GFDM系統(tǒng)中基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除

冉 超，方志軍，張彥宇

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

廣義頻分復(fù)用(GFDM)是正交頻分復(fù)用(OFDM)的廣義形式，在解決OFDM的局限性的同時(shí)保留了OFDM大部分優(yōu)勢(shì)特性，成為5G系統(tǒng)多載波調(diào)制技術(shù)之一[1]。GFDM將時(shí)間和頻率資源劃分為獨(dú)立的塊，每個(gè)子載波包含多個(gè)子符號(hào)，且子載波和子符號(hào)的數(shù)目可以在不同情況下靈活地進(jìn)行配置，這使得GFDM可以很容易地兼容CP-OFDM或單載波頻域均衡[2]。除了OFDM的優(yōu)點(diǎn)外，GFDM還具有合適的峰值平均功率比(PAPR)，適用于認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)[3]，能夠控制帶外輻射，忽略子載波的正交性[4]，做到在時(shí)間和頻率上的復(fù)用。

盡管GFDM具有許多優(yōu)點(diǎn)，但仍然存在和OFDM系統(tǒng)類似的一些問(wèn)題，例如由于CFO的存在而產(chǎn)生的ICI效應(yīng)。因此接收機(jī)必須使用一些干擾抵消算法來(lái)降低比特出錯(cuò)概率(BER)。文獻(xiàn)[5]采用匹配濾波器(MF)、零強(qiáng)迫(ZF)和最小均方誤差(MMSE)接收機(jī)來(lái)減小載波間干擾。文獻(xiàn)[2]利用雙邊ICI對(duì)消(DSIC)技術(shù)降低了GFDM的BER。

ICI的產(chǎn)生主要有2個(gè)原因：① 由于脈沖形成的靈活性而忽略了子載波的正交性[5]；② 存在CFO[6]。針對(duì)OFDM系統(tǒng)中CFO問(wèn)題，許多學(xué)者提出了不同的方法。文獻(xiàn)[7]使用最大似然(ML)接收機(jī)進(jìn)行聯(lián)合時(shí)頻偏估計(jì)。文獻(xiàn)[8]提出了一種非數(shù)據(jù)輔助的CFO估計(jì)方法。文獻(xiàn)[9]把某個(gè)OFDM符號(hào)作為已知信息進(jìn)行CFO估計(jì)。文獻(xiàn)[10]使用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行CFO估計(jì)，并在高頻偏情況下有較好的性能。

本文針對(duì)GFDM系統(tǒng)，比較了上述OFDM系統(tǒng)ICI消除方法，從BER角度分析了CFO對(duì)系統(tǒng)性能的影響，提出了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的GFDM系統(tǒng)ICI消除算法。所提算法以迭代的方式，獲取上一狀態(tài)的頻偏最優(yōu)化估計(jì)值及其協(xié)方差進(jìn)行當(dāng)前頻偏狀態(tài)預(yù)測(cè)，利用受到ICI影響的接收數(shù)據(jù)符號(hào)和頻偏估計(jì)量得到頻偏校正值，消除ICI。

1 GFDM系統(tǒng)

GFDM發(fā)送端系統(tǒng)框圖如圖1所示。發(fā)送流程如下：將待發(fā)送的二進(jìn)制序列編碼后進(jìn)行串并型轉(zhuǎn)換，將串行序列分裂為K路并行的字符號(hào)序列，而每一路字符號(hào)序列有M個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)，對(duì)其進(jìn)行N倍上采樣，經(jīng)過(guò)循環(huán)移位濾波器，將信號(hào)分散在不同的時(shí)隙上[11-12]。最后為抵擋多徑信道造成符號(hào)間干擾而添加循環(huán)前綴(CP)[13-15]后獲得待發(fā)送序列。

圖1 GFDM發(fā)送端系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of GFDM sender system

用dk[m]表示數(shù)據(jù)塊中第m個(gè)子符號(hào)中第k個(gè)子載波上的數(shù)據(jù)符號(hào)，m和k的取值范圍分別為0～K-1和0～M-1。每個(gè)dk[m]經(jīng)過(guò)原型濾波器濾波后發(fā)送，濾波器脈沖響應(yīng)定義為：

(1)

發(fā)射信號(hào)x[n]通過(guò)對(duì)所有子載波和子符號(hào)信號(hào)的求和得到：

(2)

