基于GARCH 族模型的美國納斯達克指數波動率研究

汪強WANG Qiang

（安徽財經大學，蚌埠233000）

0 引言

波動率是金融領域研究的重要問題，在金融建模中很多學者都將波動率作為重要的因素放在模型中。如何更好地刻畫波動率的變動規律，是金融研究不斷努力的方向。納斯達克證券交易所是美國三大證券交易所之首，也是全球四大證券交易所之一，自1971年產生以來，證券交易規模逐漸擴大，到2000年已有5000 家公司在其上市。在納斯達克市場的公司主要包括信息軟件、生物技術、金融等行業，納斯達克證券交易所為這些創新型企業的發展起到重要推動作用，如中國的創業板，納斯達克交易所是中小企業融資的好去處，微軟、蘋果等全球著名的公司都從這里起步[1]。納斯達克指數是反應納斯達克證券交易所市場行情的綜合性指標，起點是100，到2018年5月已漲到7200 點。和標普500 指數、道瓊斯指數相比，納斯達克指數還比較年輕，僅有47年歷史，它覆蓋的企業數量比標普500 指數少，風險相對集中，因此波動率較高[2]。

1 文獻回顧及實證假說

關于股指收益的波動率的研究比較豐富，Engle（1982）首次提出ARCH 模型，認為收益的波動具有持續性，可以利用當前及過去的波動率去估計未來的波動率。Bollerslev（1986）在Engle 研究基礎上提出GARCH（p，q）模型，在波動率的時間序列建模上又向前走了一步。隨后，Nelson（1989）、Glosten，Jagannathan and Runkle（1993）相繼提出EGARCH 模型和CJR GARCH-M 模型，并使用這些模型做了實證研究。GARCH 族模型被中國學者廣泛使用，如陳浪南等（2002）利用CJR GARCH-M 模型研究“好消息”與“壞消息”對深圳證券交易所股市波動影響，他認為中國股市存在明顯“政策市”特征，通過不同時期的政策將股市發展分為三個階段，并得出1993-1997年“好消息”比“壞消息”對中國股市波動影響大的獨特現象[3]。

國內學者對中國股市波動率做了很多研究，宋逢明等（2003）使用多種波動率模型研究中國股市的波動特征，并考慮了漲跌停板制度對股市波動率的影響及股市波動率的絕對穩定性和相對穩定性[4]。學者還關注到股市之間的溢出效應，陳守東等（2003）運用Granger 因果檢驗及GARCHM 模型對滬深兩市波動的關聯性進行實證研究，結果是深圳波動的溢出效應更明顯，其波動對上海股市的收益率和波動率影響更大[5]。楊飛虎等（2011）在金融危機背景下建立VAR-GARCH-BEKK 模型對中國股市、香港股市、美國股市和日本股市之間波動的溢出效應做了實證研究[6]。

通過以上文獻回顧和對股指波動的規律研究可知，尖峰厚尾、對稱性和風險溢價等是波動率特征研究的重要內容，本文據此對納斯達克指數提出三個實證假說：H1.收益率分布具有尖峰厚尾特征，不服從正態分布；H2.“好消息”和“壞消息”對波動率的影響不對稱，且“壞消息”對波動率的影響更大；H3.收益率和波動率正相關，即存在風險溢價。

2 數據與模型

2.1 數據

從雅虎金融網選用美國納斯達克指數2014年5月19日到2018年5月18日共1009 個數據，時間跨度四年。該時期沒有受到較大的金融危機等大波動影響，對未來波動率預測具有重要參考價值。在交易時間內股票指數每分每秒都在波動，本文僅選用每日的收盤價作為當天的價格情況。2014年5月19日指數為4125.81，到期末2018年5月18日指數為7354.34，這段時期股票價格指數基本隨時間呈遞增趨勢，從長期來看這時期股市上漲，股指收益率正多于負，平均收益率為正。股指數據的統計特征：平均值為5422.81，最大值為7588.32，最小值4096.89，不服從正態分布。

