探究導數(shù)與函數(shù)極值、最值的實際運用

黃惠強

(湖北省黃岡中學惠州學校 438000)

利用導數(shù)求函數(shù)極值和最值是函數(shù)解題過程中的一種常見方法，但同樣該種方法還可以運用到其他方面，從而有效地加深學生對極值和最值的理解.因此，本文將結合實際解題經(jīng)驗，從利用導數(shù)與極值求函數(shù)的最值、利用導數(shù)與極值求參數(shù)的范圍、利用導數(shù)與最值研究恒成立問題三個方面入手，探究利用導數(shù)求極值和最值的實際運用.

一、利用導數(shù)與極值求函數(shù)的最值

求函數(shù)的最值問題是高考常見的題型，涉及到的知識面較廣，方法靈活多樣.我們可以利用函數(shù)的有界性和單調(diào)性等性質(zhì)來進行解答，只要運用得當，就可以有效地簡化整個題目的難度，使得學生快速找到解題的方法.下面將以函數(shù)的單調(diào)性為切入點，探討如何利用導數(shù)與極值來求函數(shù)的最值.

思考在本題中函數(shù)只可能在區(qū)間的端點或者在極值點取得最大值.而本題解題的關鍵是極值點的位置，所以第一步就要對極值點是否在[m,2m]內(nèi)進行討論，再有效的借助函數(shù)的單調(diào)性，就可以得到函數(shù)的最值.

由f′(x)>0,得0

由f′(x)<0,得x>e.

∴f(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減.

(3)當e≤m時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,2m]上單調(diào)遞減，

注意：通過觀察是看不出本題中函數(shù)的單調(diào)性，故要對函數(shù)進行求導，接著求出函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間，再結合函數(shù)的大致圖象就能快速找到突破口，從而有效地解題.但在運用此種方法時，必須著重確認函數(shù)的定義域.在大部分函數(shù)中，定義域存在一定的限定條件，給解題增添了一定的難度，所以在解函數(shù)類題目時要養(yǎng)成“不求定義域不做題”的習慣.

二、利用導數(shù)與極值求參數(shù)的范圍

利用導數(shù)與極值求參數(shù)的范圍問題在高考題目中相對較難，由于引入了未知的參數(shù)，學生很容易考慮不全面，從而導致答題不完整，得不到完整的分數(shù).因此，在利用極值求參數(shù)的范圍時，首先要將題目中的參數(shù)采取一定的方式從原式分離出來，然后再利用其不含參數(shù)一邊的式子求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值再進行求解，就能有效地找到參數(shù)所能夠滿足的范圍區(qū)間.

例2已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2-36x+16-a(a為實數(shù)),若方程f(x)=0有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍．

思考這是一個明顯地利用函數(shù)單調(diào)性和極值求參數(shù)范圍的問題.方程f(x)=0即2x3-3x2-36x+16-a=0.在解答過程中先分離參數(shù)，可得到2x3-3x2-36x+16=a.方程f(x)=0有三個不同實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=a與y=2x3-3x2-36x+16的圖象有3個交點的問題.

解析方程f(x)=0即2x3-3x2-36x+16-a=0.

則2x3-3x2-36x+16=a.

令g(x)=2x3-3x2-36x+16,

則g′(x)=6x2-6x-36=6(x-3)(x+2).

由g′(x)>0得x<-2或x>3；

由g′(x)<0得-2

∴函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-2)和(3,+∞),遞減區(qū)間是(-2,3)

由已知得g(-2)=60,g(3)=-65,g(0)=16.

圖1

∴結合函數(shù)單調(diào)性及以上關鍵點畫出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示.

方程f(x)=0有三個不同實根即函數(shù)y=a與g(x)=2x3-3x2-36x+16的圖象有3個交點,

∴a∈(-65,60)

注意：本題的解題關鍵是求出函數(shù)的導數(shù)和極值，然后有效地利用函數(shù)的單調(diào)性和關鍵點畫出函數(shù)的大致圖象，最后通過觀察函數(shù)的圖象求出參數(shù)a的范圍.在實際解題過程中，需要注意極值點并不一定是函數(shù)的最值點，而是函數(shù)值增大與減小的臨界點.

三、利用導數(shù)與最值研究恒成立問題

恒成立問題一直是高考命題的熱點，把不等式恒成立問題、函數(shù)問題和導數(shù)問題交匯命制壓軸題成為一個新的熱點命題方向.在解答這類問題的過程中，教師可以引導學生嘗試利用函數(shù)的最值來進降低試題的難度.從本質(zhì)上來看，就是有效地利用了轉(zhuǎn)化這一思想，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值的問題，使得整個題目的突破口更加明顯，從而有效解題.

例3已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.

(2)若對任意的x∈[1,e]，都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解析(1)f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2).

∴b=0.

(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,

得(x-lnx)a≤x2-2x.

∵x∈[1,e],

∴l(xiāng)nx≤1≤x，由于不能同時取等號，

∴l(xiāng)nx0，

當x∈[1,e]時，x-1≥0，x+2-2lnx=x+2(1-lnx)>0，從而h′(x)≥0.

∴h(x)min=h(1)=-1，

∴a≤-1.

故實數(shù)a的取值范圍為(-∞，-1]．

注意:利用最值可以研究某一類恒成立的問題.一般來說，f(x)≥a對x∈R恒成立等價于f(x)min≥a;f(x)≤a對x∈R恒成立等價于f(x)max≤a.

總之，在函數(shù)解題的實際過程中，適當?shù)乩脤?shù)可以有效的簡化問題.因此，教師要引導學生利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，再將它們與其他題型融合，就能解答很大一部分與函數(shù)相關的題目，從而提升學生的數(shù)學水平，讓學生取得更好的成績.