由式(2)可知，發(fā)射信號(hào)是大小為MN的列向量，其矩陣形式：

x=Ad，

(3)

式中，數(shù)據(jù)向量d和傳輸矩陣A為：

(4)

接收端為發(fā)送端逆過(guò)程，對(duì)接收到的信號(hào)依次進(jìn)行CP移除、均衡、GFDM解調(diào)、符號(hào)逆映射、譯碼后，得到二進(jìn)制接收序列y，其表達(dá)式如下：

(5)

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波可以從有噪聲的傳感器測(cè)量值中進(jìn)行隨機(jī)估計(jì)，在信號(hào)處理中常被用來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的線性狀態(tài)。實(shí)際上就是將信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換、預(yù)測(cè)、校正的過(guò)程，與其他濾波器相比，其最小化了估計(jì)結(jié)果的誤差協(xié)方差。卡爾曼濾波器核心思想是利用上一狀態(tài)的最優(yōu)化估計(jì)值和當(dāng)下?tīng)顟B(tài)的測(cè)量值來(lái)迭代估計(jì)當(dāng)下?tīng)顟B(tài)的估計(jì)值。卡爾曼濾波解決了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)線性模型中狀態(tài)向量的估計(jì)問(wèn)題，然而當(dāng)模型是非線性時(shí)，將非線性系統(tǒng)線性化后再做卡爾曼濾波處理，由此產(chǎn)生的濾波器稱為擴(kuò)展卡爾曼濾波器。擴(kuò)展卡爾曼濾波方程如下：

① 首先引入一個(gè)離散控制過(guò)程的系統(tǒng)，設(shè)當(dāng)前狀態(tài)為k，由上一狀態(tài)預(yù)測(cè)最優(yōu)結(jié)果得到的當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值：

x(k|k-1)=f(x(k-1|k-1),u(k))+w(k)，

(6)

式中，w(k)為過(guò)程噪聲，這里假設(shè)為高斯白噪聲；u(k)為k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量；f()為線性過(guò)程。

② 由當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值得到當(dāng)前狀態(tài)測(cè)量值：

z(k|k-1)=hk(x(k|k-1))+v(k)，

(7)

式中，hk(x(k|k-1))為上一狀態(tài)的非線性的測(cè)量結(jié)果；v(k)為測(cè)量噪聲，這里假設(shè)為高斯白噪聲。

③ 由當(dāng)前狀態(tài)測(cè)量值和估計(jì)值分別對(duì)上一狀態(tài)估計(jì)值求導(dǎo)，然后令x(k)=x(k-1|k-1)，則

A(k)=f′(x(k-1|k-1),uk)，

(8)

(9)

④ 由上一狀態(tài)最優(yōu)化估計(jì)值的協(xié)方差得到當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值的協(xié)方差：

p(k|k-1)=Akp(k-1|k-1)AkΤ+Sw，

(10)

式中，Sw為過(guò)程噪聲w(k)的協(xié)方差。

⑤ 由當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值和當(dāng)前狀態(tài)測(cè)量值得到當(dāng)前狀態(tài)最優(yōu)化估計(jì)值：

x(k|k)=f(x(k-1|k-1),uk)+

K(k)[z(k|k-1)-hk(x(k-1|k-1))]，

(11)

式中，K(k)為卡爾曼增益：

K(k)=p(k|k-1)CΤ(k)[C(k)p(k|k-1)CΤ(k)+SZ]-1，

(12)

式中，Sz為測(cè)量噪聲v(k)的協(xié)方差。

⑥ 為了向下一狀態(tài)的協(xié)方差估計(jì)提供當(dāng)前狀態(tài)最優(yōu)化估計(jì)值的協(xié)方差：

p(k|k)=(1-K(k)Ck)p(k|k-1)。

(13)

