非完整移動機械臂的自適應(yīng)模糊滑模控制研究*

鄭耿峰

(福建省特種設(shè)備檢驗研究院，福建 福州 350008)

0 引 言

移動機械臂通常由移動平臺和機械臂構(gòu)成。對于非完整移動機械臂，其移動平臺受非完整約束，所以移動機械臂是非完整系統(tǒng)[1]。移動機械臂既具有移動平臺的機動性，又具有機械臂的操作靈活性，因此其應(yīng)用前景廣闊[2-3]。

由于系統(tǒng)的高度非線性和強耦合性，并且在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)會受到外界干擾及參數(shù)不確定的影響，給系統(tǒng)的控制帶來困難。從控制目標(biāo)的角度，移動機械臂的控制主要可分為軌跡跟蹤和點鎮(zhèn)定兩類。其中，軌跡跟蹤最具有實際意義，因而得到了國內(nèi)外學(xué)者的十分關(guān)注。文獻[4]研究移動機械臂末端與地面接觸時的狀態(tài)鎮(zhèn)定，給出了避免翻車的控制策略；文獻[5]基于微分平坦方法動態(tài)規(guī)劃運動軌跡，實現(xiàn)了移動機械臂的動力學(xué)軌跡跟蹤；文獻[6]將移動機械臂分解為輪式移動平臺和兩連桿平面移動機械臂兩部分，獨立設(shè)計軌跡跟蹤控制器。

上述研究僅考慮了系統(tǒng)的理想模型，但在系統(tǒng)受到外界干擾或精度要求較高的場合，其適用性有限。近年來，包含不確定性的移動機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤控制問題成為研究熱點。文獻[7]基于滑模控制，設(shè)計了可變性輪式移動機械臂的魯棒姿態(tài)鎮(zhèn)定控制器；文獻[8]針對存在不確定性和干擾的全向輪式移動機械臂，提出了基于魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模軌跡跟蹤控制器；文獻[9]提出了采用一種自適應(yīng)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡控制器，處理未建模的移動機械臂系統(tǒng)；陳杰等[10]設(shè)計了一種結(jié)合模糊控制和非奇異終端滑模控制的六軸臂履帶式移動機械臂軌跡跟蹤控制器；董玉明等[11]研究了非完整移動機械臂的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制，且不需要不確定性的上界信息。

本文針對包含動力學(xué)系統(tǒng)不確定性的雙獨立驅(qū)動四輪兩連桿移動機械臂，提出一種結(jié)合自適應(yīng)模糊控制和滑模控制的軌跡跟蹤控制器。

1 移動機械臂的運動學(xué)和動力學(xué)模型

典型的移動機械臂由四輪非完整移動平臺和二連桿機械臂構(gòu)成，后兩輪采用獨立執(zhí)行器驅(qū)動，同側(cè)兩輪通過內(nèi)部連接可同步轉(zhuǎn)動，如圖1所示。

圖1 四輪二連桿移動機械臂

根據(jù)拉格朗日方程和羅茲動力學(xué)方程，并考慮移動平臺與連桿之間的耦合關(guān)系，可得其運動學(xué)和動力學(xué)方程[12]：

(1)

(2)

為了消除式(2)中的拉格朗日乘子項約束力項，考慮非完整輪式移動機械臂系統(tǒng)的零空間特性，有：

A(q)S(q)=0

(3)

(4)

(5)

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

本文設(shè)計模糊自適應(yīng)滑模控制器，使得移動機械臂系統(tǒng)可跟蹤給定的期望軌跡，消除系統(tǒng)不確定性的影響。

控制器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 控制器結(jié)構(gòu)圖

借助于Lyapunov穩(wěn)定性分析框架和反演設(shè)計方法，本文控制器設(shè)計按以下步驟進行。

首先將跟蹤誤差定義為：

e1=x1-r

(6)

式中：r—給定參考軌跡。

定義虛擬控制量為：

(7)

式中：c1—對角正定常數(shù)矩陣，c1∈R4×4。

定義虛擬誤差為：

e2=x2-α

(8)

選擇正定Lyapunuv函數(shù)為：

(9)

對式(9)求導(dǎo)，并將式(6～8)代入可得：

(10)

模糊邏輯控制系統(tǒng)是由模糊化、模糊規(guī)則庫、模糊推理機制和反模糊化4部分組成，其中，模糊系統(tǒng)的規(guī)則用如下If-then語句來描述：

采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊系統(tǒng)的輸出為：

(11)

式(11)可改寫為：

F(x)=ξTθ

(12)

向量ζ的第i個元素為：

(13)

定義最優(yōu)參數(shù)為：

θ*=argmin[sup|f*(x)-F*|]

(14)

式中：F*—待逼近函數(shù)。

定義最小逼近誤差為：

(15)

本文使用自適應(yīng)律來確定一個調(diào)節(jié)機理，讓參數(shù)誤差絕對值達到最小，從而減小逼近誤差，即：

(16)

進一步引入滑模控制，定義正定Lyapunuv函數(shù)為：

(17)

式中：βi—正的常數(shù)；s—滑模面。

s定義為：

s=λe1+e2

(18)

式中：λ—正定常數(shù)矩陣，λ∈R4×4。

對式(18)求導(dǎo)，并將式(5)代入得：

(19)

由性質(zhì)1和性質(zhì)2可知：

(20)

(21)

對式(17)求導(dǎo)，并將式(16，19～21)代入可得：

(22)

其中：

(23)