2.2 均值和波動率模型

股票價格指數屬于時間序列數據，一般使用時間序列計量模型擬合數據變動情況。當前擬合股票價格收益率均值較廣泛的模型是ARMA（p，q）：

其中，{εt}是白噪聲序列，p 是自回歸項滯后階數，q 是移動平均項滯后階數，βi（i=0，1，…，p）和θj（j=0，1，…，q）為待估計參數。在使用該模型前，必須保證時間序列為平穩序列。該模型可以擬合時間上的相關性，但是不能刻畫時間序列的波動性動態變化情況及集聚現象[7]。RACH（p）模型可以解決這個問題：

p 是擾動項εt平方的滯后階數，αi（i=0，1，…，p）是待估計參數。

為了減少樣本的損失及估計的有效性，Bollerslev（1986）提出GARCH（p，q）模型，該模型能更準確預測未來的條件異方差，模型公式如下：

考慮到“好消息”與“壞消息”對股市波動性影響的差異，TARCH 模型和EGARCH 模型相繼被提出，其中EGARCH（1，1）模型方程如下：

收益率和波動率存在相關性，高風險往往意味著高收益，作為對投資者承擔高風險的一種補償。即在收益率均值模型中加入波動項：

3 實證結果及分析

3.1 收益率均值模型

①序列統計特性。通過對1009 個納斯達克指數一階對數差分求得納斯達克指數收益率，通過EViews8.0 求得該收益率序列的統計特性，如表1。納斯達克指數2014年5月-2018年5月的收益率平均值為0.000573，單日股指變動率即收益率最大值為4.15%，最小值為-4.20%，標準差0.0094。收益率序列偏度系數-0.5656 小于0，最在左偏厚尾，峰度系數5.5679 大于3，存在嚴重的尖峰現象。通過對該收益率正態性的BJ 檢驗可得，BJ 統計值330.68，P 值0.0000，拒絕原假設收益率服從正態分布。

表1 收益率序列統計特性

②時間序列均值模型。時間序列數據建模需檢驗序列的平穩性，通過EViews8.0 對1008 個收益率序列做ADF單位根檢驗可得t 統計量-31.77，對應的P 值接近于0，說明該序列不存在單位根滿足平穩性。檢驗序列的自相關和偏自相關系數，如表2 所示，該模型滯后10 期自相關系數均落在兩倍標準差以內，P 值都明顯大于0。可知該收益率序列不存在序列的自相關，因此收益率模型：

其中μ 為0.000573，εt為隨機誤差項。該時間序列模型擬合曲線為：

表2 收益率序列滯后10 期的AC 和PAC

3.2 波動性模型

①滯后期。使用GARCH（p，q），通過EViews8.0 對殘差序列et=Rt-0.000573 建模。通過對不同滯后期結果的檢驗，確定最優的模型。如表3，從AIC 信息準則看，GARCH（1，2）模型的AIC 值最小，該模型最優；從SC 信息準則看GARCH（1，1）模型的統計值最小，模型擬合最優。這三個模型的參數估計均顯著，且通過對這些模型殘差進行ARCH-LM 檢驗，這些模型殘差不存在ARCH 效應。本文最終采用使用最廣泛、估計參數最少的GARCH（1，1）模型。其估計結果如下：

表3 GARCH 族模型估計結果

②非對稱性。“好消息”和“壞消息”對股指收益率波動影響可能不同，本文建立TARCH（1，1）模型，該模型的AIC 和SC 統計值明顯比GARCH（1，1）要小，且模型估計參數顯著，說明條件方差確實存在非對稱性。再建立EGARCH（1，1），如表3，EGARCH（1，1）的模型參數通過檢驗，建模效果良好。

εt服從正態分布，括號為參數的標準差。該模型估計參數在1%置信水平下均顯著，其中“EARCH”項系數是“EARCH_a”項系數的3 倍，說明該收益率序列存在明顯的非對稱性。“EARCH”項系數為負，好消息對序列波動性的影響要小于壞消息，該實證結果符合經驗假設。從歷史經驗看，美國納斯達克指數在1995-2002年呈現增長趨勢，從1000 點起步，在五年多的時間里增長到5000 點，然后僅僅經過兩年半的時間又跌回1000 點。該指數下跌速度是上漲速度的兩倍。我國2014-2015年經歷了一次股市熱，2014年9月到2015年6月上證綜合指數從2300 點漲到5000 點，然后在短短三個月內又跌回到3000 點。種種經驗數據表明，好消息對股市的波動影響相對緩慢，這種現象跟投資者風險厭惡有很大關系。人們對價格下跌更敏感，在面對股票價格下跌時，投資者紛紛想賣出股票以求減少虧損。