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入下一狀態(tài)，即k+1狀態(tài)后，P(k-1|k-1)即為式(10)，x(k-1|k-1)即為式(11)，由此開始遞歸運(yùn)算。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)當(dāng)下?tīng)顟B(tài)的估計(jì)過(guò)程是通過(guò)反饋過(guò)程進(jìn)行控制的，其中最優(yōu)化估計(jì)值作為反饋輸入。故擴(kuò)展卡爾曼濾波器可分為預(yù)測(cè)方程(狀態(tài)更新)和校正方程(狀態(tài)反饋)2個(gè)主要組成部分。預(yù)測(cè)方程通過(guò)獲取上一狀態(tài)的最優(yōu)化估計(jì)值及其協(xié)方差來(lái)進(jìn)行當(dāng)前狀態(tài)預(yù)測(cè)，校正方程根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)測(cè)量值和估計(jì)值得到當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)值，并計(jì)算其協(xié)方差，作為反饋的輸入。

3 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除

基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除方法主要有頻偏估計(jì)和頻偏修正2個(gè)步驟。

3.1 頻偏估計(jì)

用Xi(k)表示第i個(gè)通道在頻域上的第k個(gè)數(shù)據(jù)樣本，經(jīng)過(guò)IDFT，CP插入，第i個(gè)通道中的第n個(gè)傳輸時(shí)域樣本可以表示為：

(14)

式中，-Ng≤n≤N-1，Ng是CP的長(zhǎng)度，假設(shè)第i個(gè)通道的信道脈沖響應(yīng)為：

hi=[hi(0),hi(1),...,hi(P-1)]Τ，

(15)

式中，P是最大信道延遲傳播的長(zhǎng)度且P≤N。用εi表示第i個(gè)通道在接收端的頻偏，zi(n)表示加性高斯白噪聲，第i個(gè)通道接收到的信號(hào)為：

(16)

(17)

式中，z(n)是接收端信道噪聲的總和。 去掉CP并進(jìn)行n點(diǎn)DFT后，接收到的信號(hào)在頻域表示為：

(18)

式中，k=0,1,...,N-1。

假設(shè)在接收端所有通道用于頻偏估計(jì)的前導(dǎo)碼都是已知的，并且對(duì)各個(gè)通道的信道進(jìn)行了完美估計(jì)。因此，式(18)中的yi(n)在接收端是已知的。一般來(lái)說(shuō)，頻偏可以通過(guò)最小化以下代價(jià)函數(shù)來(lái)估計(jì)：

(19)

基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的頻偏估計(jì)沒(méi)有求解上式中的優(yōu)化問(wèn)題，而是通過(guò)遞歸的方式實(shí)現(xiàn)，其中狀態(tài)向量和度量向量都是一維的，從而避免了最優(yōu)化問(wèn)題，并且擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)器具有較低的復(fù)雜度。假設(shè)信道在一個(gè)符號(hào)持續(xù)時(shí)間內(nèi)是非頻率選擇性的，因此頻偏近似為常數(shù)，故當(dāng)前狀態(tài)的頻偏估計(jì)值可看作上一狀態(tài)的最優(yōu)化頻偏估計(jì)值，且它們的方差也相等：

εi(n|n-1)=εi(n-1|n-1)，

(20)

pi(n|n-1)=pi(n-1|n-1) 。

(21)

測(cè)量方程為：

(22)

式中，n為遞歸索引；wi(n)由信道噪聲項(xiàng)z(n)和其他通道的干擾組成，假設(shè)wi(n)的方差是σ2。假設(shè)頻偏量在(-τ,τ]之間，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的頻偏估計(jì)實(shí)現(xiàn)有以下幾個(gè)步驟：

(23)

② 計(jì)算卡爾曼增益Ki(n)：

(24)

Ki(n)=pi(n|n-1)CiΤ(n)[Ci(n)pi(n|n-1)CiΤ(n)+σi2]-1。

(25)

③ 更新估計(jì)量：

εi(n|n)=g{εi(n-1|n-1)+Iupdate(i,n)}，

(26)

Iupdate(i,n)=Re{Ki(n)[ri(n)-yi(n)·

(27)

④ 計(jì)算估計(jì)方差：

pi(n|n)=[I-Ki(n)Ci(n)]pi(n|n-1)。

(28)

⑤ 如果n

(29)

3.2 頻偏校正

(30)

4 仿真結(jié)果

利用Matlab仿真軟件對(duì)針對(duì)GFDM系統(tǒng)提出的擴(kuò)展卡爾曼濾波ICI消除進(jìn)行性能測(cè)試。GFDM信號(hào)由一個(gè)降階系數(shù)為0.1的根升余弦(RRC)濾波器產(chǎn)生，子載波個(gè)數(shù)為128，子符號(hào)個(gè)數(shù)為5，各子信道發(fā)送數(shù)據(jù)為16QAM調(diào)制且互相獨(dú)立，采樣間隔Ts=50 ns，保護(hù)間隔CP長(zhǎng)度為16。