將模糊系統(tǒng)逼近項式(15)，并代入式(22)有：

(24)

ε=[ε1ε2ε3ε4]T。

假設(shè)1：|ε1|≤Ω，Ω為正的常數(shù)。設(shè)計模糊系統(tǒng)參數(shù)自適應(yīng)律如下：

(25)

為了減小滑模抖振現(xiàn)象，使用指數(shù)趨近律，即：

(26)

式中：ρ，k—正常數(shù)對角矩陣。

設(shè)計模糊滑模控制器為：

(27)

定理：對于給定不確定非完整移動機械臂系統(tǒng)(5)，滿足假設(shè)1條件下，則控制器(27)和自適應(yīng)律(26)可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

證明：將求導(dǎo)后的式(16，26)代入式(24)，可得到：

(28)

合理選取ki，使得：

ki≥Ω

(29)

(30)

由此可見系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進一步分析其漸進穩(wěn)定性，定義新項為：

(31)

由式(18)可知，s的值完全由e1和e2決定，于是有：

(32)

(33)

由式(17)可知，V2(e1(0),e2(0))為有界，V2(e1(t),e2(t))為有界非增，因此有：

(34)

(35)

式(35)表明，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進收斂的。由e1定義可得，x1將漸近收斂到期望軌跡r。

經(jīng)過模糊系統(tǒng)逼近總體不確定項后，逼近誤差已經(jīng)較小，因此假設(shè)1的條件并不苛刻。而通過設(shè)計足夠多規(guī)則的模糊系統(tǒng)(即N足夠大)，可使得逼近誤差εi充分小，因此，很容易選擇滿足式(29)的ki值。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

本文采用Matlab/Simulink，對圖1的移動機械臂進行仿真實驗。

仿真實驗Simulink主程序如圖3所示。

圖3 仿真實驗simulink主程序

圖3中，主程序先由s函數(shù)msfuntmpl1輸出參考軌跡u，并將數(shù)據(jù)存于工作空間中的變量t1中，然后將參考軌跡和移動機械臂的當(dāng)前位置，輸入到模糊控制s函數(shù)msfuntmpl2中；s函數(shù)輸出的控制力矩被保存于工作空間中的變量t2中，并將控制力矩作為被控對象s函數(shù)msfuntmpl3的輸入，最終s函數(shù)將輸出移動機械臂的速度信息，并將數(shù)據(jù)存于工作空間中的變量t3中；對移動機械臂的速度信息作積分，可以得到其位置信息，并將其保存于工作空間中的變量t4中；最后綜合工作空間數(shù)據(jù)，求取軌跡跟蹤誤差、控制力矩輸入和自適應(yīng)模糊控制輸出等。動力學(xué)模型中各個矩陣與文獻[13]中的定義相同。

在仿真實驗中，取參考軌跡為：xcd=0.2t，ycd=0.05sin(2t)+0.2t；xAd=0.2t，yAd=0.1sin(2t)+0.2t+0.15。

假設(shè)總體的不確定性為：

移動機械臂初始位姿取：

移動機械臂的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 移動機械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置

模糊自適應(yīng)滑模控制器參數(shù)取：λ=diag(14,14,14,14)，ρ=diag(8,8,8,8)，c1=diag(4,4,4,4)，βi=50，ki=20。

定義模糊系統(tǒng)的輸入、輸出的模糊集合均為{NB, NS,ZO,PS,PB}，對應(yīng)的模糊變量分別為{負大，負小，零，正小，正大}。各模糊集合對應(yīng)的隸屬函數(shù)分別為：

本文首先使用不包含模糊系統(tǒng)的滑模控制器進行軌跡跟蹤實驗。僅滑模控制器的軌跡跟蹤情況如圖4所示。

圖4 僅滑模控制器的軌跡跟蹤情況

由圖4知，一般滑模控制器無法完全消除系統(tǒng)不確定性帶來的不利影響，因此軌跡跟蹤誤差較大。

文中控制器軌跡跟蹤情況如圖5所示。

圖5 本研究中控制器軌跡跟蹤情況

由圖5知：控制器取得了較好的控制效果，移動機械臂的姿態(tài)跟蹤誤差較小，且響應(yīng)速度快，控制輸入變化也較為平穩(wěn)。可見，通過將自適應(yīng)模糊補償和滑模魯棒抑制相結(jié)合，可以有效抵御系統(tǒng)復(fù)雜時變動力學(xué)參數(shù)不確定性和外界干擾，提高移動機械臂在復(fù)雜環(huán)境下的應(yīng)用能力。

4 結(jié)束語

針對由四輪移動平臺和二連桿機械臂構(gòu)成的非完整系統(tǒng)，考慮其動力系統(tǒng)模型不確定性和外界擾動，本文設(shè)計了基于反演法且聯(lián)合滑模控制、自適應(yīng)模糊控制的復(fù)合控制器。該控制器利用自適應(yīng)模糊控制最優(yōu)逼近系統(tǒng)未知不確定性，采用滑模控制對逼近誤差進行進一步抑制，提高了系統(tǒng)受復(fù)雜不確定性影響下的控制性能。

仿真結(jié)果表明：與常規(guī)魯棒控制器相比，在存在復(fù)雜時變多變量不確定性時，該控制器仍能精確地跟蹤參考軌跡，且控制輸入平穩(wěn)、響應(yīng)速度快、魯棒性好和適應(yīng)性強，可以滿足復(fù)雜場合下移動機械臂的軌跡跟蹤應(yīng)用需求。