③尖峰厚尾。收益率序列經常出現的尖峰肥尾現象，尖峰肥尾產生的原因就是收益率的波動具有“集聚性”和“持續性”，在收益率靜態分布上就會出現這種現象。假定收益率均值模型殘差不服從正態分布而分別服從t 分布和GED 分布，建立EGARCH（1，1）-t 模型和EGARCH（1，1）-GED 模型。這兩個模型估計參數均顯著，在1%置信水平上都通過檢驗。通過分析，AIC 和SC 統計值小于EGARCH（1，1），其中EGARCH（1，1）-t 模型擬合條件方差方程結果如下：

其中εt服從t 分布。該模型估計參數結果與εt服從正態分布估計結果大小差距較小，但SC 統計值比后者更小。考慮到表1 收益率序列的統計特征，本文認為EGARCH（1，1）-t 模型和EGARCH（1，1）-GED 模型能更好地預測條件異方差[9]。

④風險溢價。根據金融投資理論，風險和收益往往成正比，即存在風險溢價。建立EGARCH（1，1）-M 模型，在收益率方程中添加σt項，該項參數的數值為正說明收益率與股價波動率正相關，參數越大，相關性越大；反之負相關參數越小，相關性越大。根據實證結果，參數估計為0.040，納斯達克指數收益率與其波動正相關，但估計參數不顯著沒有通過檢驗，P 值只有0.174。根據數據和以上分析可知，“壞消息”對股指波動率影響更大，高風險可能對應負收益率，因此估計參數沒有通過檢驗。但是如果用靜態分析，不同個股的收益和波動往往正相關，即存在風險溢價，這是理性投資者的選擇結果。

3.3 條件異方差預測

通過以上分析，EGACH（1，1）-t 模型能夠很好的描述納斯達克指數收益波動率的動態變動過程，本文利用EViews8.0 預測1008 個交易日的條件異方差如圖1。條件異方差的均值為0.0000945，標準差0.00008。2015年6月到2016年初納指的變動幅度較大，2018年以來納指的變動也比較大。這與圖1 預測的條件方差基本吻合，說明EGACH（1，1）-t 模型條件方差樣本內預測效果較好[10]。

圖1 EGACH（1，1）-t 模型條件異方差預測

4 結論與政策建議

美國股票市場有著百年的發展歷史，市場機制比我國成熟很多，且美國投資者以機構投資者為主而中國以私人投資者為主，這些特點均表明美國的證券市場更穩定、有吸引力。本文的研究意義是通過以上的定量研究，有助于投資者根據當前的股市波動來管理好股市風險達到最優的投資目標，以及關于納指風險測度的進一步研究[11]。本文利用統計軟件EViews8.0 對納斯達克指數時間序列做ARCH 效應檢驗，結果表明：納斯達克指數收益率序列平穩且序列無自相關性，因此無法利用過去價格對未來納斯達克指數做出預測。而收益率序列波動率存在ARCH 效應，可通過過去波動情況對未來做出預測，因此適合建立GARCH 族模型對收益率波動性建模，并估計模型的具體參數。

利用GARCH 族模型分別從滯后期、非對稱性、尖峰厚尾和風險溢價四個方面對波動率的實證假設做出檢驗，納斯達克指數波動率具有如下特征：①納斯達克指數收益波動具有“積聚性”和“持續性”，收益率靜態分布具有尖峰厚尾特征，不服從正態分布；②“好消息”和“壞消息”對波動率的影響不對稱，且“壞消息”對波動率的影響更大，這與假設相一致；③納斯達克指數收益率和波動率正相關特征不顯著，即不存在明顯的風險溢價。根據以上納指波動率特征以及參數顯著性等各方面檢驗，本文最佳的波動率模型是EGARCH（1，1）-t，它能精確地刻畫納斯達克指數動態波動規律，其預測的條件異方差效果良好。