圖2展示了不同頻偏值ε對(duì)GFDM系統(tǒng)BER的影響。可以看出，當(dāng)CFO偏移量增加時(shí)，系統(tǒng)性能下降。在頻偏值在0.1左右時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)GFDM系統(tǒng)性能開始大幅度下降，BER上升至0.01，并趨于穩(wěn)定，表現(xiàn)了GFDM系統(tǒng)對(duì)頻偏的敏感性。

圖2 不同的頻偏值對(duì)GFDM系統(tǒng)BER的影響Fig.2 Influence of different frequency deviation values on BER of GFDM system

圖3展示了復(fù)加性高斯白噪聲(AWGN)信道下使用擴(kuò)展卡爾曼濾波消除ICI對(duì)GFDM系統(tǒng)BER的影響，可以看出，使用擴(kuò)展卡爾曼濾波模塊提高了系統(tǒng)性能，且在高信噪比下尤為顯著。

圖3 AWGN信道下使用擴(kuò)展卡爾曼濾波消除ICI對(duì)GFDM系統(tǒng)BER的影響Fig.3 Use extended kalman filter eliminate the influence of ICI on GFDM system BER in AWGN channel

圖4展示了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除算法均方誤差，可以看出，該方法的最佳性能可以達(dá)到MSE=10-4的精度。

圖4 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除MSEFig.4 ICI elimination MSE based on extended kalman filter

將本文提出的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法與ICI自消除方法及標(biāo)準(zhǔn)GFDM系統(tǒng)在AWGN信道下進(jìn)行仿真和性能分析，歸一化頻偏為0.02，0.12，0.3時(shí)結(jié)果分別如圖5～圖7所示。

圖5 AWGN信道下，歸一化頻偏為0.02時(shí)不同ICI消除算法性能比較Fig.5 Performance comparison of different ICI elimination algorithms in AWGN channel with normalized frequency offset of 0.02

圖6 AWGN信道下，歸一化頻偏為0.12時(shí)不同ICI消除算法性能比較Fig.6 Performance comparison of different ICI elimination algorithms in AWGN channel with normalized frequency offset of 0.12

圖7 AWGN信道下，歸一化頻偏為0.3時(shí)不同ICI消除算法性能比較Fig.7 Performance comparison of different ICI elimination algorithms in AWGN channel with normalized frequency offset of 0.3

系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置為：子載波個(gè)數(shù)為128，子符號(hào)個(gè)數(shù)為5，使用正交相移鍵控(QPSK)的調(diào)制方式，采樣間隔Ts=50 ns，保護(hù)間隔CP長(zhǎng)度為16。

從圖5～圖7可以看出，在頻偏值為0.02時(shí)，擴(kuò)展卡爾曼濾波方法因?yàn)樾枰獙?duì)頻偏進(jìn)行估計(jì)，很難突出其優(yōu)勢(shì)。在頻偏值為0.12時(shí)，ICI自消法和標(biāo)準(zhǔn)GFDM系統(tǒng)性能開始大幅度下降，ICI自消除方法只能通過(guò)線性變化來(lái)抵消ICI，不能估計(jì)頻偏，所以在高頻偏情況下很難有效抑制ICI。在頻偏值為0.3時(shí)，擴(kuò)展卡爾曼濾波依然具有很好的抑制頻偏導(dǎo)致的ICI能力，故擴(kuò)展卡爾曼濾波方法適用于環(huán)境惡劣，頻偏比較大的場(chǎng)所。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的GFDM系統(tǒng)ICI消除方法。仿真驗(yàn)證了不同的頻偏值的對(duì)GFDM系統(tǒng)誤碼率的影響，并在AWGN信道下測(cè)試了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的ICI消除算法對(duì)GFDM系統(tǒng)BER的影響。仿真結(jié)果表明，在接收端采用擴(kuò)展卡爾曼濾波模塊估計(jì)系統(tǒng)的CFO狀況，降低了系統(tǒng)的誤碼率，且能夠在頻偏較大的場(chǎng)景下顯著提高GFDM系統(tǒng)的性能。