例談合理設(shè)線 巧解定點(diǎn)定值問(wèn)題

朱坤城

(福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 362200)

在高考實(shí)測(cè)中，許多考生在解答解析幾何中面對(duì)的困難往往是繁雜的計(jì)算，導(dǎo)致對(duì)解析幾何的題目失去信心，實(shí)在可惜.筆者認(rèn)為選擇合理的運(yùn)算途徑，可以走出運(yùn)算量大的魔圈，下面以2017年理科全國(guó)Ⅰ卷20題為例.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．

這樣就避開(kāi)了繁雜的計(jì)算，輕松得到定點(diǎn).從解法中不難發(fā)現(xiàn)：這是一類(lèi)由橢圓上任意一個(gè)點(diǎn)P(x0,y0)引出的兩條直線與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的問(wèn)題，具有很好的對(duì)偶性，如果能充分利用其內(nèi)在的這些美學(xué)因素，必將使運(yùn)算更為自然而有規(guī)可循，筆者將這類(lèi)問(wèn)題的解題步驟歸納為：

步驟1：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l:y=kx+b，聯(lián)立方程組，得到關(guān)于點(diǎn)的一元二次方程；

步驟2：根據(jù)韋達(dá)定理求出x1,y1；

步驟3：另設(shè)直線AB的方程y=mx+t，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到一個(gè)關(guān)于k的一元二次方程；

步驟4：再次利用韋達(dá)定理，寫(xiě)出k1,k2的關(guān)系(此時(shí)的k1,k2即為直線PA,PB的斜率.

為了加深對(duì)此法來(lái)解決定點(diǎn)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)，我們?cè)倏匆焕?/p>

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)圓M:x2+(y-2)2=r2(0

因?yàn)榍稍O(shè)直線，我們將解題進(jìn)行得如此輕松！

同樣，此法也可以輕松解決定值問(wèn)題，例如：

(1)求橢圓E的方程；

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P、Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.

(2)證明：依題意得直線PA的斜率存在并設(shè)方程為y=tx-1，P(x1,y1).

另設(shè)直線PQ的方程為y=mx+n，且直線PQ過(guò)點(diǎn)(1，1)，故m+n=1.

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得：

在醫(yī)學(xué)英語(yǔ)翻譯中，句子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，修飾語(yǔ)繁多，各個(gè)從句在翻譯時(shí)的層次也比較模糊。因此，要重點(diǎn)分析原文語(yǔ)法結(jié)構(gòu)，弄清主句與從句之間的關(guān)系，才能做到譯文與原文具有對(duì)等性。

我們?cè)賮?lái)看一例定值的問(wèn)題：

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P，Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)證明：依題意得直線PA的斜率存在并設(shè)方程為y-1=k(x-2)，P(x1,y1).

得(4k2+1)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0，

另設(shè)直線PQ的方程為y=tx+m，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得：

以下再給出兩個(gè)定值的問(wèn)題：

(1)求橢圓E的方程；

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+2)，聯(lián)立方程組

整理得12k2+12tk-3=0.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線DP與E交于另一點(diǎn)Q，直線BP、BQ分別與x軸交于點(diǎn)M、N,試判斷|OM|·|ON|是否為定值？

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線方程為y=tx+1，聯(lián)立方程組

分析近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)解析幾何在高考試題中必有次壓軸題，從學(xué)生解答壓軸題的情況看，究其原因，往往由于或方法選擇不當(dāng)或運(yùn)算不合理造成中途擱淺或結(jié)果出錯(cuò).在教學(xué)過(guò)程中，也有這樣的感覺(jué)，學(xué)生解題很少講究策略或解題技巧，拿到題目就瞎撞亂碰，套路化解題，不講究運(yùn)算是否合理.因此，研究如何增強(qiáng)解析幾何的解題策略、技巧意識(shí)，提高運(yùn)算的速度，優(yōu)化計(jì)算就可以幫助學(xué)生輕松拿分，增加學(xué)習(xí)的樂(lè)趣！