生單位變形的磨削力變大，過大的動態磨削力作用于工件表面，會引起系統的穩定性降低。同時，系統動態特性的改變也會對加工工件的微觀表面質量產生一定的影響。因此，可通過系統接觸剛度的變化對參數化系統的穩定程度進行研究，繪制磨削系統穩定性葉瓣圖，并以此作為衡量顫振強弱的依據。

考慮到磨床工作平臺剛性遠大于砂輪剛性的事實，因此砂輪系統參數的選取對磨削系統顫振強弱具有決定作用。不同砂輪參數下，接觸剛度與主軸轉速的葉瓣圖分布情況如圖4所示。可以看出，系統接觸剛度會隨著砂輪主軸轉速的變化呈現葉瓣型波動。當砂輪轉速較小時，葉瓣圖波動較劇烈。隨著砂輪主軸轉速越大，接觸剛度的波動頻率減小，但數值范圍波動增大。此外，系統的穩定性會隨著砂輪阻尼和剛度的增加而增強，且葉瓣會隨著參數的增加，沿著主軸轉速增大方向右移。同時系統的穩定性將會隨著砂輪質量的增加而減小，葉瓣會隨著對應參數的減小而沿著主軸轉速增大方向右移。綜合以上分析可以得出，存在當前工況下臨界接觸剛度，當接觸剛度大于當前工況臨界接觸剛度時，顫振加劇，反之則顫振減弱。因此，可用接觸剛度的大小作為衡量顫振強弱的依據。

2 表面形貌數學仿真

2.1 砂輪表面形貌建模

砂輪的表面形貌直接影響加工完成后工件的表面質量，對比其他刀具加工方式，磨削加工最大的差異性在于砂輪表面是由許多不規則分布的磨粒構成，而這些磨粒就是磨削加工過程中的切削刃。砂輪的型號決定了磨粒的本構特征與分布狀態的差異性，這也間接影響了加工完成后工件表面形貌分布情況。因此，在分析加工工件表面形貌質量前，需針對砂輪的粒度號和結構號，對砂輪的表面形貌進行數學建模，并以此作為輸入進行后續分析。

砂輪磨粒的平均尺寸dg、方差σg以及磨粒間距Δg是模擬砂輪表面的基礎，而這些參數可以通過砂輪的粒度號和組織號計算出來，關系式如式(8)所示[2,4]：

式中：M和S分別為砂輪的粒度號和組織號，本文中，M=46，S=9。根據求得的磨粒尺寸參數，進行砂輪表面磨粒高度分布的分析。

研究表明，磨粒高度在砂輪表面并不遵循高斯分布。這是因為砂輪使用前的修整過程使得砂輪表面的磨粒高度形成了具有一定偏斜和峰度的非高斯分布。Johnson變換是實現高斯分布向非高斯分布轉換的有效工具，依據矩法得到的Johnson傳遞系統可以提供四種傳遞曲線[11-12]。

式中：z＇為高斯分布磨粒高度；z為非高斯分布磨粒高度；參數γ、δ、ξ、λ通過Hill法確定。其中，轉換過程中輸入、輸出的偏斜和峰度關系見式(13)和式(14)[13-14]：

式中：skη和kη為輸入序列的偏斜和峰度；而skz和kz為最終輸出序列的偏斜和峰度。先通過確定skz和kz的值來確定Johnson轉換系統的參數γ、δ、ξ、λ的值，進而通過選擇合適的轉換曲線，以實現正態序列向非正態序列的轉換。

由于實際砂輪表面具有特定的自相關函數，因此有必要對已生成的非高斯表面進行二維線性濾波處理。轉換表達式為：

式中：h為砂輪表面的濾波函數；為Johnson轉換獲得的非高斯分布。對式(15)進行傅里葉變換，可得：

式中：Z、H、分別為z、h、的傅里葉變換。其中，H(k,l)可以寫成：

H(k,l)還可以用輸入和輸出的概率密度函數表示：

式中：S z(k,l)和分別為輸出和輸入序列的概率密度函數。其中，輸出序列S z(k,l)也可以通過模擬表面自相關函數的傅里葉變換得到。假設模擬表面的自相關函數為：

式中：xβ和yβ分別是x和y方向表面輪廓的自相關長度。則輸出序列的概率密度函數可以寫成：

結合式(18)—(20)，可以求得砂輪表面的濾波函數h(r,s)，再結合式(15)，則可確定砂輪表面的形貌。砂輪表面磨粒尺寸可分為基本尺寸dg與突出高度h，任意位置突出高度滿足d(i,j) =ds+h(i,j)。以3 mm×3 mm尺度的磨粒高度信息為一組，存入對應的元胞矩陣CELL(k)中，k遍歷砂輪表面后，則獲得整個砂輪磨粒高度信息。圖5a即為k=1位置處的砂輪表面磨粒分布情況，圖5b即為a圖中Y=0處的磨粒高度分布情況。砂輪表面的磨粒信息用CELL儲存，并作為工件形貌分析的輸入參數而調用。

