例談以函數切線為背景的不等式問題

陳俊藝

(福建省晉江市毓英中學 362251)

高考數學試卷中，導數作為重要的考點之一，常作為壓軸題來考查.導數的解答題綜合性強，區分度高，可以很好地考查學生的能力.而不等式的證明和已知不等式成立求參數范圍是常見的題型.深入挖掘這些題目的背景，可以發現很多和函數切線有關.利用切線來逼近曲線，很好地體現了微積分中最基本的思想——“以直代曲”.本文通過幾個例題來談談這個問題.

一、試題呈現

例1(2017年全國Ⅱ卷文科21題)設函數f(x)=(1-x2)ex,

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

圖1

分析(2)利用幾何畫板畫出函數f(x)的圖象如圖所示，當x∈[0,+)時，f(x)為凸函數.直線y=ax+1經過(0,1)，所以當射線y=ax+1(x∈[0,+))位于切線y=x+1位置或上方時f(x)≤ax+1成立.反之則f(x)≤ax+1不恒成立.

解答(1)略.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.

當a≥1時，設函數h(x)=(1-x)ex，h′(x)=-xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，+∞)單調遞減，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=(1+x)h(x)≤x+1≤ax+1.

當00)，所以g(x)在[0，+∞)單調遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1.

則x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.與題設矛盾.

綜上，a的取值范圍是[1，+∞).

本題以切線為背景，本質應該是函數的凹凸性問題，f(x)≥ax+b(f(x)為凹函數)或者f(x)≤ax+b(f(x)為凸函數)恒成立的問題常常可以轉化為直線y=ax+b位于函數f(x)的切線位置或切線的下(上)方的問題來加以解決.

二、“切線不等式”的應用

根據y=ex，y=lnx的圖象以及它們的切線，容易得到下面的不等式：ex≥x+1,當且僅當x=0時等號成立；lnx≤x-1,當且僅當x=1時等號成立.

圖2

這里把它們稱為“切線不等式”.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當a≥1時，f(x)+e≥0．

解(1)易求得切線方程是2x-y-1=0．

(2)f(x)+e≥0?ax2+x-1+ex+1≥0．

當a≥1時，ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1.

x2+x-1+ex+1≥0?x2+x-1+x+2≥0?(x-1)2≥0.

通過上面兩個高考試題可以發現“切線不等式”對我們解題中有很大的幫助.在高考中以“切線不等式”為背景的試題還有很多，這里就不一一列舉.

三、利用切線進行放縮

上面的兩個例子用“切線不等式”進行放縮來證明不等式或者求參數的范圍.下面我們一起來看幾個與函數零點有關的不等式的證明問題.

例4(2018年石家莊一模理科21題)已知函數f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.

(1)求a,b；

圖3

本題涉及函數的雙零點，這是近幾年的熱點問題.利用切線作為媒介來對兩個零點進行放縮，巧妙地解決這個題目，很好的體現了數形結合的思想，培養了學生的直觀想象素養.

四、求雙參數最值

在導數的壓軸題中經常會涉及到參數，其中常見的一種思路是把“雙參”變為“單參”，這里和大家分享幾道以切線為背景的求雙參最值的問題

(1)求f(x)的解析式及單調區間；

即曲線y=ex恒在直線y=(a+1)x+b上方或者與之相切.

故(a+1)b≤e2x1(1-x1).

記g(x)=e2x(1-x)，g′(x)=e2x(1-2x),

這些與函數的切線有關的試題，很好地考查了學生的函數與方程，數形結合，轉化和化歸思想.通過上面的題目的解答，可以發現對于導數綜合題,老師應該指導學生重視函數的圖象，利用數形結合來指引我們的解題思路，從而在問題的解答上有所突破.