2.2 工件表面形貌建模

磨削后工件表面形貌的獲得來源于磨粒與工件表層材料復雜的去除過程。根據之前的分析，該過程主要受三種因素影響：砂輪的初始形貌、磨粒與工件的三種作用形式以及磨削顫振。其中，工件的表面形貌和磨粒與工件的三種作用形式已在前文的模型中考慮過，因此該部分重點建立了相鄰磨粒與工件去除過程的運動軌跡數學模型（如圖6所示）。同時，將前文分析的顫振因素耦合到當前模型中。

磨粒的運動軌跡分為繞著砂輪的轉動及沿著磨削方向的平動，則當前的磨粒運動軌跡方程為：

式中：x和y分別為X和Y方向的絕對坐標；θ為相鄰磨粒沿砂輪半徑方向的夾角，磨粒間距由式(8)中gΔ決定；sr為砂輪的半徑；t為從當前磨粒轉到下一磨粒所用的實際時間。

結合整個磨削過程，后切入的磨粒要繼續切削前一磨粒的切削表面，每一個磨粒運動軌跡都可以構成一個局部坐標系，則任意磨粒局部坐標系下的運動軌跡為：

式中：x＇j和y＇j為第j個磨粒在局部坐標系下的局部坐標；rj為考慮磨粒高度的當前磨粒距離砂輪中心的距離，rj=hj+rs，其中，hj是已求得的砂輪表面磨粒高度的非高斯分布。將任意磨粒的運動軌跡方程轉換到整體坐標系中來，可得：

式中：ΔOj為第j個磨粒經過局部坐標系原點時砂輪在工件上的平動距離。因此，ΔOj可以寫為：

式中：vw和sv分別為砂輪的進給速度和線速度。結合式（3）、（20）、（21），將前文分析的磨削系統的顫振因素耦合到表面形貌模型分析中來，可得：

式（26）即耦合了砂輪的初始形貌、磨粒與工件的三種作用形式以及磨削顫振的砂輪磨粒軌跡數學模型，通過求得每顆磨粒在工件表面對應位置軌跡的最小值，獲得了給定尺度下磨削工件微觀表面形貌分布情況。為了與實驗數據相符合，本文采取實驗測得的砂輪轉速Ng=2828 r/min，砂輪直徑ds=250 mm，砂輪進給速度vw=1800 mm/min，磨削深度設為100 μm，則不同工況下工件的表面形貌如圖7所示。

圖7分別表示了當前參數、不考慮顫振因素、砂輪轉速Ng=4000 r/min以及砂輪進給速度vw=4800 mm/min下的工件表面形貌。通過對比圖7a、c、d可以看出，砂輪的轉速和工件的進給速度直接影響磨削完成后工件的表面形貌，工件的表面輪廓高度隨著砂輪轉速的增大而減小。然而，工件的表面輪廓高度隨著砂輪進給速度的增大而增大。同時，通過對比圖7a、b可以看出，磨削顫振可以引起工件表面形貌的粗化。為了進一步說明磨削顫振對表面形貌的影響，下文將進行磨削實驗驗證。

3 預應力磨削微觀表面形貌分析

3.1 預應力對系統顫振強度的影響

預應力磨削加工可以有效地實現對磨削工件表面殘余應力的控制。然而，由于應力剛化效應的存在，預應力施加的同時，也會影響到砂輪與工件間的法向接觸剛度[4,15-16]。法向接觸剛度會改變磨削加工系統穩定程度，從而引起顫振強度的變化，系統顫振強度的變化必然會對工件的表面微觀幾何形貌產生影響。結合前期研究結果，砂輪和工件的接觸剛度可以用來衡量顫振的強弱，一定范圍內，磨削顫振強度隨著接觸剛度的增大而增強[4]。預應力可以調整應力剛化的效果，從而改變接觸剛度的變化規律，即工件兩端所施加的預應力可一定程度上增大砂輪與工件間的法向接觸剛度。因此，可采用控制變量的方式，通過改變預應力大小來引起法向接觸剛度的改變，從而間接控制顫振強度的大小。其中，預應力的施加可通過在工件兩端施加扭矩的方式實現：

式中：ο為預應力；A為工件的界面積；d2為螺紋中徑；d為螺紋公稱直徑；M為施加的扭矩；P為螺距；fc為螺紋的摩擦系數，無潤滑時fc=0.15。

磨削深度為30 μm時，主軸加工過程中的振動情況如圖8所示。由于加工前砂輪已進行了動平衡實驗，消除了偏心及不對中對轉子諧波振動的影響，因此加工過程中所測得的振動情況即為磨削顫振。通過對比可以看出，一定范圍內，磨削過程中的顫振強度隨著預應力的增大而增強，這也驗證了前文的理論分析。即基于應力剛化效應，通過施加預應力，可以一定程度上增大砂輪與工件的法向接觸剛度。基于前文分析，接觸剛度可作為衡量顫振強弱的依據，這說明一定范圍內，可通過預應力的施加來改變接觸剛度的大小，從而間接調節顫振的強度。

3.2 實驗研究

為了驗證預應力條件下系統動態特性對工件表面質量的影響規律，本實驗分為兩部分：一部分為相同預應力下工件不同位置處的表面輪廓高度與仿真結果的對比；另外一部分為不同預應力下的工件相同位置處的表面輪廓高度對比。

實驗所用的磨床型號為BLOHM ORBIT 36，選用陶瓷結合劑的白剛玉砂輪，粒度號為F46，砂輪線速度為37 m/s，直徑為250 mm，待磨工件材料為45鋼，尺寸為50 mm×10 mm×20 mm，固定在夾具上的工件進給速度為vw=1800 mm/min，預置的磨削深度為100 μm。夾具通過磨床的電磁鐵吸附在磨床上，同時，工件固定于夾具上方，設定參數后，進行實驗。采用OLYMPUS 4100觀測加工完成后工件表面形貌的微觀分布情況。

3.3 不同位置工件表面形貌觀測

為了研究不同位置處的工件表面形貌分布情況，將工件分為切入區、中間區、切出區三部分進行形貌分析，如圖9所示。然后分塊采集工件表面輪廓高度值，分別計算各個部分的表面輪廓高度的平均值，再將所得的平均值與模型計算的結果進行對比。

預應力為33 MPa時，不同位置處工件表面輪廓高度值理論與實驗的對比結果如圖10所示。砂輪表面磨粒因顫振所引起的相對位移變化量會直接影響磨粒在工件表面的軌跡分布，從而影響加工工件微觀表面質量。圖中紅線表示考慮加工過程中砂輪與工件動態相對位移所求得的表面高度，計算方法對應式(26)；藍線表示忽略動態相對位移量所求得的加工工件表面輪廓高度分布情況。結合圖2的動態磨削力結果進行分析，可以看出，磨削開始時，雖然系統的顫振比較劇烈，但砂輪還沒有完全切入，因此不會引起較大的表面輪廓高度值。隨著磨削過程的進行，工件的表面輪廓高度繼續增大，直到磨削深度達到了預置值，系統進入穩定磨削狀態，工件的表面輪廓高度增加緩慢。當砂輪平動至切出區時，由于邊緣效應的影響，磨削進入非穩態，引起工件表面輪廓高度值的增大。同時，對比考慮和不考慮顫振因素的兩部分結果，可以看出，考慮顫振因素時的表面輪廓高度值較大，并與實驗測得的表面輪廓高度值更為接近。因此，顫振使加工工件的表面粗化，在實際加工生產中不應被忽略。

3.4 不同預應力下工件表面微觀形貌對比

本實驗中，共設置100、66、33 MPa三種大小的預應力，磨削深度設置為200 μm，工件進給速度為vw=1200 mm/min。通過OLYMPUS 4100顯微鏡對工件中間區進行顯微觀測，同時繪制工件表面輪廓高度與預應力大小關系曲線，結果如圖11和圖12所示。

不同預應力下，磨削工件中間區域的平面及空間顯微分布結果如圖11所示。基于應力剛化效應，可以看出，隨著顫振強度的減小，工件表面微觀形貌逐漸變得光滑，毛刺也逐漸減少。同時，為了獲得不同顫振情況下輪廓高度分布情況，對觀測區域的表面輪廓高度進行均值化處理，可得觀測區輪廓高度平均值隨顫振強度的變化規律。從圖12中可以看出，磨削后工件的表面輪廓高度隨著預應力的增加而增大，結合應力剛化效應，說明磨削后工件的表面輪廓高度隨著顫振強度的增強而增大。

通過兩組實驗可以看出，預應力磨削加工工件表面的輪廓高度并非完全一致，其平均值會隨著磨削方向呈現一定的規律性分布。即由于磨削系統不同位置處動態強度的不同，導致磨削工件微觀表面平均輪廓高度沿著磨削方向呈增大的趨勢。雖然預應力磨削加工可以一定程度上調整殘余應力的分布，但過大地施加預應力會引起加工過程中顫振強度的增強，從而一定程度上降低了加工工件表面微觀幾何精度。此外，在實際加工中，為了獲得理想的工件表面輪廓分布，需采取一定手段降低顫振對工件表面質量的影響，如上文分析所得的提高砂輪轉速和降低砂輪進給速度。

4 結論

1）預應力磨削加工是一個動態時變過程，磨削力在加工過程中先波動式增大，后隨時間推移而逐漸穩定。動態磨削力的存在導致磨削后工件表面輪廓高度分布的不一致性，磨削后的工件表面平均輪廓高度沿砂輪的進給方向逐漸增大。

2）雖然預應力磨削加工可以一定程度上調整殘余應力的分布，但預應力過大會引起加工過程中顫振強度的增強，從而一定程度上影響工件表面微觀幾何精度。因此，在對工件表面微觀幾何精度有較高需求的磨削加工過程中，需要嚴格控制磨削顫振的強度，以獲得理想的加工表面。

3）砂輪轉速和砂輪進給速度直接影響預應力磨削加工后的工件表面形貌分布。工件表面輪廓高度隨著砂輪轉速增加而減小，隨著砂輪進給速度的增加而增大。